Variables aléatoires — Loi, espérance et variance

variable aléatoire réelle — L'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est fini et muni d'une probabilité $P$. Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction définie sur $\Omega$, à valeurs réelles : à chaque issue $\omega$, elle associe un nombre $X(\omega )$. On note $X:\Omega \to \mathbb{R}$. Elle modélise un résultat numérique de l'expérience : un gain, un nombre de succès, une somme.

les événements {X = a} et {X ⩽ a} — Pour un réel $a$, $\{X=a\}$ est l'événement formé des issues $\omega$ telles que $X(\omega )=a$ ; de même $\{X⩽a\}$, $\{X>a\}$… Ce sont des ensembles d'issues ; $P(X=a)$ et $P(X⩽a)$ sont des nombres. « $P(X)$ » n'a aucun sens : $X$ est une fonction, pas un événement.

Le jeu du dé. On lance un dé équilibré. On gagne 5 € si l'on obtient 6, 1 € si l'on obtient 4 ou 5, et l'on perd 2 € sinon ; $X$ est le gain algébrique. Calculer $P(X=-2)$, puis la probabilité de gagner de l'argent.

1. $\Omega =\{1,\dots ,6\}$, équiprobable. Une perte est un gain négatif : $\{X=-2\}=\{1,2,3\}$, d'où $P(X=-2)=\frac{3}{6}$. Gagner de l'argent, c'est $\{X>0\}=\{4,5,6\}$ :$\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

$P(X=-2)=\frac{1}{2}$ et $P(X>0)=\frac{1}{2}$.

Passer de la phrase au symbole, et inversement

1. Traduire le mot-clé : « au moins $a$ » donne $X⩾a$, car $a$ est inclus ; « au plus $a$ », $X⩽a$ ; « plus de $a$ », $X>a$ ; « moins de $a$ », $X<a$. Inversement, $\{X⩽1\}$ se dit « le gain est d'au plus 1 € ».traduire « au moins 3 » par $X>3$ fait perdre la valeur 3, et sa probabilité avec.
2. Lister les valeurs de $X$ que contient l'événement, et passer au contraire quand c'est plus court : $P(X⩽1)=1-P(X=5)=\frac{5}{6}$ au jeu du dé.

loi de probabilité de X — Soit $x_1,\dots ,x_n$ les valeurs distinctes prises par $X$. Déterminer la loi de $X$, c'est donner chaque probabilité $p_i=P(X=x_i)$, dans un tableau ; on la représente par un diagramme en bâtons. Les événements $\{X=x_i\}$ partagent l'univers sans se chevaucher : les $p_i$ sont positifs et $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$.

Déterminer la loi d'une variable aléatoire

1. Décrire l'univers par un arbre ou un tableau à double entrée, et calculer $X(\omega )$ pour chaque issue.
2. Regrouper : $P(X=x_i)$ est la somme des probabilités des issues qui donnent $x_i$ (en cas d'équiprobabilité, leur nombre sur le nombre total d'issues). Contrôler que la somme vaut 1.

On lance deux dés équilibrés ; $X$ est l'écart entre les deux faces, la plus grande moins la plus petite. Déterminer la loi de $X$.

1. Les $6\times 6=36$ couples sont équiprobables. Dans le tableau, 6 cases donnent 0 (la diagonale), 10 donnent 1, puis 8, 6, 4 et 2 donnent 2, 3, 4 et 5. Ainsi :$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$
2. Contrôle de la somme :$\frac{6+10+8+6+4+2}{36}=1$

pour les valeurs 0 à 5, $p_i=\frac{6}{36}$, $\frac{10}{36}$, $\frac{8}{36}$, $\frac{6}{36}$, $\frac{4}{36}$, $\frac{2}{36}$ : voir le tableau plus bas.

espérance — L'espérance de $X$ est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités, dans l'unité de $X$. On l'interprète comme la valeur moyenne prise par $X$ sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience ; ce n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre. Si $X$ est un caractère numérique d'un individu tiré au sort, avec équiprobabilité, dans une population, la loi de $X$ est la distribution des fréquences du caractère et $E(X)$ en est la moyenne.

Linéarité de l'espérance (démontrée). En regroupant les issues selon la valeur de $X$, $E(X)={\sum }_{\omega \in \Omega }P(\{\omega \})X(\omega )$. Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $\Omega$ et $a$, $b$ réels, on en tire $\sum P(\{\omega \})(aX(\omega )+b)=aE(X)+b$, car $\sum P(\{\omega \})=1$ ; de même pour $X+Y$. Ainsi la somme de deux dés a pour espérance $3,5+3,5=7$, sans passer par sa loi.

