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Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle

Q: Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Première, année du Bac de français. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Q: Où télécharger la fiche PDF de Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 9 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Q: Le corrigé de Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Q: Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle peut-il tomber au Bac de français ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Première, il entre donc dans le périmètre du Bac de français. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Q: Comment réviser Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Q: Faut-il un compte pour s'entraîner sur Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Programme en vigueur — arrêté du 26 février 2026, applicable en Première depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Programme 2026, spécialité de 1re, Géométrie repérée : vecteur normal à une droite, équation cartésienne, projection orthogonale d'un point sur une droite, équation de cercle.

La règle d'or

Dans un repère orthonormé, chaque condition géométrique devient une équation : un vecteur normal donne une droite, un centre et un rayon donnent un cercle.

L'erreur que tout le monde fait

Pour la droite y = 3x + 2, annoncer le vecteur normal de coordonnées (3 ; 1).

Avec l'équation 3x − y + 2 = 0, un vecteur normal est (3 ; −1) : le signe vient de l'équation mise sous forme ax + by + c = 0.

Tout passer à gauche avant de lire a et b, puis vérifier que le produit scalaire avec un vecteur directeur est nul.

Télécharger la fiche A4 — Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle Version à trous, pour se testerSans compte, sans adresse e-mail · exercices et corrigé plus bas.

Notions à maîtriser

vecteur normal
équation cartésienne
projeté orthogonal
équation de cercle
distance
repère orthonormé

Réviser

En seconde, une droite s'écrivait $a x + b y + c = 0$ et se lisait par un vecteur directeur. En première, le produit scalaire ajoute un second regard, celui de l'orthogonalité : dans un repère orthonormé, une droite est l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot n = 0$ , un cercle l'ensemble des points $M$ tels que $Ω M^{2} = r^{2}$ — chaque condition géométrique devient une équation. Le projeté orthogonal d'un point sur une droite s'obtient alors par un système.

1Vecteur normal et équation de droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Pour $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ , et $u$ , $v$ sont orthogonaux si et seulement si $x x^{'} + y y^{'} = 0$ (fiche Produit scalaire). Rappel de seconde : la droite d'équation $a x + b y + c = 0$ est dirigée par $u (- b; a)$ .

Définition

vecteur normal à une droite — Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . Tout vecteur non nul qui lui est colinéaire est encore normal à $d$ .

Propriété

Propriété (démontrée). Soit $A$ un point et $n (a; b)$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur normal $n$ est l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot n = 0$  ; elle a une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ . Réciproquement, le vecteur $n (a; b)$ est normal à la droite d'équation $a x + b y + c = 0$ . Preuve. $M$ est sur $d$ si et seulement si $A M$ est colinéaire à un vecteur directeur de $d$ , c'est-à-dire orthogonal à $n$ . Avec $A (x_{A}; y_{A})$ et $M (x; y)$ , $A M \cdot n = a (x - x_{A}) + b (y - y_{A})$ , nul si et seulement si $a x + b y + c = 0$ , où $c = - a x_{A} - b y_{A}$ . Dans l'autre sens, $u (- b; a)$ dirige la droite et $n \cdot u = - ab + ba = 0$ .

M \in d ⟺ A M \cdot n = 0 ⟺ a x + b y + c = 0

À gauche, $\overrightarrow{AM}$ suit $d$ et $\vec{n}$ lui est perpendiculaire ; à droite, la médiatrice de l'exemple.

Équation d'une droite donnée par un point et un vecteur normal

Recopier les coordonnées de $n (a; b)$ devant $x$ et $y$  : l'équation s'écrit $a x + b y + c = 0$ .
Trouver $c$ en écrivant que les coordonnées du point $A$ vérifient l'équation.
Contrôler : $A$ vérifie l'équation obtenue. Autre voie : développer $A M \cdot n = 0$ avec $M (x; y)$ .

Exemple

On donne $A (1; 2)$ et $B (5; 4)$ . Déterminer une équation de la médiatrice $Δ$ du segment $[A B]$ .

