Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Sphère et boule — Repérage, sections et volumes

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Un ballon, une bille, un globe terrestre : tous ont la forme d'une boule, limitée par une sphère. Un centre $O$ et un rayon $R$ suffisent à les décrire : la sphère est formée des points situés exactement à la distance $R$ de $O$ , la boule des points situés à une distance inférieure ou égale à $R$  ; on se repère sur la sphère avec deux angles, la latitude et la longitude, et le volume de la boule vaut $\frac{4}{3} π R^{3}$ .

Sphère, boule et repérage terrestre

Définition — sphère, boule, grand cercle :

Définition — équateur, parallèles, méridiens :

Définition — latitude et longitude :

Placer un point de coordonnées données

Exemple

On assimile la Terre à une sphère dont l'équateur mesure environ 40 000 km. Quelle distance sépare $A$ (45° N ; 10° E) et $B$ (15° S ; 10° E) en suivant le méridien ?

Résultat :

Piège

Écrire « la latitude de Sydney est 151° », ou « Sydney (34° ; 151°) ».

latitude d'abord (0° à 90°, N ou S), longitude ensuite (0° à 180°, E ou O).

Piège

Prendre un parallèle pour un grand cercle.

chercher le centre du cercle : est-ce $O$  ?

Piège

Dire qu'un point à 3 cm du centre d'une sphère de rayon 5 cm est « sur la sphère ».

sphère : $O M = R$  ; boule : $O M \leq R$ . On calcule le volume d'une boule.

Sections planes des solides

Propriété

13.

Calculer le rayon d'une section de boule

17.

Exemple

Une boule de rayon 5 cm est coupée par un plan situé à 3 cm de son centre $O$ . Quel est le rayon de la section ?

Résultat :

Propriété

22.

Dessiner une section en perspective cavalière

Exemple

Une pyramide a pour base un carré de 6 cm de côté et pour hauteur $S H = 9$ cm. Un plan parallèle à la base coupe $[S H]$ en $H^{'}$ avec $S H^{'} = 3$ cm. Décrire la section.

Résultat :

Piège

Calculer le rayon de la section par $r = R - d$ , soit « $5 - 3 = 2$ cm ».

dessiner la coupe, coder l'angle droit en $H$ , appliquer Pythagore.

Piège

Tracer en trait plein la moitié arrière d'une section, ou des fuyantes non parallèles.

face vue : trait plein ; face cachée : pointillés ; toutes les fuyantes dans la même direction.

Volume de la boule et des assemblages

Propriété

Calculer le volume d'une boule

Exemple

Calculer le volume d'une boule de rayon 3 cm, au dixième de cm³.

Résultat :

Calculer le volume d'un assemblage

38.

Exemple

Une gélule est un cylindre de 12 mm de long et de 6 mm de diamètre, terminé à chaque bout par une demi-boule de même diamètre. Calculer son volume.

Résultat :

Piège

Mettre le diamètre dans la formule : $\frac{4}{3} \times π \times 1 0^{3}$ pour une boule de diamètre 10 cm.

écrire R = … avant toute formule.

Piège

Écrire $R^{2}$ au lieu de $R^{3}$ , ou croire qu'un rayon double donne un volume double.

trois longueurs multipliées, une unité au cube.

Piège

Convertir 14 137 cm³ en « 141,37 L ».

une bouteille d'un litre contient 1 000 cm³.

Sphère ( $O M = R$ ) ou boule ( $O M \leq R$ ) ? Latitude (au plus 90°, N ou S) puis longitude (au plus 180°, E ou O) ?
Rayon d'une section de boule : Pythagore, pas une soustraction ? Parties cachées en pointillés ?
Le rayon, et non le diamètre, au cube ? Valeur exacte, arrondi à la fin, 1 L = 1 000 cm³ ?

