Fiche à trous · Première · Mathématiques

Conditionnement — Probabilité conditionnelle, arbres, indépendance

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Parmi les personnes dont le test est positif, la proportion de malades n'est pas celle de la population entière : savoir qu'un évènement est réalisé change les probabilités. C'est la probabilité conditionnelle $P_{A} (B)$ . Le chapitre tient en une règle : sur un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin, et l'on additionne les chemins qui mènent au même évènement.

Probabilité conditionnelle

Définition — probabilité de B sachant A :

Propriété

Lire une probabilité dans un tableau croisé

Exemple

On tire au hasard un élève parmi les 400 élèves de première d'un lycée. $M$ : « il suit la spécialité mathématiques » ; $S$ : « il pratique un sport en club ». Calculer $P (M \cap S)$ , $P_{M} (S)$ et $P_{S} (M)$ avec le tableau croisé ci-dessous.

Résultat :

Piège

Confondre $P_{M} (S)$ et $P_{S} (M)$ : écrire « 37,5 % des sportifs suivent la spécialité ».

traduire « sachant $A$ » par « parmi les $A$ ».

Arbres pondérés et probabilités totales

Définition — partition de l'univers :

Propriété

Les règles de l'arbre pondéré

Exemple

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif chez 95 % des malades, mais aussi chez 3 % des personnes saines. On choisit une personne au hasard ; $M$ : « elle est malade », $T$ : « son test est positif ». Calculer $P (T)$ , puis $P_{T} (M)$ .

Résultat :

18.

Piège

Lire « positif chez 3 % des personnes saines » comme $P (\overline{M} \cap T) = 0, 03$ .

le mot qui restreint la population (« parmi », « chez », « si ») désigne l'indice.

Indépendance de deux évènements

Définition — évènements indépendants :

Propriété

21.

Justifier ou utiliser l'indépendance

Exemple

On lance un dé équilibré. $A$ : « résultat pair » ; $B$ : « résultat $\leq 2$ » ; $C$ : « résultat $\leq 3$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? $A$ et $C$  ?

Résultat :

Piège

« $A$ et $B$ sont incompatibles, donc indépendants : ils n'ont rien à voir. »

incompatibles se lit sur les issues ; indépendants se vérifie sur les probabilités.

Épreuves indépendantes et répétition de Bernoulli

Définition — succession de deux épreuves indépendantes :

28.

Définition — épreuve de Bernoulli, répétition :

Répéter une épreuve de Bernoulli

Exemple

Une joueuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0, 8$ , indépendamment des autres. Elle en tire trois : probabilité d'en réussir exactement deux ? au moins un ?

Résultat :

36.

Piège

Calculer « exactement deux succès » avec un seul chemin : $0, 8^{2} \times 0, 2 = 0, 128$ .

lister les chemins retenus avant de calculer.

Piège

Poser le même $p$ sur toutes les branches pour des tirages sans remise.

sinon, arbre à probabilités conditionnelles (partie 2).

Simuler : la méthode de Monte-Carlo. On tire $x$ , puis indépendamment $y$ , au hasard dans $[0; 1]$ : sur un grand nombre de tirages, la fréquence des points $M (x; y)$ tombés dans une région du carré unité se rapproche de son aire. Le quart de disque $x^{2} + y^{2} \leq 1$ a pour aire $\frac{π}{4}$ : quatre fois la fréquence estime $π$ . Avec $y \leq x^{2}$ , on estime l'aire sous la parabole ; en Python, random() fournit les tirages.

$P (A) \neq = 0$ avant d'écrire $P_{A} (B)$  ?
Population de référence repérée pour l'indice ?
Chaque nœud, et toutes les feuilles, font 1 ?
Produit le long d'un chemin, somme des chemins ?
Indépendance vérifiée par le calcul ?
« Identiques et indépendantes » justifié, chemins tous comptés ?