$Δ$ passe par le milieu $I$ de $[A B]$ et est perpendiculaire à $(A B)$  : $A B$ lui est normal. Abscisse de $I$ , puis ordonnée : $\frac{1 + 5}{2} = 3 et \frac{2 + 4}{2} = 3$
$A B (5 - 1; 4 - 2)$ , soit $A B (4; 2)$  : $Δ$ a une équation $4 x + 2 y + c = 0$ .
$I (3; 3)$ est sur $Δ$ , donc $4 \times 3 + 2 \times 3 + c = 0$  : $c = - (4 \times 3 + 2 \times 3) = - 18$ on divise $4 x + 2 y - 18 = 0$ par 2 ; contrôle : $2 \times 3 + 3 - 9 = 0$ .

$Δ : 2 x + y - 9 = 0$

Règle

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, parallèles si et seulement s'ils sont colinéaires. Ainsi $x + 2 y - 4 = 0$ et $2 x - y + 1 = 0$ sont perpendiculaires : $1 \times 2 + 2 \times (- 1) = 0$ .

2Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Définition

projeté orthogonal — Soit $d$ une droite et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que la droite $(M H)$ soit perpendiculaire à $d$  ; si $M$ est sur $d$ , alors $H = M$ . La longueur $M H$ est la distance du point $M$ à la droite $d$ .

Propriété

Propriété (démontrée). Le projeté $H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$  : pour tout point $P$ de $d$ , $M P \geq M H$ , avec égalité seulement si $P = H$ . Preuve. $M P = M H + H P$ , et $M H \cdot H P = 0$ car $H P$ dirige $d$ ou est nul. En développant le carré scalaire, $M P^{2} = M H^{2} + H P^{2} \geq M H^{2}$ , avec égalité si et seulement si $H P = 0$ .

Calculer les coordonnées du projeté orthogonal

Un vecteur directeur de $d : a x + b y + c = 0$  : $u (- b; a)$ .
Deux conditions sur $H (x; y)$  : $H \in d$ , soit $a x + b y + c = 0$  ; et $M H \cdot u = 0$ .la seconde équation est celle de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$  : $H$ est l'intersection des deux droites.
Résoudre le système, en général par substitution.
Contrôler : $H$ vérifie l'équation de $d$ , et $M H \cdot u = 0$ . La distance de $M$ à $d$ est $M H$ .le point de $d$ de même abscisse que $M$ ne convient que si $d$ est horizontale.

Exemple

Soit $d : x + 2 y - 4 = 0$ et $M (6; 4)$ . Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ , puis la distance de $M$ à $d$ .

$u (- 2; 1)$ dirige $d$ . Pour $H (x; y)$ , $M H (x - 6; y - 4)$ et $M H \cdot u = - 2 (x - 6) + (y - 4) = 0$ , soit $y = 2 x - 8$ .
On reporte dans l'équation de $d$  : $x + 2 (2 x - 8) - 4 = 0$ , soit $5 x - 20 = 0$ , donc $x = 4$ , puis : $y = 2 \times 4 - 8 = 0$ contrôle : $4 + 2 \times 0 - 4 = 0$ , donc $H (4; 0)$ est bien sur $d$ .
$M H (- 2; - 4)$ , d'où la distance, qui vaut aussi $25$  : $M H = (- 2)^{2} + (- 4)^{2} = 20 \approx 4, 47$

$H (4; 0)$ , et la distance de $M$ à $d$ vaut $25$

Le projeté $H$ est au pied de la perpendiculaire à $d$ issue de $M$ ; tout autre point de $d$ est plus loin de $M$.

Piège

Pour la droite $y = 3 x + 2$ , annoncer le vecteur normal $n (3; 1)$ .

Pourquoi — on ne lit $a$ et $b$ que sur $a x + b y + c = 0$ . Ici $3 x - y + 2 = 0$  : $n (3; - 1)$ .

Ce que ça coûte — toute droite perpendiculaire qu'on en déduit.

Le réflexe — tout passer à gauche, puis vérifier $n \cdot u = 0$ .

Piège

Avec $n (2; 5)$ , écrire $- 5 x + 2 y + c = 0$ , par réflexe de seconde.

Pourquoi — c'est la droite dirigée par $(2; 5)$ , perpendiculaire à celle qu'on cherche.

Ce que ça coûte — la question entière.

Le réflexe — normal : $(a; b)$ tel quel ; directeur : $(- b; a)$ .

Piège

À la deuxième étape, écrire $M H \cdot n = 0$ avec le vecteur normal.

