Fiche à trous · Première · Mathématiques

Variables aléatoires — Loi, espérance et variance

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Un forain fait payer 4 € pour lancer sa roue ; on peut gagner jusqu'à 20 €. Faut-il jouer ? Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue ; sa loi donne la probabilité de chacune de ses valeurs ; son espérance, moyenne de ces valeurs pondérées par leurs probabilités, est ce que l'on obtient en moyenne sur un grand nombre de répétitions.

Variable aléatoire, événements et loi

Définition — variable aléatoire réelle :

Définition — les événements {X = a} et {X ⩽ a} :

Exemple

Le jeu du dé. On lance un dé équilibré. On gagne 5 € si l'on obtient 6, 1 € si l'on obtient 4 ou 5, et l'on perd 2 € sinon ; $X$ est le gain algébrique. Calculer $P (X = - 2)$ , puis la probabilité de gagner de l'argent.

Résultat :

Passer de la phrase au symbole, et inversement

Définition — loi de probabilité de X :

Déterminer la loi d'une variable aléatoire

Exemple

On lance deux dés équilibrés ; $X$ est l'écart entre les deux faces, la plus grande moins la plus petite. Déterminer la loi de $X$ .

Résultat :

14.

Piège

« $X$ prend six valeurs, donc $P (X = 1) = \frac{1}{6}$ . »

compter les issues qui donnent la valeur, puis diviser par le nombre total d'issues.

15.

L'espérance, et les jeux équitables

Définition — espérance :

Au jeu du dé, $E (X) = - 2 \times \frac{3}{6} + 1 \times \frac{2}{6} + 5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \approx 0, 17$ € : le joueur gagne en moyenne 17 centimes par partie, mais jamais 17 centimes lors d'une partie donnée.

Propriété

Décider si un jeu est équitable

Exemple

La roue a huit secteurs égaux : un rapporte 20 €, deux 5 €, cinq rien. Quelle mise rend le jeu équitable ? Et à 4 € ?

Résultat :

25.

Piège

Calculer $E (R) = 3, 75$ et conclure que le jeu « rapporte 3,75 € par partie ».

pour chaque valeur, se demander si le joueur est plus riche ou plus pauvre qu'avant de jouer.

Variance et écart type

Définition — variance et écart type :

Propriété

Calculer une variance

Exemple

Jeu A : gagner 2 € ou perdre 2 €, avec la probabilité 0,5 chacun. Jeu B : perdre 1 € avec la probabilité 0,9, gagner 9 € avec la probabilité 0,1. Comparer les gains $X_{A}$ et $X_{B}$ .

Résultat :

35.

Piège

Écrire $V (X) = E (X^{2}) - E (X)$ , ou confondre $E (X^{2})$ et $(E (X))^{2}$ .

vérifier que $V (X) ⩾ 0$ et que $σ$ est dans l'unité de $X$ .

Simuler pour estimer une espérance

36.

Mesurer l'écart entre moyenne observée et espérance

Exemple

Jeu du dé, $μ = \frac{1}{6}$ : calculer $σ$ , la borne $\frac{2 σ}{n}$ pour $n = 100$ , et la proportion sur la simulation ci-dessous ( $N = 100$ ).

Résultat :

42.

Piège

Au tableur, simuler le jeu par =SI(ALEA()<1/2;-2;SI(ALEA()<5/6;1;5)).

un seul tirage par partie : =ALEA() en A1, puis =SI(A1<1/2;-2;SI(A1<5/6;1;5)).

Valeurs distinctes, probabilités de somme 1 ?
La mise retirée avant de conclure ?
Variance positive, carré de l'espérance soustrait ?

