Conditionnement — Probabilité conditionnelle, arbres, indépendance

probabilité de B sachant A — Soit $A$ un évènement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : l'univers se réduit à $A$, et l'on mesure la part de $B$ dans $A$. Si $P(A)=0$, $P_A(B)$ n'est pas défini.

Pour $P(A)\ne 0$. Formule du produit : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$. Contraire : $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)$. Démonstration : $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$ sont incompatibles, de réunion $A$, donc $P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})=P(A)$ ; on divise par $P(A)$.

Lire une probabilité dans un tableau croisé

1. Repérer la population de référence : tout l'effectif pour $P(A\cap B)$, la ligne ou la colonne de $A$ pour $P_A(B)$ (« sachant », « parmi »).
2. Diviser l'effectif de la case commune à $A$ et $B$ par celui de cette population.

On tire au hasard un élève parmi les 400 élèves de première d'un lycée. $M$ : « il suit la spécialité mathématiques » ; $S$ : « il pratique un sport en club ». Calculer $P(M\cap S)$, $P_M(S)$ et $P_S(M)$ avec le tableau croisé ci-dessous.

1. Tirage équiprobable : chaque probabilité est un quotient d'effectifs, de numérateur 90, la case commune ; seul le dénominateur change (figure). Par exemple, parmi les 240 élèves $M$ :$P_M(S)=\frac{90}{240}=0,375$

$P(M\cap S)=0,225$, $P_M(S)=0,375$, $P_S(M)=0,5625$.

partition de l'univers — Des évènements non vides $A_1$, …, $A_n$ forment une partition de $\Omega$, ou système complet d'évènements, s'ils sont incompatibles deux à deux et de réunion $\Omega$ : chaque issue en réalise un et un seul. Exemple : $A$ et $\overline{A}$, si $A$ n'est ni impossible ni certain.

Formule des probabilités totales. Si $A_1$, …, $A_n$ forment une partition de $\Omega$, de probabilités non nulles, alors pour tout évènement $B$, $P(B)=P(A_1\cap B)+\cdots +P(A_n\cap B)$, où chaque terme vaut $P(A_i)\times P_{A_i}(B)$. Démonstration : les $A_i\cap B$ sont incompatibles deux à deux, de réunion $B$ ; leurs probabilités s'ajoutent. Avec $A$, $\overline{A}$ : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.

Les règles de l'arbre pondéré

1. Placer les données : une partition au premier niveau ; au second, ce qui se passe sachant chaque branche : de $A$ vers $B$, $P_A(B)$ et non $P(B)$. Les branches d'un nœud ont pour somme 1.
2. Un chemin est un produit : c'est une intersection, $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
3. Un évènement est une somme : on additionne les chemins qui y mènent (probabilités totales).
4. Pour inverser le conditionnement, revenir à la définition : $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif chez 95 % des malades, mais aussi chez 3 % des personnes saines. On choisit une personne au hasard ; $M$ : « elle est malade », $T$ : « son test est positif ». Calculer $P(T)$, puis $P_T(M)$.

1. Premier niveau $M$, $\overline{M}$ : $0,02$ et $0,98$. Second niveau : $P_M(T)=0,95$ et $P_{\overline{M}}(T)=0,03$. Probabilités totales sur les deux chemins qui mènent à $T$ :$P(T)=0,02\times 0,95+0,98\times 0,03=0,019+0,0294=0,0484$
2. Puis la définition, dans l'autre sens, arrondie au millième :$P_T(M)=\frac{0,019}{0,0484}\approx 0,393$

$P(T)=0,0484$ et $P_T(M)\approx 0,393$ : moins de 40 % des tests positifs signalent un malade. Rien à voir avec $P_M(T)=0,95$ : les faux positifs l'emportent.

évènements indépendants — Deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Cette définition est symétrique en $A$ et $B$.

1. Si $P(A)\ne 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$. Démonstration : comme $P(A)\ne 0$, l'égalité $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)$ équivaut à $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. 2. Si $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi (de même pour $A$ et $\overline{B}$). Démonstration : $A\cap B$ et $\overline{A}\cap B$ partagent $B$ en deux, d'où $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)=P(\overline{A})P(B)$.

Justifier ou utiliser l'indépendance

1. La justifier : calculer $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ séparément et comparer, ou comparer $P_A(B)$ et $P(B)$.
2. L'utiliser, quand l'énoncé l'affirme ou que le modèle la pose, comme pour deux dés lancés séparément : remplacer $P(A\cap B)$ par $P(A)\times P(B)$. Dans une situation réelle, l'indépendance fait partie du modèle.

On lance un dé équilibré. $A$ : « résultat pair » ; $B$ : « résultat $\le 2$ » ; $C$ : « résultat $\le 3$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? $A$ et $C$ ?

1. $A\cap B=\{2\}$, donc $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$, égal au produit :$P(A)\times P(B)=\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
2. $A\cap C=\{2\}$, donc $P(A\cap C)=\frac{1}{6}$, différent du produit :$P(A)\times P(C)=\frac{3}{6}\times \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$

$A$ et $B$ sont indépendants ; $A$ et $C$ ne le sont pas.

succession de deux épreuves indépendantes — Les probabilités de la seconde épreuve ne dépendent pas du résultat de la première. Une issue est un couple $(x;y)$, de probabilité le produit $P(x)\times P(y)$ : c'est le modèle. Dans l'arbre, les branches du second niveau sont les mêmes sous chaque nœud ; dans le tableau à double entrée, chaque case porte le produit de sa ligne et de sa colonne. Des tirages sans remise ne sont pas indépendants.

épreuve de Bernoulli, répétition — Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès $S$ et échec $\overline{S}$ ; $p=P(S)$ est son paramètre. Sa répétition $n$ fois, identique et indépendante ($n\le 4$), donne un arbre à $2^n$ chemins. Par la règle du produit, un chemin à $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$, quel que soit l'ordre ; pour exactement $k$ succès, on multiplie par le nombre de chemins à $k$ succès, compté sur l'arbre. Suite en terminale : fiche « Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale ».

Répéter une épreuve de Bernoulli

1. Nommer le succès, donner $p$, justifier « identiques et indépendantes » (tirages avec remise…).
2. Lister sur l'arbre les chemins qui réalisent l'évènement, multiplier le long de chacun, puis additionner.
3. Pour « au moins un succès », passer par le contraire : « aucun succès » n'a qu'un chemin, de probabilité $(1-p{)}^n$.

Une joueuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0,8$, indépendamment des autres. Elle en tire trois : probabilité d'en réussir exactement deux ? au moins un ?

1. Bernoulli répétée, $p=0,8$ : trois chemins ont deux succès ($SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$, $\overline{S}SS$), chacun de probabilité $0,8^2\times 0,2=0,128$ :$3\times 0,128=0,384$
2. « Au moins un succès » a pour contraire « trois échecs », un seul chemin :$1-0,2^3=1-0,008=0,992$

Exactement deux réussites : $0,384$. Au moins une : $0,992$.