Pourquoi — c'est l'équation de la parallèle à $d$ passant par $M$  : le système n'a pas de solution.

Ce que ça coûte — le projeté et la distance.

Le réflexe — $M H$ est colinéaire à $n$ , donc orthogonal à $u$  : utiliser $u$ .

3Équation d'un cercle

Propriété

Propriété (démontrée). Le cercle $C$ de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$  : un point $M (x; y)$ est sur $C$ si et seulement si ses coordonnées la vérifient. Preuve. $M \in C ⟺ Ω M = r ⟺ Ω M^{2} = r^{2}$ , car $Ω M$ et $r$ sont positifs ; et, le repère étant orthonormé, $Ω M^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ . (Descartes, XVII^e siècle.)

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Exemple

Le cercle $C$ a pour centre $Ω (1; 2)$ et passe par $A (4; 6)$ . Écrire son équation, puis déterminer ses points d'intersection avec la droite $δ$ d'équation $x = 4$ .

Le rayon est $Ω A$  : $r^{2} = Ω A^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25$
D'où $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ , de rayon 5. Sur $δ$ , on remplace $x$ par 4 : $9 + (y - 2)^{2} = 25$ , donc : $(y - 2)^{2} = 25 - 9 = 16$
$y - 2 = 4$ ou $y - 2 = - 4$ , soit $y = 6$ ou $y = - 2$ .

$C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$  ; $δ$ le coupe en $A (4; 6)$ et $A^{'} (4; - 2)$

À gauche, l'exemple ci-dessus ; à droite, le cercle reconnu dans l'exemple suivant.

Reconnaître une équation de cercle

Se ramener à $x^{2} + y^{2} + p x + q y + s = 0$ , en divisant si besoin par le coefficient commun de $x^{2}$ et de $y^{2}$ .
Faire apparaître deux carrés : $x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - \frac{p ^{2}}{4}$ , de même en $y$ , puis isoler : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = k$ .c'est la forme canonique du second degré, appliquée à chaque variable.
Conclure selon le signe de $k$  : si $k > 0$ , cercle de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $k$  ; si $k = 0$ , le seul point $Ω$  ; si $k < 0$ , aucun point.

Exemple

Reconnaître l'ensemble $E$ des points $M (x; y)$ tels que $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ .

$x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ et $y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1$ .
L'équation devient $(x - 3)^{2} - 9 + (y + 1)^{2} - 1 + 6 = 0$ , d'où le second membre : $k = 9 + 1 - 6 = 4$
$(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ , avec $4 > 0$  : le rayon vaut $4 = 2$ .

$E$ est le cercle de centre $Ω^{'} (3; - 1)$ et de rayon 2

Piège

Lire le centre de $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 16$ comme le point $(3; 1)$ .

Pourquoi — $x + 3 = x - (- 3)$ , donc $a = - 3$  : le centre est $(- 3; 1)$ .

Ce que ça coûte — le centre et la figure.

Le réflexe — au centre, chaque parenthèse doit s'annuler.

Piège

Donner le rayon 16 pour le cercle $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 16$ .

Pourquoi — le second membre est $r^{2}$  : le rayon vaut $16 = 4$ .

Ce que ça coûte — le rayon et ce qui en dépend.

Le réflexe — un rayon, c'est la racine du second membre.

Piège

Conclure « c'est un cercle » pour $x^{2} + y^{2} + 4 x + 5 = 0$ sans finir le calcul.

Pourquoi — $(x + 2)^{2} + y^{2} = - 1$ est impossible : l'ensemble est vide.

Ce que ça coûte — la conclusion entière.

Le réflexe — finir les carrés, puis regarder le signe de $k$ .

4Étudier une configuration avec un repère

Traduire une figure en calculs

Choisir un repère orthonormé : origine en un sommet, axes le long de deux côtés perpendiculaires.piège : pour un rectangle $A B C D$ non carré, $(A; A B, A D)$ n'est pas orthonormé, et $x x^{'} + y y^{'}$ n'y donne pas le produit scalaire.
Traduire chaque donnée : milieu → coordonnées moyennes ; perpendiculaire → vecteur normal ou produit scalaire nul ; distance → $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$  ; cercle → équation.
Calculer, puis conclure sur la figure par une phrase.

