Transformations du plan

Ce qu'il faut pour définir chacune. La symétrie axiale : un axe. La symétrie centrale : un centre. La translation : un vecteur — direction, sens, longueur. La rotation : un centre, un angle et un sens. L'homothétie : un centre et un rapport $k$.

Les quatre premières conservent tout : longueurs, angles, aires, parallélisme. Seule l'homothétie agrandit ou réduit — et c'est pour cela qu'elle se traite à part. Même elle conserve les angles et le parallélisme : elle change les tailles, jamais les formes.

Quatre questions, dans cet ordre

1. Les tailles sont-elles différentes ? → homothétie. C'est la seule. Ce test se pose en premier parce qu'il élimine d'un coup les quatre autres.
2. Sinon, la figure a-t-elle tourné ? → rotation.
3. Sinon, est-elle retournée comme dans un miroir ? → symétrie axiale. C'est le test qu'on oublie : dans une symétrie axiale, on ne peut pas superposer les deux figures en faisant glisser la feuille, il faut la retourner.
4. Sinon, a-t-elle simplement glissé ? → translation.
5. Le signal, dans l'énoncé : « image de », « transformée en », « motif répété », ou un dessin de frise, de pavage, de rosace.

homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ — La transformation qui place l'image $A^{\prime }$ de chaque point $A$ sur la droite $(OA)$, à la distance $O{A}^{\prime }=|k|\times OA$. Le rapport s'applique à la distance au centre, pas à la longueur des côtés — que les côtés soient eux aussi multipliés par $|k|$ en est une conséquence, pas la définition.

Un rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Les angles, eux, ne changent pas.

Le signe de $k$ dit de quel côté. $k>0$ : l'image est du même côté du centre que la figure de départ. $k<0$ : elle est de l'autre côté, et retournée. $k=-1$ : c'est exactement la symétrie centrale. $|k|>1$ agrandit, $|k|<1$ réduit.

$ABC$ est un triangle et $O$ un point extérieur. Construire l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2.

1. Je trace la demi-droite $[OA)$. Avec $k$ positif, l'image est du même côté : une demi-droite suffit.
2. Je place $A^{\prime }$ sur $[OA)$ tel que $O{A}^{\prime }=2\times OA$. Le compas reporte la longueur $OA$ une seconde fois à partir de $A$.
3. Je répète pour $B$ et pour $C$, puis je trace le triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
4. Vérification : les côtés sont doublés, par exemple $A^{\prime }{B}^{\prime }=2\times AB$. Et les traits de construction restent sur la figure — ils sont notés.

$O{A}^{\prime }=2\times OA$

Une réponse qui ne nomme pas les éléments n'est pas une réponse. « Une rotation » → « la rotation de centre $O$, d'angle 60°, dans le sens des aiguilles d'une montre ». « Une translation » → « la translation qui transforme $A$ en $B$ ». « Une homothétie » → « l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2,5 ». « Une symétrie » → « la symétrie axiale d'axe $(d)$ » ou « centrale de centre $I$ ».

Dans un pavage, le motif $M_2$ se déduit du motif $M_1$. Les deux ont la même taille. $M_2$ est orienté différemment et ne peut pas être amené sur $M_1$ en faisant glisser la feuille. Quelle transformation, et avec quels éléments ?

1. Les deux motifs ont la même taille : ce n'est pas une homothétie. Le premier test élimine la seule transformation qui change les dimensions.
2. $M_1$ ne peut pas être amené sur $M_2$ par glissement : ce n'est ni une translation, ni une rotation, puisque toutes deux se font sans retourner la feuille.
3. C'est donc une symétrie axiale. Reste à donner l'axe : c'est la médiatrice de $[P{P}^{\prime }]$, où $P^{\prime }$ est l'image d'un point $P$ du motif.
4. La phrase attendue : « $M_2$ est l'image de $M_1$ par la symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[P{P}^{\prime }]$. » Nommer sans l'axe vaut la moitié des points.

symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[P{P}^{\prime }]$

Une maquette de bâtiment est une réduction du bâtiment réel au rapport $\frac{1}{50}$. La façade de la maquette a une aire de 240 cm² et son volume est de 1 800 cm³. Quelles sont l'aire de la façade réelle, en m², et le volume réel, en m³ ?

1. Le sens du coefficient. L'énoncé donne $\frac{1}{50}$ pour aller du réel à la maquette ; on fait l'inverse, donc $k=50$.
2. On écrit les trois lignes avant de choisir, et on calcule les deux coefficients séparément.$50^2=2500$et 50^3 = 125000
3. L'aire, en multipliant par $k^2$.$240\times 2500=600000$600 000 cm²
4. Le volume, en multipliant par $k^3$.$1800\times 125000=225000000$225 000 000 cm³
5. Les conversions d'aires et de volumes ne se font pas par 100. Un rang d'unité vaut $\times 100$ pour une aire, $\times 1000$ pour un volume : $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$ et $1{\text{m}}^3=1000000{\text{cm}}^3$.$600000/10000=60$et 225000000 / 1000000 = 225
6. Réponse rédigée : la façade réelle mesure 60 m² et le bâtiment 225 m³.

$60{\text{m}}^2$ et $225{\text{m}}^3$