Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Pourcentages et évolutions — Coefficient multiplicateur

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Soldes, hausse d'un loyer, baisse d'une population : une évolution se dit le plus souvent en pourcentage. Tout le chapitre tient dans une règle : augmenter de $t$  %, c'est multiplier par $1 + \frac{t}{100}$  ; diminuer de $t$  %, c'est multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ . Ce nombre, le coefficient multiplicateur, ramène tout calcul d'évolution à une seule multiplication, ou à une seule division pour remonter à la valeur de départ.

Rappels : pourcentage et quatrième proportionnelle

Définition — pourcentage (rappel) :

Prendre un pourcentage, exprimer une proportion

Piège

Écrire 5 % $= 0, 5$ .

diviser par 100, c'est décaler la virgule de deux rangs : 5 % $= 0, 05$ , 35 % $= 0, 35$ , 150 % $= 1, 5$ .

Règle

Exemple

Dans un collège, 126 élèves sont demi-pensionnaires, soit 35 % de l'effectif. Combien d'élèves compte le collège ?

Résultat :

Piège

Diviser le total par la part : pour 18 élèves sur 24, calculer $24 \div 18 \approx 1, 33$ et annoncer « 133 % ».

dire la phrase « 18 sur 24 » : ce qui suit « sur » va au dénominateur.

Piège

Additionner des pourcentages qui portent sur des totaux différents : « 35 % des filles et 25 % des garçons font du théâtre, donc 60 % des élèves en font ».

se demander « pourcentage de quoi ? », et revenir aux effectifs.

Augmenter ou diminuer : le coefficient multiplicateur

Propriété

10.

Traduire une évolution par son coefficient

Piège

Traduire une baisse de 30 % par « $\times 0, 3$ ».

se demander « combien en reste-t-il ? » : ce qui reste, en pourcentage, donne le coefficient.

Exemple

Un abonnement de 340 € augmente de 6 %. Une commune de 12 500 habitants perd 4 % de sa population. Calculer les nouvelles valeurs.

Résultat :

Le taux étant fixé, la valeur d'arrivée est proportionnelle à la valeur de départ, de coefficient $C M$ : appliquer une évolution, c'est appliquer la fonction linéaire $x \mapsto C M \times x$ . Voir la fiche « Fonctions linéaires et affines ».

Piège

Pour une hausse de 6 %, multiplier par $0, 06$ : « $340 \times 0, 06 = 20, 40$ , le nouveau prix est 20,40 € ».

après une hausse, un nouveau prix plus petit que l'ancien est forcément faux.

Piège

Lire le coefficient comme un pourcentage : voir $1, 3$ et annoncer « une hausse de 3 % », ou voir $0, 85$ et annoncer « une baisse de 85 % ».

toujours repasser par 1 : ce qui dépasse 1 est la hausse, ce qui manque à 1 est la baisse.

Calculer un taux d'évolution

Propriété

20.

Du coefficient au pourcentage d'évolution

Exemple

Un loyer passe de 650 € à 676 €. Le prix d'un forfait passe de 80 € à 62 €. Calculer les taux d'évolution.

Résultat :

Piège

Rapporter l'écart à la valeur d'arrivée : « le loyer a augmenté de $26 \div 676 \approx 3, 8$  % ».

se demander « de combien, par rapport à quoi ? » : la réponse est toujours « par rapport à avant ».

Retrouver une valeur de départ

Règle

29.

Remonter à la valeur de départ

Exemple

Après une remise de 15 %, un sac coûte 68 €. Quel était son prix avant la remise ?

Résultat :

Piège

Remonter en appliquant l'évolution contraire : « après une remise de 15 %, j'ajoute 15 % : $68 \times 1, 15 = 78, 20$ € ».

remonter, c'est diviser par le coefficient, puis vérifier dans le sens de l'énoncé.

Évolutions successives

Propriété

37.

Enchaîner deux évolutions

Exemple

Un prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Revient-il à sa valeur de départ ?

Résultat :

Piège

Additionner les pourcentages : « +20 % puis −20 %, cela fait 0 % ».

dès qu'il y a deux évolutions, écrire deux coefficients et les multiplier.

La valeur de départ est-elle bien celle d'« avant » ?
Mon coefficient est-il du bon côté de 1 : plus grand pour une hausse, plus petit pour une baisse ?
Hausse de 6 % : ai-je multiplié par $1, 06$ , et non par $0, 06$  ?
Valeur de départ cherchée : ai-je divisé par le coefficient, puis vérifié ?
Deux évolutions : ai-je multiplié les coefficients ?
Ma conclusion dit-elle « hausse » ou « baisse », avec l'unité ?