$ABCD$ carré de côté 2, $I$ et $J$ milieux de $[AB]$ et $[BC]$.

Exemple

$A B C D$ est un carré de côté 2, $I$ est le milieu de $[A B]$ et $J$ celui de $[B C]$ . Démontrer que $(D I)$ et $(A J)$ sont perpendiculaires, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection $K$ .

Repère orthonormé d'origine $A$ , d'axes $(A B)$ et $(A D)$ , d'unité la moitié du côté : $D (0; 2)$ , $I (1; 0)$ , $J (2; 1)$ , d'où $D I (1; - 2)$ et $A J (2; 1)$ , de produit scalaire nul : $1 \times 2 + (- 2) \times 1 = 0$
$(A J) : x - 2 y = 0$ (vecteur normal $D I$ ) et $(D I) : 2 x + y - 2 = 0$ (vecteur normal $A J$ ). Avec $x = 2 y$  : $5 y - 2 = 0$ , d'où $y = \frac{2}{5}$ , $x = \frac{4}{5}$  ; $K$ est le projeté de $D$ sur $(A J)$ .

$(D I) ⊥ (A J)$ , et $K (\frac{4}{5}; \frac{2}{5})$

▢Ai-je écrit l'équation sous la forme $a x + b y + c = 0$ avant de lire un vecteur normal ?
▢Pour un projeté, ai-je écrit $H \in d$ et $M H \cdot u = 0$ , puis contrôlé ?
▢Pour un cercle, ai-je discuté le signe de $k$ et pris $r = k$  ?

L'essentiel en 6 points

·Droite $a x + b y + c = 0$  : vecteur normal $n (a; b)$ , vecteur directeur $u (- b; a)$ .
·Par $A$ , de vecteur normal $(a; b)$  : $a x + b y + c = 0$ , $c$ calculé avec $A$ .
·Droites perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
·Projeté $H$ de $M$ sur $d$  : $H \in d$ et $M H \cdot u = 0$  ; $M H$ est la distance de $M$ à $d$ , la plus courte.
·Cercle de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $r$  : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
·Reconnaître un cercle : compléter les carrés, puis le signe de $k$  ; rayon $k$ .

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Fiche PDF — Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle

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Trois documents à imprimer, 9 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.

Au sommaire du cours

1. Vecteur normal et équation de droite
2. Projeté orthogonal d'un point sur une droite
3. Équation d'un cercle
4. Étudier une configuration avec un repère

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Vecteurs normaux et équations de droites

Calculer

a.Donne un vecteur normal à la droite $d_{1} : 3 x - 2 y + 5 = 0$ .
b.Donne un vecteur normal à la droite $d_{2} : y = - 2 x + 1$ .
c.Détermine une équation cartésienne de la droite passant par $A (2; - 1)$ et de vecteur normal $n (3; 4)$ .
d.Détermine une équation de la droite passant par $B (- 1; 3)$ et perpendiculaire à $d_{1}$ .

›Voir le corrigé

a. Les coefficients de $x$ et de $y$ donnent un vecteur normal : $n_{1} (3; - 2)$ .
b. On passe tout à gauche : $2 x + y - 1 = 0$ , donc $n_{2} (2; 1)$ est normal à $d_{2}$ .
c. La droite a une équation $3 x + 4 y + c = 0$ , et $A$ la vérifie : $c = - (3 \times 2 + 4 \times (- 1)) = - 2$
d. $d_{1}$ est dirigée par $u_{1} (2; 3)$ , qui est donc normal à la droite cherchée : $2 x + 3 y + c = 0$ , et $B$ la vérifie : $c = - (2 \times (- 1) + 3 \times 3) = - 7$
La droite de c. a pour équation $3 x + 4 y - 2 = 0$  ; celle de d. a pour équation $2 x + 3 y - 7 = 0$ .

Équations de cercles

Représenter

a.Écris une équation du cercle $C$ de centre $Ω (- 2; 1)$ et de rayon 3.
b.Les points $A (1; 1)$ et $B (0; 3)$ appartiennent-ils à $C$  ?
c.Dans un repère orthonormé d'unité 0,5 cm, place $Ω$ , $A$ et $B$ , puis trace $C$ . Où se trouve $B$ par rapport au cercle ? Justifie par un calcul.
d.Donne le centre et le rayon du cercle $C^{'}$ d'équation $(x - 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 7$ .

