Combien de diviseurs un nombre premier possède-t-il ?

Exactement deux — Un et lui-même, et rien d'autre.

Pourquoi 1 n'est-il pas premier ?

Il n'a qu'un seul diviseur. — Deux sont exigés, et il n'en a qu'un : la définition l'exclut.

Le nombre 91 est-il premier ?

Non : 91 = 7 × 13. — Il résiste à 2, 3 et 5, ce qui le fait croire premier ; le 7 le démasque.

Jusqu'où faut-il essayer des diviseurs pour tester 97 ?

Jusqu'à 7 : le carré du premier suivant dépasse déjà 97. — 11 × 11 = 121, donc inutile d'aller plus loin.

Par quel nombre premier commence-t-on, et combien de fois ?

Par 2, deux fois : on obtient 147. — 588 ÷ 2 = 294, puis 294 ÷ 2 = 147, qui est impair.

Quel premier vient ensuite, et pourquoi ?

3, car la somme des chiffres de 147 vaut 12. — 147 ÷ 3 = 49. Le critère évite tout tâtonnement.

Écris la décomposition complète.

588 = 2² × 3 × 7² — 49 se décompose en deux facteurs 7, et tous les facteurs sont premiers.

Quel geste le barème attend-il pour finir ?

Refaire le produit pour vérifier. — Cinq secondes, et le correcteur le voit.

Donne la décomposition du numérateur.

168 = 2³ × 3 × 7 — Trois divisions par 2, puis une par 3, et 7 termine.

Donne celle du dénominateur.

420 = 2² × 3 × 5 × 7 — Deux divisions par 2, puis 3, puis 5, puis 7.

Quel nombre divise les deux ?

84 — Les facteurs communs au plus petit exposant : 4 × 3 × 7 = 84.

Donne la fraction irréductible.

2/5 — 168 ÷ 84 = 2 et 420 ÷ 84 = 5 : une seule division en haut et en bas.

Écris la phrase qui dit ce qu'on cherche.

Le nombre de pochettes divise 72 et divise 108, et on le veut le plus grand possible. — C'est cette phrase qui porte les points de modélisation.

Décompose les deux nombres.

72 = 2³ × 3² et 108 = 2² × 3³ — Les deux décompositions s'écrivent l'une sous l'autre pour être comparées.

Combien de pochettes peut-on faire ?

36 — Facteurs communs au plus petit exposant : 4 × 9 = 36.

Que contient chaque pochette ?

2 badges et 3 autocollants — 72 ÷ 36 = 2 et 108 ÷ 36 = 3 : c'est la seconde réponse, et beaucoup l'oublient.

Quel mot de l'énoncé décide du calcul ?

« Le plus grand » : on cherche un diviseur, pas un multiple. — « Se retrouvent en même temps » demanderait l'autre notion.

« 45 = 1 × 3² × 5. »

45 = 3² × 5 — La division en escalier finit sur 1, et ce 1 n'entre jamais dans le produit.

« Pour faire le plus grand nombre de sachets avec 84 bonbons et 126 caramels, je cherche un multiple commun. »

Un diviseur commun : le plus grand est 42. — Un multiple dépasserait les deux nombres, ce qui n'a aucun sens ici.

« 59 = 8 × 6 + 11, donc le reste vaut 11. »

Le reste doit rester inférieur au diviseur : 59 = 8 × 7 + 3. — L'égalité est vraie, mais la division n'est pas terminée.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Divisibilité et nombres premiers

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur la divisibilité en troisième : les nombres premiers et le test qui s'arrête, la décomposition en escalier, la fraction rendue irréductible en une seule division, les problèmes de lots identiques et la phrase de modélisation qui les note. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : un n’est donc pas premier.
On épuise un facteur avant de passer au suivant, et on ne saute jamais un premier.
Chaque facteur du produit final doit être premier, sans exception.
Pour une fraction irréductible : facteurs communs, plus petit exposant, une seule division.
« Le plus grand nombre de lots » demande un diviseur ; « se retrouvent en même temps » demande un multiple.
Un diviseur commun est plus petit que les nombres : une réponse qui les dépasse change de notion.

Exercice 1 — Premier, ou pas

4 pts · 10 min

Reconnaître un nombre premier

Réponds à chaque question.

1.Combien de diviseurs un nombre premier possède-t-il ?
1 pt
Voir la correction
Exactement deux
Un et lui-même, et rien d’autre.
2.Pourquoi 1 n’est-il pas premier ?
1 pt
Voir la correction
Il n’a qu’un seul diviseur.
Deux sont exigés, et il n’en a qu’un : la définition l’exclut.
3.Le nombre 91 est-il premier ?
1 pt
Voir la correction
Non : $91 = 7 \times 13$ .
Il résiste à 2, 3 et 5, ce qui le fait croire premier ; le 7 le démasque.
4.Jusqu’où faut-il essayer des diviseurs pour tester 97 ?
1 pt
Voir la correction
Jusqu’à 7 : le carré du premier suivant dépasse déjà 97.
$11 \times 11 = 121$ , donc inutile d’aller plus loin.

