Divisibilité et nombres premiers

nombre premier — Un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers jusqu'à 31 : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$. 1 n'est pas premier — il n'a qu'un seul diviseur. 2 est le seul premier pair, puisque tout autre nombre pair est divisible par 2.

décomposition en facteurs premiers — L'écriture d'un entier comme produit de nombres premiers uniquement. On divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, par 7… jusqu'à obtenir 1. Chaque facteur du produit final doit être premier : $120=2^3\times 15$ n'est pas une décomposition, car 15 n'est pas premier. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près : on la vérifie en refaisant le produit.

Les critères de divisibilité, qui évitent de tâtonner. Par 2 : le chiffre des unités est pair. Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3. Par 5 : le nombre finit par 0 ou 5. Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9. Par 10 : le nombre finit par 0.

Quand s'arrêter de chercher. Si aucun nombre premier dont le carré est inférieur ou égal à $n$ ne divise $n$, alors $n$ est premier. Pour tester 97 : on essaie 2, 3, 5, 7 — et on s'arrête, car $11^2=121$ dépasse 97.

La division en escalier

1. On épuise 2 avant de passer à 3. Tant que le nombre est pair, on divise par 2 et on recommence.
2. Puis 3, en s'aidant du critère. Somme des chiffres divisible par 3 ? On divise, et on retente le 3 sur le quotient.
3. Puis 5, 7, 11, 13… dans l'ordre. On ne saute jamais un premier : c'est ainsi qu'on oublie un facteur.
4. On s'arrête à 1, et on relit le produit obtenu : chaque facteur doit être premier.
5. On vérifie en refaisant le produit. Cinq secondes, et le correcteur le voit.

Décomposer 504 en produit de facteurs premiers.

1. 504 est pair : on divise par 2, trois fois de suite.$504/2=252$puis 252 / 2 = 126, puis 126 / 2 = 63
2. 63 est impair, le 2 est épuisé. Somme des chiffres : $6+3=9$, divisible par 3.$63/3=21$
3. Encore 3 : $2+1=3$.$21/3=7$
4. 7 est premier : on termine.$7/7=1$
5. Vérification, attendue par le barème.$8\times 9\times 7=504$donc 504 = 2^3 × 3^2 × 7

$504=2^3\times 3^2\times 7$

fraction irréductible — Une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. C'est ce que le barème demande : « simplifier » ne suffit pas, il faut arriver au bout.

En une seule division

1. Décomposer le numérateur et le dénominateur, l'un sous l'autre.
2. Prendre les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant : leur produit est le plus grand diviseur commun.
3. Diviser une seule fois le haut et le bas par ce nombre. La fraction obtenue est irréductible, sans avoir à le vérifier.

Rendre irréductible la fraction $\frac{210}{294}$.

1. Les deux décompositions, écrites l'une sous l'autre.$2\times 3\times 5\times 7=210$et 294 = 2 × 3 × 7^2
2. Facteurs communs : 2, 3 et 7 — le 7 apparaît une fois dans 210 et deux fois dans 294, on garde le plus petit exposant.$2\times 3\times 7=42$
3. Une seule division, en haut et en bas.$210/42=5$et 294 / 42 = 7
4. 5 et 7 sont premiers et différents : la fraction $\frac{5}{7}$ est irréductible.

$\frac{210}{294}=\frac{5}{7}$

PGCD — Le plus grand commun diviseur de deux entiers : le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Ce n'est pas l'objet du chapitre, c'est l'outil — celui qui rend une fraction irréductible et celui qui répond aux problèmes de lots identiques.

Deux chemins, et lequel prendre

1. Par décomposition — facteurs communs, plus petit exposant. À préférer quand la question suivante demande une fraction irréductible ou une répartition : la décomposition sert deux fois.
2. Par l'algorithme d'Euclide — on divise le grand par le petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. À préférer sur de grands nombres, où la décomposition se cherche.
3. Dans les deux cas, on écrit la méthode en entier. Un PGCD annoncé sans calcul visible ne rapporte presque rien, même juste.

Calculer le PGCD de 96 et 60 par les deux méthodes.

1. Par décomposition : les facteurs communs sont 2 — au plus petit exposant, $2^2$ — et 3.$4\times 3=12$car 60 = 2^2 × 3 × 5 et 96 = 2^5 × 3
2. Par Euclide, première division.$96-60\times 1=36$96 = 60 × 1 + 36
3. On recommence avec 60 et 36.$60-36\times 1=24$60 = 36 × 1 + 24
4. Puis avec 36 et 24.$36-24\times 1=12$36 = 24 × 1 + 12
5. Enfin 24 et 12 : le reste est nul, donc le dernier reste non nul est 12.$24-12\times 2=0$les deux méthodes donnent 12

$\text{PGCD}(96;60)=12$

Reconnaître en dix secondes

1. Le signal. « Le plus grand nombre de paquets identiques », « sans qu'il en reste », « tous identiques », « la plus grande longueur possible » : ces formules demandent le plus grand diviseur commun, toujours.
2. Le contre-signal. « Ils se retrouvent au bout de combien de jours », « les deux en même temps », « la plus petite longueur » : ce n'est pas le même calcul. Ces questions cherchent un multiple commun, et se traitent en listant les multiples de chaque nombre jusqu'au premier qu'ils partagent.
3. Le réflexe qui économise l'exercice. Soulignez « plus grand » ou « plus petit » dans l'énoncé. C'est ce mot, et lui seul, qui décide.
4. Le contrôle de vraisemblance. Un diviseur commun est plus petit que les deux nombres. Si votre réponse les dépasse, vous avez changé de notion sans le voir.

Un professeur dispose de 60 stylos et 96 crayons. Il veut constituer le plus grand nombre possible de lots identiques, en utilisant tout. Combien de lots, et que contient chacun ?

1. La phrase de modélisation, celle qui est notée : le nombre de lots divise 60 et divise 96, et on le veut le plus grand possible — c'est leur PGCD, calculé plus haut : 12.
2. Il peut faire 12 lots. Beaucoup de copies s'arrêtent ici et perdent la moitié des points.
3. Ce que contient un lot, c'est la seconde question : deux divisions.$60/12=5$et 96 / 12 = 8
4. Réponse rédigée : 12 lots, contenant chacun 5 stylos et 8 crayons.
5. Vérification : tout est utilisé, il ne reste rien.$12\times 5=60$et 12 × 8 = 96

12 lots de 5 stylos et 8 crayons

division euclidienne — Diviser $a$ par $b$, c'est écrire $a=b\times q+r$ avec un reste $r$ strictement inférieur au diviseur $b$. Le quotient $q$ et le reste $r$ sont uniques. Si $r$ atteint ou dépasse $b$, la division n'est pas finie.

$b$ divise $a$ si et seulement si le reste est nul. C'est la seule réponse acceptée à « peut-on partager sans qu'il en reste » : un reste, même de 1, suffit à dire non.

Un fleuriste a 96 roses et compose des bouquets de 7 roses. Combien de bouquets complets ? Combien de roses restantes ? Combien lui en manque-t-il pour un bouquet de plus ?

1. On cherche le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 96.$7\times 13=91$
2. Le reste est ce qui sépare 91 de 96, et il est bien inférieur à 7.$96-91=5$donc 96 = 7 × 13 + 5
3. 13 bouquets complets et 5 roses restantes. Le reste n'est pas nul : 7 ne divise pas 96.
4. Pour un bouquet de plus, il faut atteindre le multiple suivant.$7\times 14=98$il manque 98 − 96 = 2 roses

$96=7\times 13+5$