›Voir le corrigé

a. $(x - (- 2))^{2} + (y - 1)^{2} = 3^{2}$ , soit $C : (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ .
b. Pour $A$ , on remplace $x$ par 1 et $y$ par 1 : le résultat vaut 9, donc $A \in C$ . $(1 + 2)^{2} + (1 - 1)^{2} = 9 + 0 = 9$
Pour $B$  : le résultat vaut 8, et $8 \neq = 9$ , donc $B \in / C$ . $(0 + 2)^{2} + (3 - 1)^{2} = 4 + 4 = 8$
c. $Ω B^{2} = 8 < 9$ , donc $Ω B = 22 < 3$  : $B$ est à l'intérieur du cercle, ce que confirme la figure.
d. $x - 4$ et $y - (- 5)$  : centre $Ω^{'} (4; - 5)$ . Le second membre vaut $r^{2} = 7$ , donc le rayon est $7$ .

Projeté orthogonal et distance à une droite

Calculer

a.On considère la droite $d : 2 x - y + 1 = 0$ et le point $M (7; 0)$ . Donne un vecteur directeur $u$ de $d$ .
b.Détermine une équation de la droite $Δ$ perpendiculaire à $d$ passant par $M$ .
c.Calcule les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ .
d.Déduis-en la distance du point $M$ à la droite $d$ , en valeur exacte.

›Voir le corrigé

a. Avec $a = 2$ et $b = - 1$  : $u (- b; a)$ , soit $u (1; 2)$ .
b. $u$ est normal à $Δ$  : $x + 2 y + c = 0$ , et $M$ la vérifie : $c = - (7 + 2 \times 0) = - 7$ donc $Δ : x + 2 y - 7 = 0$ .
c. $H$ est sur $d$ et sur $Δ$ . De $d$  : $y = 2 x + 1$  ; dans $Δ$  : $x + 2 (2 x + 1) - 7 = 0$ , soit $5 x - 5 = 0$ , donc $x = 1$ et $y = 3$ . Contrôle : $H (1; 3)$ vérifie l'équation de $d$ . $2 \times 1 - 3 + 1 = 0$
d. $M H (- 6; 3)$ , donc : $M H = (- 6)^{2} + 3^{2} = 45 \approx 6, 71$
Comme $45 = 9 \times 5$ , la distance de $M$ à $d$ vaut exactement $35$ .

Vrai ou faux ? Justifie.

Raisonner

a.« Le vecteur $n (- 4; 6)$ est normal à la droite d'équation $2 x - 3 y + 7 = 0$ . »
b.« Les droites d'équations $x + 2 y - 1 = 0$ et $2 x - y + 5 = 0$ sont perpendiculaires. »
c.« Les droites d'équations $y = 2 x + 1$ et $y = - 2 x + 3$ sont perpendiculaires. »
d.« L'équation $x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = 0$ est celle d'un cercle. »
e.« Le cercle d'équation $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ a pour centre $(- 1; 2)$ et pour rayon 9. »
f.« Le projeté orthogonal de $M (3; 5)$ sur l'axe des abscisses est le point $(3; 0)$ . »

›Voir le corrigé

a. Vrai. $(2; - 3)$ est normal à la droite, et $(- 4; 6) = - 2 \times (2; - 3)$ lui est colinéaire et non nul.
b. Vrai. Les vecteurs normaux $(1; 2)$ et $(2; - 1)$ sont orthogonaux : $1 \times 2 + 2 \times (- 1) = 0$
c. Faux. Les équations s'écrivent $2 x - y + 1 = 0$ et $2 x + y - 3 = 0$  ; les vecteurs normaux $(2; - 1)$ et $(2; 1)$ ne sont pas orthogonaux : $2 \times 2 + (- 1) \times 1 = 3$
d. Faux. $x^{2} + (y - 1)^{2} = 0$  : une somme de deux carrés nulle impose $x = 0$ et $y = 1$ . L'ensemble est le seul point $(0; 1)$ .
e. Faux. Le centre est $(1; - 2)$ et le rayon $9 = 3$ .
f. Vrai. Le point $(3; 0)$ est sur l'axe, et le vecteur $(0; - 5)$ qui le relie à $M$ est orthogonal au vecteur directeur $(1; 0)$ de l'axe.