Corrigé · à détacher

Variables aléatoires — Loi, espérance et variance

1. L'univers $Ω$ d'une expérience aléatoire est fini et muni d'une probabilité $P$ . Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction définie sur $Ω$ , à valeurs réelles : à chaque issue $ω$ , elle associe un nombre $X (ω)$ . On note $X : Ω \to R$ . Elle modélise un résultat numérique de l'expérience : un gain, un nombre de succès, une somme.
2. Pour un réel $a$ , ${X = a}$ est l'événement formé des issues $ω$ telles que $X (ω) = a$  ; de même ${X ⩽ a}$ , ${X > a}$ … Ce sont des ensembles d'issues ; $P (X = a)$ et $P (X ⩽ a)$ sont des nombres. « $P (X)$ » n'a aucun sens : $X$ est une fonction, pas un événement.
3. $Ω = {1, \dots, 6}$ , équiprobable. Une perte est un gain négatif : ${X = - 2} = {1, 2, 3}$ , d'où $P (X = - 2) = \frac{3}{6}$ . Gagner de l'argent, c'est ${X > 0} = {4, 5, 6}$ :
4. $P (X = - 2) = \frac{1}{2}$ et $P (X > 0) = \frac{1}{2}$ .
5. $X$ est une fonction : une flèche part de chaque issue, et trois faces donnent $- 2$ .
6. Traduire le mot-clé : « au moins $a$ » donne $X ⩾ a$ , car $a$ est inclus ; « au plus $a$ », $X ⩽ a$  ; « plus de $a$ », $X > a$  ; « moins de $a$ », $X < a$ . Inversement, ${X ⩽ 1}$ se dit « le gain est d'au plus 1 € ».
7. Lister les valeurs de $X$ que contient l'événement, et passer au contraire quand c'est plus court : $P (X ⩽ 1) = 1 - P (X = 5) = \frac{5}{6}$ au jeu du dé.
8. Soit $x_{1}, \dots, x_{n}$ les valeurs distinctes prises par $X$ . Déterminer la loi de $X$ , c'est donner chaque probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ , dans un tableau ; on la représente par un diagramme en bâtons. Les événements ${X = x_{i}}$ partagent l'univers sans se chevaucher : les $p_{i}$ sont positifs et $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ .
9. Décrire l'univers par un arbre ou un tableau à double entrée, et calculer $X (ω)$ pour chaque issue.
10. Regrouper : $P (X = x_{i})$ est la somme des probabilités des issues qui donnent $x_{i}$ (en cas d'équiprobabilité, leur nombre sur le nombre total d'issues). Contrôler que la somme vaut 1.
11. Les $6 \times 6 = 36$ couples sont équiprobables. Dans le tableau, 6 cases donnent 0 (la diagonale), 10 donnent 1, puis 8, 6, 4 et 2 donnent 2, 3, 4 et 5. Ainsi :
12. Contrôle de la somme :
13. pour les valeurs 0 à 5, $p_{i} = \frac{6}{36}$ , $\frac{10}{36}$ , $\frac{8}{36}$ , $\frac{6}{36}$ , $\frac{4}{36}$ , $\frac{2}{36}$ : voir le tableau plus bas.
14. Les 36 issues ; les dix cases bleues forment ${X = 1}$ .
15. Tableau de la loi et diagramme en bâtons, colonne par colonne.
16. L'espérance de $X$ est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités, dans l'unité de $X$ . On l'interprète comme la valeur moyenne prise par $X$ sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience ; ce n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre. Si $X$ est un caractère numérique d'un individu tiré au sort, avec équiprobabilité, dans une population, la loi de $X$ est la distribution des fréquences du caractère et $E (X)$ en est la moyenne.
17. $E (X) = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{n} x_{n} = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}$