Corrigé · à détacher

Sphère et boule — Repérage, sections et volumes

1. La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est la surface formée des points $M$ de l'espace tels que $O M = R$  ; la boule de centre $O$ et de rayon $R$ est le solide formé des points $M$ tels que $O M \leq R$ . Un grand cercle est un cercle tracé sur la sphère qui a le même centre et le même rayon qu'elle ; on l'obtient en coupant la sphère par un plan qui passe par son centre. Tout autre cercle tracé sur la sphère a un autre centre et un rayon plus petit.
2. Une boule se dessine par son contour ; ses cercles deviennent des ellipses.
3. On assimile la Terre à une sphère de centre $O$ , qui tourne autour de l'axe des pôles $(N S)$ . L'équateur est le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cet axe. Les parallèles sont les cercles de la sphère dont le plan est parallèle à celui de l'équateur : seul l'équateur est un grand cercle. Les méridiens sont les demi-cercles qui joignent les deux pôles : chacun est la moitié d'un grand cercle. Le méridien de Greenwich sert d'origine.
4. Soit $M$ un point de la sphère terrestre, $K$ le point de l'équateur sur le méridien de $M$ , et $G$ le point de l'équateur sur le méridien de Greenwich. La latitude de $M$ est la mesure de $K O M$ , de 0° à 90°, suivie de N ou S. Sa longitude est la mesure de $GO K$ , de 0° à 180°, suivie de E ou O. On écrit la latitude en premier : M (40° N ; 50° E). Les points d'un même parallèle ont la même latitude, ceux d'un même méridien la même longitude ; aux pôles (90°), la longitude n'est pas définie.
5. La latitude se lit dans le plan du méridien de $M$ , la longitude dans le plan de l'équateur. Dans un pavé droit, il fallait trois nombres (rappel de 4^e) ; sur la sphère, deux angles suffisent.
6. Latitude : N au-dessus de l'équateur, S au-dessous ; le point est sur ce parallèle (0° : équateur, 90° : pôle).
7. Longitude : E à droite du méridien de Greenwich sur un globe vu de face, pôle Nord en haut, O à gauche ; le point est sur ce méridien (180° : le méridien opposé).
8. Le point est à l'intersection du parallèle et du méridien. Contrôle : latitude au plus 90°, longitude au plus 180°, une lettre pour chacune.
9. Même longitude : $A$ et $B$ sont sur le même méridien, de part et d'autre de l'équateur ; les latitudes s'ajoutent.
10. Un méridien est une moitié de grand cercle, et un grand cercle mesure, comme l'équateur, environ 40 000 km. L'arc est proportionnel à son angle :
11. en suivant le méridien, A et B sont à environ 6 667 km l'un de l'autre.
12. On coupe une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan ; $H$ est le point du plan le plus proche de $O$ , et $d = O H$ . Si $d < R$ , la section est un cercle de centre $H$ et de rayon $r$ tel que $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ (un grand cercle si $d = 0$ ). Si $d = R$ , c'est le seul point $H$  : le plan est tangent à la sphère. Si $d > R$ , elle est vide. La section d'une boule est le disque correspondant. Propriété admise ; le rayon se justifie par Pythagore dans le triangle $O H M$ , rectangle en $H$ .
13. La section : un cercle de centre $H$ .
14. Nommer $O$ le centre de la boule, $H$ celui de la section, $M$ un point du bord de la section.
15. Le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ , avec $O M = R$ (car $M$ est sur la sphère) et $O H = d$ .
16. Pythagore : $H M^{2} = O M^{2} - O H^{2}$ , puis la racine carrée, avec l'unité.
17. La vue en coupe.
18. $O H M$ est rectangle en $H$ , avec $O M = 5$ cm et $O H = 3$ cm :
19. Donc
20. la section est un disque de centre H et de rayon 4 cm.
21. Autres sections (admises). Pavé droit : par un plan parallèle à une face, un rectangle identique à cette face ; par un plan parallèle à une arête, un rectangle dont un côté a la longueur de cette arête. Cylindre : parallèlement aux bases, un disque de même rayon ; parallèlement à l'axe, un rectangle dont un côté est la hauteur. Pyramide et cône de hauteur $[S H]$  : par un plan parallèle à la base qui coupe $[S H]$ en $H^{'}$ , une réduction de la base de rapport $k = \frac{S H ^{'}}{S H}$  ; longueurs multipliées par $k$ , aire par $k^{2}$ (rappel de 4^e).
22. Perspective cavalière : fuyantes parallèles à 45°, réduites de moitié, parties cachées en pointillés. Un cercle horizontal y devient une ellipse un peu inclinée.
23. Dessiner le solide : face avant en vraie grandeur, fuyantes parallèles à 45° et multipliées par 0,5, arêtes cachées en pointillés.
24. Placer les points où le plan coupe les arêtes ou la hauteur, en reportant les longueurs (multipliées par 0,5 sur les fuyantes).
25. Joindre ces points face par face : trait plein sur une face vue, pointillés sur une face cachée. Un disque de section est la même ellipse que la base, translatée (cylindre) ou réduite de rapport $k$ (cône).
26. C'est une réduction de la base de rapport $k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$  : côté $6 \times \frac{1}{3} = 2$ cm, aire $36 \times (\frac{1}{3})^{2} = 4$ cm².
27. la section est un carré de 2 cm de côté, d'aire 4 cm².
28. Le volume d'une boule de rayon $R$ est $V = \frac{4}{3} \times π \times R^{3}$ (formule admise). Rappels du cycle 4 : pavé droit, prisme droit et cylindre, $V = B \times h$  ; pyramide et cône, $V = \frac{B \times h}{3}$ , où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur. Unités : $1 L = 1 dm^{3} = 1000 cm^{3}$ .
29. Trouver le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, le diviser par 2.
30. Calculer $R^{3}$ , puis multiplier par $\frac{4}{3}$  : c'est le coefficient de $π$ .
31. Écrire la valeur exacte (par exemple $36 π$ cm³), puis l'arrondi demandé, en fin de calcul, avec une unité au cube.
32. Le coefficient de $π$  :
33. La valeur exacte, puis l'arrondi :
34. le volume de la boule est 36π cm³, soit environ 113,1 cm³.
35. Décomposer l'objet en solides du cycle, à l'aide d'une vue en coupe, et relever les dimensions de chacun.
36. Calculer chaque volume en valeur exacte, sans oublier de diviser par 2 pour une demi-boule.
37. Additionner (ou soustraire un creux), arrondir, puis convertir si l'énoncé le demande.
38. Deux demi-boules de même rayon font une boule.
39. Le rayon commun est 3 mm. Le cylindre :
40. Les deux demi-boules forment une boule de rayon 3 mm :
41. On additionne, en mm³ :
42. Comme $1 cm^{3} = 1000 mm^{3}$  :
43. la gélule a un volume de 144π mm³, soit environ 452,4 mm³ ou 0,45 cm³.