Repérer l'erreur

Communiquer

a.Pour reconnaître l'ensemble $E$ d'équation $x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 8 = 0$ , Léa écrit : « $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2}$ et $y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2}$ , donc $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = - 8$  : $E$ est vide. » Explique son erreur.
b.Détermine la nature de $E$ , et s'il y a lieu son centre et son rayon.
c. $E$ coupe-t-il l'axe des ordonnées ? Justifie par un calcul.

›Voir le corrigé

a. $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$  : Léa a oublié de retrancher 16, et de même 1 pour $y$ . En fait $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$ et $y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1$ .
b. L'équation devient $(x - 4)^{2} - 16 + (y + 1)^{2} - 1 + 8 = 0$ , d'où le second membre : $16 + 1 - 8 = 9$ $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$ avec $9 > 0$  : $E$ est le cercle de centre $Ω (4; - 1)$ et de rayon 3.
c. Sur l'axe des ordonnées, $x = 0$  : $16 + (y + 1)^{2} = 9$ , donc $(y + 1)^{2}$ vaudrait : $9 - 16 = - 7$ un carré n'est jamais négatif : aucune solution.
Le cercle ne coupe pas l'axe des ordonnées : son centre est à la distance 4 de cet axe, plus que le rayon 3.

L'arroseur et l'allée

Modéliser

a.Un jardin est muni d'un repère orthonormé d'unité 1 m. Un arroseur placé en $Ω (3; 2)$ arrose un disque de rayon 5 m ; une allée rectiligne suit la droite $d : x + 2 y - 17 = 0$ . Écris une équation du cercle $C$ qui limite la zone arrosée.
b.Détermine les coordonnées du point $H$ de l'allée le plus proche de l'arroseur.
c.Calcule $Ω H$ . L'eau atteint-elle l'allée ?
d.Vérifie que $E (7; 5)$ et $F (3; 7)$ sont à la fois sur l'allée et sur $C$ .
e.Quelle longueur d'allée est arrosée ? Que représente $H$ pour le segment $[E F]$  ?

Le disque arrosé et l'allée, unité 1 m.

›Voir le corrigé

a. $C : (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .
b. C'est le projeté orthogonal de $Ω$ sur $d$ . Avec $u (- 2; 1)$ , $H (x; y)$ vérifie $Ω H \cdot u = - 2 (x - 3) + (y - 2) = 0$ , soit $y = 2 x - 4$ .
Dans $d$  : $x + 2 (2 x - 4) - 17 = 0$ , soit $5 x = 25$ , donc $x = 5$ , et $y = 2 \times 5 - 4 = 6$ . Contrôle : $H (5; 6)$ est sur $d$ . $5 + 2 \times 6 - 17 = 0$
c. On calcule la distance : $Ω H = (5 - 3)^{2} + (6 - 2)^{2} = 20 \approx 4, 47$ $Ω H < 5$  : le point $H$ de l'allée est dans la zone arrosée, donc l'eau atteint l'allée.
d. $E$  : $7 + 2 \times 5 - 17 = 0$ , donc $E \in d$  ; et $E \in C$  : $(7 - 3)^{2} + (5 - 2)^{2} = 16 + 9 = 25$ de même, $F \in d$ car $3 + 14 - 17 = 0$ , et $F \in C$ car $0^{2} + 5^{2} = 25$ .
e. La partie arrosée de l'allée est le segment $[E F]$ , entre les deux points où $d$ coupe le cercle : $E F = (3 - 7)^{2} + (7 - 5)^{2} = 20 \approx 4, 47$
Le milieu de $[E F]$ est $(\frac{7 + 3}{2}; \frac{5 + 7}{2}) = (5; 6)$  : c'est $H$ . Environ 4,47 m d'allée sont arrosés ( $25$ m).