18. Linéarité de l'espérance (démontrée). En regroupant les issues selon la valeur de $X$ , $E (X) = \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) X (ω)$ . Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $Ω$ et $a$ , $b$ réels, on en tire $\sum P ({ω}) (a X (ω) + b) = a E (X) + b$ , car $\sum P ({ω}) = 1$  ; de même pour $X + Y$ . Ainsi la somme de deux dés a pour espérance $3, 5 + 3, 5 = 7$ , sans passer par sa loi.
19. $E (X + Y) = E (X) + E (Y) E (a X + b) = a E (X) + b$
20. Définir le gain net $G$ : ce que le joueur reçoit, moins sa mise $m$ . Si $R$ est le montant reçu, $G = R - m$ et $E (G) = E (R) - m$ .
21. Conclure sur le signe de $E (G)$ : jeu équitable si $E (G) = 0$ , favorable au joueur si $E (G) > 0$ , défavorable sinon. La mise équitable est $m = E (R)$ .
22. Chaque secteur a la probabilité $\frac{1}{8}$  ; $R$ vaut 20, 5 ou 0 avec les probabilités $\frac{1}{8}$ , $\frac{2}{8}$ , $\frac{5}{8}$ .
23. Mise équitable : $m = E (R) = 3, 75$ €. À 4 €, par linéarité :
24. à 4 €, le joueur perd en moyenne 25 centimes par partie : le jeu lui est défavorable.
25. Huit secteurs égaux.
26. Soit $μ = E (X)$ . La variance est la moyenne, pondérée par les probabilités, des carrés des écarts à $μ$  ; elle est positive ou nulle. L'écart type est sa racine carrée, dans l'unité de $X$ . Ils mesurent la dispersion des valeurs autour de $μ$ : pour un jeu, le risque.
27. $V (X) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (x_{i} - μ)^{2} σ (X) = V (X)$
28. Formule de König-Huygens (démontrée). $V (X) = E ((X - μ)^{2}) = E (X^{2} - 2 μ X + μ^{2}) = E (X^{2}) - 2 μ^{2} + μ^{2}$ par linéarité. Ici $E (X^{2}) = \sum p_{i} x_{i}^{2}$ : on élève au carré les valeurs.
29. $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$
30. Ajouter au tableau de la loi les lignes $p_{i} x_{i}$ et $p_{i} x_{i}^{2}$  ; leurs sommes sont $E (X)$ et $E (X^{2})$ .
31. Appliquer König-Huygens, puis la racine carrée. Une variance négative signale toujours une erreur.
32. Jeu A : $E (X_{A}) = 0$ et les deux valeurs ont pour carré 4, donc $V (X_{A}) = 4 - 0^{2} = 4$ .
33. Jeu B : $E (X_{B}) = - 1 \times 0, 9 + 9 \times 0, 1 = 0$ , puis $E (X_{B}^{2})$ :
34. deux jeux équitables, mais B est plus risqué : $σ = 3$ € contre 2 €.
35. Même espérance nulle (en rouge), dispersions différentes ; sous chaque axe, de $E - σ$ à $E + σ$ .
36. À gauche, l'appel final renvoie environ (0.167, 6.47, 2.54). À droite, un seul tirage de u par partie.
37. Simuler $X$ en tirant $u$ au hasard dans $[0; 1 [$ , découpé en morceaux de longueurs $p_{1}, \dots, p_{n}$ . $n$ simulations indépendantes forment un échantillon de taille $n$  ; pour $n$ grand, sa moyenne $m$ est en général proche de $E (X)$ , qu'elle estime. On simule $N$ tels échantillons.
38. Mesurer l'écart : compter ceux où $∣ m - μ ∣ ⩽ \frac{2 σ}{n}$ , avec $μ = E (X)$ et $σ = σ (X)$ , puis diviser par $N$ .
39. $E (X^{2}) = \frac{4 \times 3 + 1 \times 2 + 25 \times 1}{6} = \frac{39}{6}$ , et König-Huygens donne $V (X) = \frac{39}{6} - \frac{1}{36} = \frac{233}{36}$ :
40. La borne, avec $100 = 10$ :
41. d'une simulation à l'autre, la proportion reste le plus souvent voisine de 0,95.
42. Une simulation : en bleu, les 95 moyennes situées à moins de 0,51 de $μ$ (la borne de l'exemple) ; en rouge, les 5 autres.