Exercice 2 — Décomposer en escalier

4 pts · 11 min

Décomposer un entier en facteurs premiers

On décompose 588. Réponds à chaque question.

1.Par quel nombre premier commence-t-on, et combien de fois ?
1 pt
Voir la correction
Par 2, deux fois : on obtient 147.
$588 \div 2 = 294$ , puis $294 \div 2 = 147$ , qui est impair.
2.Quel premier vient ensuite, et pourquoi ?
1 pt
Voir la correction
3, car la somme des chiffres de 147 vaut 12.
$147 \div 3 = 49$ . Le critère évite tout tâtonnement.
3.Écris la décomposition complète.
1 pt
Voir la correction
$588 = 2^{2} \times 3 \times 7^{2}$
49 se décompose en deux facteurs 7, et tous les facteurs sont premiers.
4.Quel geste le barème attend-il pour finir ?
1 pt
Voir la correction
Refaire le produit pour vérifier.
Cinq secondes, et le correcteur le voit.

Exercice 3 — Rendre une fraction irréductible

4 pts · 11 min

Rendre une fraction irréductible

On étudie la fraction $\frac{168}{420}$ . Réponds à chaque question.

1.Donne la décomposition du numérateur.
1 pt
Voir la correction
$168 = 2^{3} \times 3 \times 7$
Trois divisions par 2, puis une par 3, et 7 termine.
2.Donne celle du dénominateur.
1 pt
Voir la correction
$420 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7$
Deux divisions par 2, puis 3, puis 5, puis 7.
3.Quel nombre divise les deux ?
1 pt
Voir la correction
84
Les facteurs communs au plus petit exposant : $4 \times 3 \times 7 = 84$ .
4.Donne la fraction irréductible.
1 pt
Voir la correction
$\frac{2}{5}$
$168 \div 84 = 2$ et $420 \div 84 = 5$ : une seule division en haut et en bas.

Exercice 4 — Un problème de lots

5 pts · 14 min

Modéliser et résoudre un problème de partage

Un club dispose de 72 badges et de 108 autocollants. Il veut constituer le plus grand nombre possible de pochettes identiques, en utilisant tout. Réponds à chaque question.

1.Écris la phrase qui dit ce qu’on cherche.
1 pt
Voir la correction
Le nombre de pochettes divise 72 et divise 108, et on le veut le plus grand possible.
C’est cette phrase qui porte les points de modélisation.
2.Décompose les deux nombres.
1 pt
Voir la correction
$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ et $108 = 2^{2} \times 3^{3}$
Les deux décompositions s’écrivent l’une sous l’autre pour être comparées.
3.Combien de pochettes peut-on faire ?
1 pt
Voir la correction
36
Facteurs communs au plus petit exposant : $4 \times 9 = 36$ .
4.Que contient chaque pochette ?
1 pt
Voir la correction
2 badges et 3 autocollants
$72 \div 36 = 2$ et $108 \div 36 = 3$ : c’est la seconde réponse, et beaucoup l’oublient.
5.Quel mot de l’énoncé décide du calcul ?
1 pt
Voir la correction
« Le plus grand » : on cherche un diviseur, pas un multiple.
« Se retrouvent en même temps » demanderait l’autre notion.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une erreur et écrire la ligne juste

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1.« $45 = 1 \times 3^{2} \times 5$ . »
1 pt
Voir la correction
$45 = 3^{2} \times 5$
La division en escalier finit sur 1, et ce 1 n’entre jamais dans le produit.
2.« Pour faire le plus grand nombre de sachets avec 84 bonbons et 126 caramels, je cherche un multiple commun. »
1 pt
Voir la correction
Un diviseur commun : le plus grand est 42.
Un multiple dépasserait les deux nombres, ce qui n’a aucun sens ici.
3.« $59 = 8 \times 6 + 11$ , donc le reste vaut 11. »
1 pt
Voir la correction
Le reste doit rester inférieur au diviseur : $59 = 8 \times 7 + 3$ .
L’égalité est vraie, mais la division n’est pas terminée.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1La définition appliquée, et le test arrêté à temps

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un nombre déclaré premier sans qu’aucun diviseur ait été essayé.

Ex.2La décomposition complète et vérifiée

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un facteur non premier laissé dans le produit final.

Ex.3Le diviseur commun pris en une fois

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une fraction simplifiée deux fois de suite, et pas jusqu’au bout.

Ex.4La phrase de modélisation, puis les deux réponses

5 points — 1 par question

Point perdu si : Le nombre de lots donné sans dire ce que chaque lot contient.

Ex.5L’erreur repérée, et la ligne juste écrite

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Un reste supérieur au diviseur laissé tel quel.

Et maintenant ?

16 à 20: Le chapitre est acquis. Entraîne-toi maintenant sur les énoncés du brevet où le mot « diviseur » n'apparaît jamais : c'est la phrase de modélisation qui rapporte, avant même le calcul.
10 à 15: Refais l'exercice 4 en écrivant d'abord la phrase qui dit pourquoi on cherche ce nombre-là. Elle vaut souvent plus que le résultat.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et apprends les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 : ils suppriment tout le tâtonnement de la décomposition.

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