Corrigé · à détacher

Conditionnement — Probabilité conditionnelle, arbres, indépendance

1. Soit $A$ un évènement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ : l'univers se réduit à $A$ , et l'on mesure la part de $B$ dans $A$ . Si $P (A) = 0$ , $P_{A} (B)$ n'est pas défini.
2. Pour $P (A) \neq = 0$ . Formule du produit : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . Contraire : $P_{A} (\overline{B}) = 1 - P_{A} (B)$ . Démonstration : $A \cap B$ et $A \cap \overline{B}$ sont incompatibles, de réunion $A$ , donc $P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B}) = P (A)$  ; on divise par $P (A)$ .
3. Repérer la population de référence : tout l'effectif pour $P (A \cap B)$ , la ligne ou la colonne de $A$ pour $P_{A} (B)$ (« sachant », « parmi »).
4. Diviser l'effectif de la case commune à $A$ et $B$ par celui de cette population.
5. Tirage équiprobable : chaque probabilité est un quotient d'effectifs, de numérateur 90, la case commune ; seul le dénominateur change (figure). Par exemple, parmi les 240 élèves $M$ :
6. $P (M \cap S) = 0, 225$ , $P_{M} (S) = 0, 375$ , $P_{S} (M) = 0, 5625$ .
7. La même case, 90, et trois probabilités : l'évènement placé en indice choisit le dénominateur.
8. Des évènements non vides $A_{1}$ , …, $A_{n}$ forment une partition de $Ω$ , ou système complet d'évènements, s'ils sont incompatibles deux à deux et de réunion $Ω$ : chaque issue en réalise un et un seul. Exemple : $A$ et $\overline{A}$ , si $A$ n'est ni impossible ni certain.
9. Formule des probabilités totales. Si $A_{1}$ , …, $A_{n}$ forment une partition de $Ω$ , de probabilités non nulles, alors pour tout évènement $B$ , $P (B) = P (A_{1} \cap B) + \dots + P (A_{n} \cap B)$ , où chaque terme vaut $P (A_{i}) \times P_{A_{i}} (B)$ . Démonstration : les $A_{i} \cap B$ sont incompatibles deux à deux, de réunion $B$  ; leurs probabilités s'ajoutent. Avec $A$ , $\overline{A}$ : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$ .
10. $P (B) = P (A_{1}) P_{A_{1}} (B) + P (A_{2}) P_{A_{2}} (B) + \dots + P (A_{n}) P_{A_{n}} (B)$
11. Placer les données : une partition au premier niveau ; au second, ce qui se passe sachant chaque branche : de $A$ vers $B$ , $P_{A} (B)$ et non $P (B)$ . Les branches d'un nœud ont pour somme 1.
12. Un chemin est un produit : c'est une intersection, $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .
13. Un évènement est une somme : on additionne les chemins qui y mènent (probabilités totales).
14. Pour inverser le conditionnement, revenir à la définition : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .
15. Premier niveau $M$ , $\overline{M}$ : $0, 02$ et $0, 98$ . Second niveau : $P_{M} (T) = 0, 95$ et $P_{\overline{M}} (T) = 0, 03$ . Probabilités totales sur les deux chemins qui mènent à $T$ :
16. Puis la définition, dans l'autre sens, arrondie au millième :
17. $P (T) = 0, 0484$ et $P_{T} (M) \approx 0, 393$ : moins de 40 % des tests positifs signalent un malade. Rien à voir avec $P_{M} (T) = 0, 95$ : les faux positifs l'emportent.
18. À gauche, l'arbre général : chaque chemin aboutit à une intersection. À droite, le dépistage : les deux chemins qui mènent à $T$ sont en rouge ; les quatre feuilles ont pour somme 1.
19. Deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . Cette définition est symétrique en $A$ et $B$ .
20. 1. Si $P (A) \neq = 0$ , $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_{A} (B) = P (B)$ . Démonstration : comme $P (A) \neq = 0$ , l'égalité $\frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = P (B)$ équivaut à $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . 2. Si $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi (de même pour $A$ et $\overline{B}$ ). Démonstration : $A \cap B$ et $\overline{A} \cap B$ partagent $B$ en deux, d'où $P (\overline{A} \cap B) = P (B) - P (A) P (B) = (1 - P (A)) P (B) = P (\overline{A}) P (B)$ .
21. À droite, un point tiré au hasard dans le carré unité : $A$ « il est dans la bande bleue », $B$ « dans la bande verte ». L'aire commune est le produit des deux.
22. La justifier : calculer $P (A \cap B)$ et $P (A) \times P (B)$ séparément et comparer, ou comparer $P_{A} (B)$ et $P (B)$ .
23. L'utiliser, quand l'énoncé l'affirme ou que le modèle la pose, comme pour deux dés lancés séparément : remplacer $P (A \cap B)$ par $P (A) \times P (B)$ . Dans une situation réelle, l'indépendance fait partie du modèle.
24. $A \cap B = {2}$ , donc $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ , égal au produit :
25. $A \cap C = {2}$ , donc $P (A \cap C) = \frac{1}{6}$ , différent du produit :
26. $A$ et $B$ sont indépendants ; $A$ et $C$ ne le sont pas.
27. Les probabilités de la seconde épreuve ne dépendent pas du résultat de la première. Une issue est un couple $(x; y)$ , de probabilité le produit $P (x) \times P (y)$ : c'est le modèle. Dans l'arbre, les branches du second niveau sont les mêmes sous chaque nœud ; dans le tableau à double entrée, chaque case porte le produit de sa ligne et de sa colonne. Des tirages sans remise ne sont pas indépendants.
28. Une boule tirée dans une urne de 2 rouges et 3 noires, puis une roue à trois secteurs de probabilités $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ : arbre et tableau portent les mêmes six probabilités.
29. Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès $S$ et échec $\overline{S}$  ; $p = P (S)$ est son paramètre. Sa répétition $n$ fois, identique et indépendante ( $n \leq 4$ ), donne un arbre à $2^{n}$ chemins. Par la règle du produit, un chemin à $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , quel que soit l'ordre ; pour exactement $k$ succès, on multiplie par le nombre de chemins à $k$ succès, compté sur l'arbre. Suite en terminale : fiche « Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale ».
30. Nommer le succès, donner $p$ , justifier « identiques et indépendantes » (tirages avec remise…).
31. Lister sur l'arbre les chemins qui réalisent l'évènement, multiplier le long de chacun, puis additionner.
32. Pour « au moins un succès », passer par le contraire : « aucun succès » n'a qu'un chemin, de probabilité $(1 - p)^{n}$ .
33. Bernoulli répétée, $p = 0, 8$ : trois chemins ont deux succès ( $S S \overline{S}$ , $S \overline{S} S$ , $\overline{S} S S$ ), chacun de probabilité $0, 8^{2} \times 0, 2 = 0, 128$ :
34. « Au moins un succès » a pour contraire « trois échecs », un seul chemin :
35. Exactement deux réussites : $0, 384$ . Au moins une : $0, 992$ .
36. Huit chemins ; les trois chemins à deux succès, en rouge, valent chacun $0, 128$ .