Décider si un jeu est équitable

1. Définir le gain net $G$ : ce que le joueur reçoit, moins sa mise $m$. Si $R$ est le montant reçu, $G=R-m$ et $E(G)=E(R)-m$.
2. Conclure sur le signe de $E(G)$ : jeu équitable si $E(G)=0$, favorable au joueur si $E(G)>0$, défavorable sinon. La mise équitable est $m=E(R)$.

La roue a huit secteurs égaux : un rapporte 20 €, deux 5 €, cinq rien. Quelle mise rend le jeu équitable ? Et à 4 € ?

1. Chaque secteur a la probabilité $\frac{1}{8}$ ; $R$ vaut 20, 5 ou 0 avec les probabilités $\frac{1}{8}$, $\frac{2}{8}$, $\frac{5}{8}$.$20\times \frac{1}{8}+5\times \frac{2}{8}+0\times \frac{5}{8}=3,75$
2. Mise équitable : $m=E(R)=3,75$ €. À 4 €, par linéarité :$3,75-4=-0,25$

à 4 €, le joueur perd en moyenne 25 centimes par partie : le jeu lui est défavorable.

variance et écart type — Soit $\mu =E(X)$. La variance est la moyenne, pondérée par les probabilités, des carrés des écarts à $\mu$ ; elle est positive ou nulle. L'écart type est sa racine carrée, dans l'unité de $X$. Ils mesurent la dispersion des valeurs autour de $\mu$ : pour un jeu, le risque.

Formule de König-Huygens (démontrée). $V(X)=E((X-\mu {)}^2)=E(X^2-2\mu X+{\mu }^2)=E(X^2)-2{\mu }^2+{\mu }^2$ par linéarité. Ici $E(X^2)=\sum p_i{x}_i^2$ : on élève au carré les valeurs.

Calculer une variance

1. Ajouter au tableau de la loi les lignes $p_i{x}_i$ et $p_i{x}_i^2$ ; leurs sommes sont $E(X)$ et $E(X^2)$.
2. Appliquer König-Huygens, puis la racine carrée. Une variance négative signale toujours une erreur.

Jeu A : gagner 2 € ou perdre 2 €, avec la probabilité 0,5 chacun. Jeu B : perdre 1 € avec la probabilité 0,9, gagner 9 € avec la probabilité 0,1. Comparer les gains $X_A$ et $X_B$.

1. Jeu A : $E(X_A)=0$ et les deux valeurs ont pour carré 4, donc $V(X_A)=4-0^2=4$.$\sqrt{4}=2$
2. Jeu B : $E(X_B)=-1\times 0,9+9\times 0,1=0$, puis $E(X_B^2)$ :$1\times 0,9+81\times 0,1=9$$V(X_B)=9-0^2=9$, donc $\sigma (X_B)=3$.

deux jeux équitables, mais B est plus risqué : $\sigma =3$ € contre 2 €.

Mesurer l'écart entre moyenne observée et espérance

1. Simuler $X$ en tirant $u$ au hasard dans $[0;1[$, découpé en morceaux de longueurs $p_1,\dots ,p_n$. $n$ simulations indépendantes forment un échantillon de taille $n$ ; pour $n$ grand, sa moyenne $m$ est en général proche de $E(X)$, qu'elle estime. On simule $N$ tels échantillons.
2. Mesurer l'écart : compter ceux où $|m-\mu |⩽\frac{2\sigma }{\sqrt{n}}$, avec $\mu =E(X)$ et $\sigma =\sigma (X)$, puis diviser par $N$.

Jeu du dé, $\mu =\frac{1}{6}$ : calculer $\sigma$, la borne $\frac{2\sigma }{\sqrt{n}}$ pour $n=100$, et la proportion sur la simulation ci-dessous ($N=100$).

1. $E(X^2)=\frac{4\times 3+1\times 2+25\times 1}{6}=\frac{39}{6}$, et König-Huygens donne $V(X)=\frac{39}{6}-\frac{1}{36}=\frac{233}{36}$ :$\sigma =\frac{\sqrt{233}}{6}\approx 2,544$
2. La borne, avec $\sqrt{100}=10$ :$\frac{2\times 2,544}{10}\approx 0,51$95 moyennes sur 100 sont dans la bande verte : proportion 0,95. La borne diminue quand $n$ augmente.

d'une simulation à l'autre, la proportion reste le plus souvent voisine de 0,95.