Les hauteurs d'un triangle

Chercher

a.On donne $A (- 2; 0)$ , $B (4; 0)$ et $C (0; 4)$ . Détermine une équation de la hauteur $h_{A}$ issue de $A$ dans le triangle $A B C$ .
b.Justifie que la hauteur $h_{C}$ issue de $C$ a pour équation $x = 0$ .
c.Calcule les coordonnées du point $K$ d'intersection de $h_{A}$ et $h_{C}$ .
d.Démontre que $K$ appartient aussi à la hauteur $h_{B}$ issue de $B$ . Que peut-on conclure ?

›Voir le corrigé

a. $h_{A}$ passe par $A$ et est perpendiculaire à $(B C)$  : $B C (- 4; 4)$ lui est normal, donc aussi $(- 1; 1)$  : $- x + y + c = 0$ , et $A$ donne $2 + c = 0$ . Ainsi $h_{A} : - x + y - 2 = 0$ , soit $y = x + 2$ .
b. $A B (6; 0)$ est normal à $h_{C}$  : $6 x + c = 0$ . $C (0; 4)$ la vérifie, donc $c = 0$ et $h_{C} : x = 0$ .
c. Avec $x = 0$ dans $y = x + 2$ , on obtient $y = 2$  : $K (0; 2)$ .
d. $A C (2; 4)$ est normal à $h_{B}$  : $2 x + 4 y + c = 0$  ; $B$ la vérifie, donc $8 + c = 0$ , $c = - 8$ . On teste $K$  : $2 \times 0 + 4 \times 2 - 8 = 0$
$K$ est sur les trois hauteurs : elles sont concourantes en $K$ , l'orthocentre du triangle.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Vecteur normal lu, équation de droite par un point et un vecteur normal2 ptsPerdu si : Lire $a$, $b$ sur $y = mx + p$ ; confondre normal et directeur ; oublier $c$
Projeté orthogonal : système $H \in d$, $\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u} = 0$, résolu et contrôlé2 ptsPerdu si : Utiliser $\vec{n}$ au lieu de $\vec{u}$ ; point de même abscisse
Équation d'un cercle : écrite, puis utilisée par substitution2 ptsPerdu si : Signe du centre inversé ; $r$ au lieu de $r^2$
Reconnaître un cercle : carrés complétés, signe de $k$, centre et rayon2 ptsPerdu si : Oublier de retrancher $\frac{p^2}{4}$ ; « cercle » quand $k \leq 0$
Configuration : données traduites, conclusion rédigée en valeur exacte2 ptsPerdu si : Conclure sur l'allure de la figure ; valeur approchée seule

La méthode

Équation d'une droite par un point et un vecteur normal

1
Écrire ax + by + c = 0 avec a et b les coordonnées du vecteur normal.
2
Remplacer x et y par les coordonnées du point pour trouver c.
3
Contrôler avec un deuxième point ou un vecteur directeur.

Se tester

Touches 1 à 4

Les questions spécifiques à ce chapitre arrivent. En attendant, voici des questions de Mathématiques Première.

MathématiquesPremière

Question 1

Un joueur de tennis frappe une balle dont la trajectoire est modélisée par

f(x) = e^{-0.1x} \sin(2x)

, où

f(x)

est la hauteur (en mètres) de la balle à une distance horizontale

x

(en mètres) du joueur. Quelle est la dérivée de cette fonction ?

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Questions fréquentes

Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Première, année du Bac de français. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle ?

Programme 2026, spécialité de 1re, Géométrie repérée : vecteur normal à une droite, équation cartésienne, projection orthogonale d'un point sur une droite, équation de cercle. Les notions à maîtriser sont : vecteur normal, équation cartésienne, projeté orthogonal, équation de cercle, distance, repère orthonormé.

Où télécharger la fiche PDF de Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 9 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle peut-il tomber au Bac de français ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Première, il entre donc dans le périmètre du Bac de français. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Comment réviser Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

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Notions à maîtriser

Réviser

1Vecteur normal et équation de droite

Équation d'une droite donnée par un point et un vecteur normal

2Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Calculer les coordonnées du projeté orthogonal

3Équation d'un cercle

Reconnaître une équation de cercle

4Étudier une configuration avec un repère

Traduire une figure en calculs

Imprimer

Fiche PDF — Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle

Exercices corrigés

Vecteurs normaux et équations de droites

Équations de cercles

Projeté orthogonal et distance à une droite

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Repérer l'erreur

L'arroseur et l'allée

Les hauteurs d'un triangle

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