Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Grandeurs composées — Vitesses, débits et conversions

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une vitesse en km/h, un débit en L/min, une consommation d'électricité en kWh : ces grandeurs sont fabriquées à partir de deux autres, par une division ou par une multiplication. Une grandeur composée se calcule avec ses unités : on fait sur les unités la même opération que sur les nombres. C'est ce qui permet de convertir sans rien apprendre par cœur, et de repérer une formule fausse.

Grandeurs quotients, grandeurs produits

Définition — grandeur quotient :

Définition — grandeur produit :

Trouver l'unité d'une grandeur composée

Exemple

On dissout 30 g de sel dans de l'eau et on obtient 1,5 L d'eau salée. Quelle est la concentration en sel de cette eau ?

Résultat :

Piège

Calculer $1, 5 \div 30 = 0, 05$ et annoncer une concentration de 0,05 g/L.

l'unité dicte l'ordre : des g/L, ce sont des grammes au numérateur et des litres au dénominateur.

Distance, durée, vitesse

Définition — vitesse moyenne :

10.

Règle

Calculer une vitesse, une distance ou une durée

Exemple

Un car parcourt 150 km en 1 h 40 min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Résultat :

Piège

Écrire 1 h 40 min = 1,40 h, puis $150 \div 1, 4 \approx 107$ km/h.

toujours diviser les minutes par 60 : 30 min = 0,5 h, 15 min = 0,25 h, 6 min = 0,1 h.

Convertir une grandeur composée

Convertir des km/h en m/s

Propriété

23.

Règle

26.

Exemple

Le débit d'un torrent est de 0,2 m³/s. Exprimer ce débit en L/min.

Résultat :

Piège

Convertir 72 km/h en m/s en divisant seulement par 1 000 : « 72 km/h = 0,072 m/s ».

écrire la phrase « 72 km en 1 h », convertir les deux grandeurs ; en m/s, le nombre est 3,6 fois plus petit.

Piège

Écrire 1 m³ = 10 dm³ ou 1 m³ = 100 L.

se souvenir du cube : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L.

Débit, énergie, masse volumique : la même mécanique

Définition — débit :

Définition — énergie consommée :

Exemple

Un four de 2 400 W fonctionne pendant 45 min. Quelle énergie consomme-t-il, en kWh ?

Résultat :

Définition — masse volumique :

Exemple

Une barre d'aluminium a un volume de 250 cm³ et une masse de 675 g. Calculer sa masse volumique en g/cm³, puis en kg/m³.

Résultat :

Piège

Multiplier une puissance en watts par une durée en minutes et appeler le résultat des kWh : $2400 \times 45 = 108000$ « kWh ».

convertir avant de multiplier : la puissance en kW, la durée en h.

Vérifier la cohérence des unités

Règle

Contrôler un résultat avant de le rendre

Exemple

Une cycliste roule à 18 km/h. Elle voit un obstacle et met 2 s à réagir avant de freiner. Quelle distance parcourt-elle pendant ces 2 s ?

Résultat :

Piège

Écrire « 90 km/h pendant 20 min : $90 \times 20 = 1800$ km ».

écrire l'unité de chaque facteur, et convertir la durée en heures avant de multiplier.

Ai-je écrit la grandeur cherchée comme un quotient ou un produit, et en ai-je déduit son unité ?
Les unités sont-elles accordées avant le calcul : km avec h, m avec s, kW avec h ? Les minutes divisées par 60 ?
Le sens du 3,6 est-il le bon : le nombre en km/h est-il plus grand que le nombre en m/s ?
Mon résultat est-il plausible, et ma conclusion donne-t-elle la grandeur demandée avec son unité ?