Corrigé · à détacher

Pourcentages et évolutions — Coefficient multiplicateur

1. Un pourcentage est une proportion écrite sur 100 : « 30 % des élèves » signifie « 30 élèves sur 100 », quel que soit l'effectif. Prendre $t$  % d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{t}{100}$ . Inversement, une part $p$ d'un total $T$ en représente $\frac{p}{T} \times 100$  %.
2. 15 % de 240 € : 15 cases sur 100, à 2,40 € chacune, soit 36 €.
3. Prendre $t$  % de $a$ : écrire $\frac{t}{100}$ en nombre décimal, puis multiplier. Pour 35 % de 80 € :
4. Exprimer une part en pourcentage : diviser la part par le total, puis multiplier par 100. Pour 18 élèves sur 24 :
5. Quatrième proportionnelle (rappel de 4^e). Si deux grandeurs sont proportionnelles et que la valeur $a$ correspond à $b$ , alors la valeur $c$ correspond à $x = \frac{b \times c}{a}$ ( $a \neq = 0$ ) : c'est l'égalité des produits en croix, $a \times x = b \times c$ . Le passage par l'unité ou par le coefficient de proportionnalité convient aussi.
6. Le nombre d'élèves est proportionnel au pourcentage : 35 % correspondent à 126 élèves, 100 % à l'effectif $x$ cherché. Produits en croix : $35 \times x = 126 \times 100$ , donc
7. le collège compte 360 élèves
8. On note $V_{D}$ la valeur de départ et $V_{A}$ la valeur d'arrivée. Augmenter $V_{D}$ de $t$  %, c'est lui ajouter $\frac{t}{100} \times V_{D}$  ; en factorisant par $V_{D}$ , $V_{A} = (1 + \frac{t}{100}) \times V_{D}$ . De même, diminuer de $t$  % donne $V_{A} = (1 - \frac{t}{100}) \times V_{D}$ . Propriété démontrée : une évolution se calcule par une seule multiplication, $V_{A} = C M \times V_{D}$ . Le nombre $C M$ s'appelle le coefficient multiplicateur de l'évolution.
9. $hausse : C M = 1 + \frac{t}{100} baisse : C M = 1 - \frac{t}{100}$
10. Ce qui reste, en pourcentage du départ, donne le coefficient.
11. Lire l'énoncé : hausse (augmentation, majoration, croissance) ou baisse (diminution, remise, réduction, perte) ?
12. Écrire le taux en nombre décimal : $t$  % $= \frac{t}{100}$ . Par exemple, 12 % $= 0, 12$ .
13. L'ajouter à 1 pour une hausse, le retrancher de 1 pour une baisse. Hausse de 150 % :
14. Contrôler : une hausse donne $C M > 1$ , une baisse $C M < 1$ . Puis calculer $V_{A} = C M \times V_{D}$ .
15. Hausse de 6 % : $C M = 1, 06$ .
16. Baisse de 4 % : $C M = 1 - 0, 04 = 0, 96$ .
17. l'abonnement coûte 360,40 € ; la commune compte 12 000 habitants
18. Si une grandeur passe de $V_{D}$ à $V_{A}$ (avec $V_{D} \neq = 0$ ), son coefficient multiplicateur est $C M = \frac{V _{A}}{V _{D}}$ et son taux d'évolution est $\frac{V _{A} - V _{D}}{V _{D}}$ , que l'on écrit en pourcentage. Démonstration : $\frac{V _{A} - V _{D}}{V _{D}} = \frac{V _{A}}{V _{D}} - \frac{V _{D}}{V _{D}} = C M - 1$ . Un taux positif est une hausse, un taux négatif une baisse.
19. $taux = \frac{V _{A} - V _{D}}{V _{D}} = C M - 1$
20. Le taux est l'écart du coefficient à 1.
21. Repérer la valeur de départ, celle d'« avant », puis calculer $C M = V_{A} \div V_{D}$ .
22. Calculer $C M - 1$ , puis multiplier par 100 pour obtenir un pourcentage.
23. Conclure par une phrase : hausse si le taux est positif, baisse s'il est négatif, en donnant le pourcentage sans son signe.
24. Loyer : $C M = \frac{676}{650}$ , puis taux $= C M - 1$ .
25. Forfait : $C M = \frac{62}{80}$ , puis taux $= C M - 1$ .
26. le loyer a augmenté de 4 % ; le forfait a baissé de 22,5 %
27. Puisque $V_{A} = C M \times V_{D}$ et que $C M \neq = 0$ , la valeur de départ s'obtient en divisant la valeur d'arrivée par le coefficient multiplicateur.
28. $V_{D} = \frac{V _{A}}{C M}$
29. On remonte en divisant par le coefficient.
30. Repérer que l'énoncé donne la valeur après l'évolution, et calculer le coefficient multiplicateur de l'évolution subie.
31. Diviser la valeur d'arrivée par ce coefficient : $V_{D} = V_{A} \div C M$ .
32. Vérifier en appliquant l'évolution à la valeur trouvée : on doit retrouver $V_{A}$ .
33. Remise de 15 % : $C M = 1 - 0, 15 = 0, 85$ . Le prix de départ vérifie $0, 85 \times V_{D} = 68$ , donc
34. le sac coûtait 80 € avant la remise
35. Si une valeur subit une évolution de coefficient $C M_{1}$ , puis une évolution de coefficient $C M_{2}$ , alors $V_{A} = C M_{2} \times (C M_{1} \times V_{D}) = (C M_{1} \times C M_{2}) \times V_{D}$ . Propriété démontrée : le coefficient de l'évolution globale est le produit des coefficients. Les pourcentages, eux, ne s'additionnent pas : la seconde évolution porte sur une valeur qui a déjà changé.
36. $C M_{global} = C M_{1} \times C M_{2}$
37. La baisse de 10 % porte sur 110 € : elle retire 11 €.
38. Traduire chaque évolution par son coefficient multiplicateur.
39. Multiplier les coefficients : on obtient le coefficient global.
40. Le traduire en pourcentage : $C M_{global} - 1$ , puis multiplier par 100. Conclure « hausse » ou « baisse ».
41. Coefficients : $1, 1$ pour la hausse, $0, 9$ pour la baisse. Coefficient global, puis taux :
42. non : au total, le prix a baissé de 1 %