Produit scalaire — Projection, cosinus et coordonnées

produit scalaire — Soit $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ deux vecteurs non nuls. Leur produit scalaire est le nombre réel $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \widehat{BAC}$, où $\widehat{BAC}$ est l'angle géométrique, entre 0° et 180°. Si l'un des vecteurs est nul, $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$. Le carré scalaire vaut $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$, car $\cos 0°=1$ ; ainsi $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=A{B}^2$.

Projection (démontrée). Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$ : il vaut $AB\times AH$ si $H$ est sur la demi-droite $[AB)$, et $-AB\times AH$ sinon. Preuve : si $\widehat{BAC}$ est aigu, le triangle $AHC$ est rectangle en $H$ et $AH=AC\cos \widehat{BAC}$ ; s'il est obtus, $AH=AC\cos (180°-\widehat{BAC})=-AC\cos \widehat{BAC}$ ; s'il est droit, $H=A$ et tout est nul.

Orthogonalité (démontrée). Deux vecteurs sont orthogonaux si l'un est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires. Alors $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux : pour des vecteurs non nuls, $\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \ne 0$, donc le produit est nul exactement quand $\cos \widehat{BAC}=0$, soit un angle de 90°. De même, le signe du produit est celui du cosinus : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus.

Calculer par projection

1. Écrire les deux vecteurs avec la même origine, au besoin à l'aide d'un vecteur égal ou opposé.
2. Projeter orthogonalement l'extrémité du second sur la droite qui porte le premier : c'est $H$.
3. Comparer les sens de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ : même sens, $AB\times AH$ ; sens contraires, $-AB\times AH$.

$ABC$ est équilatéral de côté 6 et $H$ est le milieu de $[AB]$. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ de deux façons.

1. Avec le cosinus, l'angle en $A$ mesurant 60° :$6\times 6\times \cos 60^{\circ }=36\times 0,5=18$
2. Avec la projection : la hauteur issue de $C$ est aussi médiane, donc $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$, et $\overrightarrow{AH}$ a le sens de $\overrightarrow{AB}$.$AB\times AH=6\times 3=18$

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=18$ : les deux méthodes concordent.

Symétrie et bilinéarité (admises). $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$, $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v})$ : on développe comme un produit de sommes. Développements (démontrés) : $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot \vec{u}+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \vec{v}$, d'où les identités ci-dessous, et le calcul avec les seules normes : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \vec{u}{\Vert }^2+\Vert \vec{v}{\Vert }^2-\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2\right)$.

En base orthonormée (démontrée). Si $(\vec{i},\vec{j})$ est orthonormée, $\vec{i}\cdot \vec{i}=\vec{j}\cdot \vec{j}=1$ et $\vec{i}\cdot \vec{j}=0$. Pour $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$, développer $(x\vec{i}+y\vec{j})\cdot (x^{\prime }\vec{i}+y^{\prime }\vec{j})$ donne $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$. Donc $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ ; $\vec{u}\perp \vec{v}$ si et seulement si $x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=0$ ; et $x=\vec{u}\cdot \vec{i}$, $y=\vec{u}\cdot \vec{j}$ : les coordonnées sont des produits scalaires avec les vecteurs de la base.

Choisir sa méthode de calcul

1. Des angles droits, un projeté facile à placer : la projection.
2. Un repère orthonormé : $x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$, avec $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$.
3. Deux longueurs et l'angle qu'elles forment : le cosinus.
4. Seulement des longueurs : les normes, ou Al-Kashi (partie 3).pour un angle, $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\times AC}$, calculatrice en degrés.

Repère orthonormé : $A(0;1)$, $B(2;2)$, $C(1;4)$. $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ? Mesurer $\widehat{BAC}$.

1. $\overrightarrow{AB}(2;1)$ et $\overrightarrow{AC}(1;3)$ :$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\times 1+1\times 3=5$non nul : pas de perpendicularité ; positif : angle aigu.
2. Les normes :$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
3. Le cosinus :$\cos \widehat{BAC}=\frac{5}{\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Les droites ne sont pas perpendiculaires, et $\widehat{BAC}=45°$.

Formule d'Al-Kashi. Dans un triangle $ABC$, avec $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}$. Démonstration : $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, donc $B{C}^2=\Vert \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\Vert }^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+A{B}^2$, et $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=bc\cos \hat{A}$. Si $\hat{A}=90°$, on retrouve Pythagore.

$AB=5$, $AC=8$, $\hat{A}=60°$. Calculer $BC$, contrôler $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ avec les normes, mesurer $\hat{B}$.

1. Al-Kashi en $A$ :$B{C}^2=5^2+8^2-2\times 5\times 8\times 0,5=89-40=49$donc $BC=7$.
2. Normes, avec $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ :$\frac{1}{2}(5^2+8^2-7^2)=20=5\times 8\times 0,5$
3. Al-Kashi en $B$, angle compris entre $BA=5$ et $BC=7$, face à $AC=8$ :$\cos \hat{B}=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\times 5\times 7}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$

$BC=7$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=20$ et $\hat{B}\approx 81,8°$.

Transformation (démontrée). Soit $I$ le milieu de $[AB]$. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$, donc $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-I{A}^2$, avec $IA=\frac{AB}{2}$.

Théorème (démontré). L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$. Preuve : $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0⟺M{I}^2=\frac{A{B}^2}{4}⟺MI=\frac{AB}{2}$, car une distance est positive. $A$ et $B$ en font partie ; en tout autre point $M$ du cercle, $AMB$ est rectangle en $M$.

Ensemble des points M tels que MA · MB = k

1. Transformer : $M{I}^2=k+\frac{A{B}^2}{4}$.
2. Si ce nombre est positif : cercle de centre $I$, de rayon sa racine carrée ; nul : le point $I$ ; négatif : ensemble vide.

$AB=6$. Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=16$ ?

1. $IA=3$, donc $M{I}^2-9=16$ :$M{I}^2=16+9=25$et $MI=5$.

Le cercle de centre $I$ et de rayon 5.