Corrigé · à détacher

Grandeurs composées — Vitesses, débits et conversions

1. Une grandeur quotient est le quotient de deux grandeurs. Son unité est le quotient des deux unités. Une distance en km divisée par une durée en h donne une vitesse en km/h ; un volume en m³ divisé par une durée en s donne un débit en m³/s ; une masse en kg divisée par un volume en m³ donne une masse volumique en kg/m³ ; une masse dissoute en g divisée par un volume de solution en L donne une concentration en g/L.
2. Une grandeur produit est le produit de deux grandeurs. Son unité est le produit des deux unités. Une puissance en kW multipliée par une durée en h donne une énergie en kWh (le kilowattheure). Le trafic d'une ligne de transport se mesure en voyageurs·km : 200 voyageurs transportés sur 15 km font $200 \times 15 = 3000$ voyageurs·km. L'aire, en m² = m × m, est déjà une grandeur produit.
3. Six grandeurs composées. La phrase « elle se calcule par » donne à la fois la formule et l'unité.
4. Écrire la grandeur comme un quotient ou un produit de deux grandeurs : une concentration, c'est une masse divisée par un volume.
5. Faire la même opération sur les unités : grammes divisés par litres donnent des g/L, des kW multipliés par des h donnent des kWh.
6. Lire l'unité à voix haute : la barre se lit « par ». Des g/L sont des grammes par litre : le nombre de grammes dans un litre.
7. Une masse divisée par un volume : des g divisés par des L, donc des g/L.
8. la concentration est de 20 g/L
9. Un mobile qui parcourt une distance $d$ pendant une durée $t$ a une vitesse moyenne $v = \frac{d}{t}$ . Si sa vitesse est constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée (rappel de 4^e) : la vitesse est alors le coefficient de proportionnalité. Trois écritures de la même relation : $v = \frac{d}{t}$ , $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$ .
10. Des durées égales, des distances égales.
11. Une durée se convertit en base 60, pas en base 10 (rappel de 5^e) : 1 h = 60 min, 1 min = 60 s, donc 1 h = 3 600 s. En heures décimales, on divise les minutes par 60 : 1 h 18 min = $1 + \frac{18}{60}$ h = 1,3 h. Inversement, on multiplie la partie décimale par 60 : 0,7 h = $0, 7 \times 60$ min = 42 min.
12. Repérer l'inconnue et écrire la relation qui la donne : $v = \frac{d}{t}$ , $d = v \times t$ ou $t = \frac{d}{v}$ .
13. Accorder les unités : avec une vitesse en km/h, la distance en km et la durée en h ; avec une vitesse en m/s, des m et des s. Une durée en h et min se convertit d'abord.
14. Calculer, puis conclure avec l'unité, et se demander si l'ordre de grandeur est plausible.
15. 1 h 40 min ne s'écrit pas simplement en heures décimales (40 min = $\frac{2}{3}$ h) : on passe par les minutes, 1 h 40 min = 100 min.
16. Distance par minute :
17. Une heure compte 60 minutes :
18. la vitesse moyenne du car est de 90 km/h
19. Traduire l'unité en phrase : 72 km/h signifie « 72 km parcourus en 1 h ». Pour convertir une grandeur quotient, on convertit séparément le numérateur et le dénominateur.
20. Convertir chaque grandeur : 72 km = 72 000 m et 1 h = 3 600 s.
21. Diviser pour revenir à une seule seconde.
22. 1 m/s = 3,6 km/h (démontré) : en 1 h = 3 600 s, on parcourt 3 600 m, soit 3,6 km. Donc, pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 ; des km/h aux m/s, on divise par 3,6.
23. Le 3,6 se retrouve en une ligne.
24. Volume et contenance : 1 L = 1 dm³, 1 mL = 1 cm³, 1 000 L = 1 m³ (rappel de 5^e). Entre deux unités de volume voisines, le rapport est 1 000 : une arête de 1 m mesure 10 dm, donc un cube de 1 m³ contient $10 \times 10 \times 10$ cubes de 1 dm³. Les puissances de 10 l'écrivent en une ligne (démontré) :
25. $1 m^{3} = (10 dm)^{3} = 1 0^{3} dm^{3} 1 cm^{3} = (1 0^{- 2} m)^{3} = 1 0^{- 6} m^{3}$
26. 1 000 petits cubes de 1 cm³.
27. Le numérateur d'abord : 0,2 m³ en litres, avec 1 m³ = 1 000 L.
28. Le dénominateur ensuite : une minute dure 60 s, donc il passe 60 fois plus d'eau en une minute qu'en une seconde.
29. 0,2 m³/s = 12 000 L/min
30. Le débit d'un robinet, d'une pompe ou d'une rivière est le volume qui s'écoule par unité de temps : $Q = \frac{V}{t}$ , en m³/s, L/min ou L/h. Comme pour la vitesse, on en tire $V = Q \times t$ et $t = \frac{V}{Q}$ .
31. Un appareil de puissance $P$ qui fonctionne pendant une durée $t$ consomme l'énergie $E = P \times t$ . Avec $P$ en kilowatts (1 kW = 1 000 W) et $t$ en heures, $E$ est en kilowattheures (kWh) : c'est l'unité des factures d'électricité.
32. On accorde les unités : 2 400 W = 2,4 kW, et 45 min = $\frac{45}{60}$ h = 0,75 h.
33. On multiplie la puissance par la durée.
34. le four consomme 1,8 kWh
35. La masse volumique d'une matière est la masse d'un volume unité de cette matière : $ρ = \frac{m}{V}$ (la lettre grecque $ρ$ se lit « rhô »), en kg/m³, g/cm³ ou kg/L. Celle de l'eau vaut environ 1 kg/L, soit 1 000 kg/m³ : un litre d'eau a une masse d'environ 1 kg.
36. Masse divisée par volume :
37. Un mètre cube contient $1 0^{6}$ = 1 000 000 cm³, chacun de 2,7 g :
38. 2,7 g/cm³, soit 2 700 kg/m³
39. Les unités se calculent comme des nombres : elles se multiplient, se divisent et se simplifient. Si l'unité obtenue n'est pas celle de la grandeur cherchée, la formule est fausse.
40. $\frac{km}{h} \times h = km \frac{m ^{3}}{\frac{m ^{3}}{s}} = s kW \times h = kWh$
41. Écrire les unités dans le calcul et les simplifier : des m/s multipliés par des s donnent des m.
42. Vérifier que les unités sont accordées : jamais de km/h multipliés par des minutes, jamais de m/s multipliés par des heures.
43. Comparer à une référence connue : un piéton marche à environ 5 km/h, le son parcourt environ 340 m/s dans l'air, la lumière environ 300 000 km/s, et le tour de la Terre mesure environ 40 000 km.
44. La durée est en secondes : on convertit la vitesse en m/s pour accorder les unités.
45. $d = v \times t$ , et m/s × s donne bien des m. Contrôle : 10 m, quelques longueurs de vélo, c'est plausible.
46. elle parcourt 10 m avant de commencer à freiner

Grandeurs quotients, grandeurs produits

Distance, durée, vitesse

Convertir une grandeur composée

Débit, énergie, masse volumique : la même mécanique

Vérifier la cohérence des unités

Débit, énergie, masse volumique : la même mécanique