Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Triangles semblables — Angles égaux et côtés proportionnels

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Deux triangles peuvent avoir exactement la même forme sans avoir la même taille : l'un est alors un agrandissement ou une réduction de l'autre, et on les dit semblables. Tout le chapitre repose sur une équivalence : des côtés proportionnels, c'est la même chose que des angles égaux deux à deux. Les angles servent à reconnaître deux triangles semblables ; la proportionnalité sert à calculer leurs longueurs.

Même forme, longueurs proportionnelles

Définition — triangles semblables :

Deux triangles égaux (superposables, rappel de 4^e) sont semblables, avec $k = 1$ . Mais semblables ne veut pas dire égaux : même forme, pas forcément même taille. Et si $D E F$ est un agrandissement de $A B C$ de coefficient $k$ , alors $A B C$ est une réduction de $D E F$ de coefficient $\frac{1}{k}$ .

Prouver avec les longueurs

Exemple

$A B C$ a pour côtés $A B = 4$ cm, $A C = 5$ cm, $B C = 6$ cm, et $D E F$ a pour côtés $D F = 6$ cm, $D E = 7, 5$ cm, $E F = 9$ cm. Ces triangles sont-ils semblables ?

Résultat :

Piège

Conclure « semblables » après avoir trouvé deux quotients égaux.

calculer les trois quotients, toujours, avant d'écrire la conclusion.

Reconnaître par les angles

Propriété

Règle

Exemple

Démonstration de la réciproque. Les triangles $A B C$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ ont leurs angles égaux deux à deux, avec $A^{'} B^{'} < A B$ (sinon, on échange les deux triangles ; si $A^{'} B^{'} = A B$ , le cas d'égalité ci-dessous conclut directement). Montrons que leurs côtés sont proportionnels.

Résultat :

18.

Le sens direct se démontre avec les mêmes outils : on place $M$ et $N$ avec $A M = A^{'} B^{'}$ et $A N = A^{'} C^{'}$  ; la réciproque de Thalès, puis le théorème de Thalès, donnent $M N = B^{'} C^{'}$ , et le cas d'égalité « trois côtés » conclut.

Prouver avec les angles

Exemple

Dans le triangle $R S T$ , $R = 48°$ et $S = 77°$ . Dans le triangle $U V W$ , $U = 77°$ et $W = 55°$ . Ces triangles sont-ils semblables ?

Résultat :

Piège

Conclure « semblables » avec une seule paire d'angles égaux, par exemple deux angles droits.

chercher une deuxième paire d'angles égaux — par exemple un angle commun.

Calculer des longueurs

Calculer avec deux triangles semblables

29.

Exemple

Les triangles $A B C$ et $E F D$ sont semblables, avec $A = E$ et $B = F$ . On donne $A B = 6$ cm, $B C = 8$ cm, $A C = 9$ cm et $E F = 4, 5$ cm. Calculer $F D$ et $E D$ .

Résultat :

Piège

Associer les côtés dans l'ordre des lettres de l'énoncé : avec « $A B C$ et $D E F$ », mettre $[B C]$ en face de $[E F]$ .

écrire la correspondance des sommets avant tout calcul, puis remplir le tableau colonne par colonne.

Thalès, homothétie, aires

Propriété

36.

Règle

Exemple

$A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = 3$ cm et $A C = 4$ cm. Le triangle $D E F$ lui est semblable, et l'homologue de $[B C]$ mesure 15 cm. Quelle est l'aire de $D E F$  ?

Résultat :

Piège

Multiplier l'aire par $k$ : $6 \times 3 = 18$ cm².

$k$ pour les longueurs, $k^{2}$ pour les aires ; en cas de doute, recalculer l'aire avec les longueurs agrandies.

Ai-je justifié « semblables » par trois quotients égaux, ou par deux paires d'angles égaux ?
Mes angles égaux viennent-ils de l'énoncé, d'un calcul ou d'une propriété (parallèles, angle commun), et non du dessin ?
Ai-je écrit la correspondance des sommets avant de former les quotients ?
Chaque côté est-il en face de son homologue — opposé à l'angle égal ?
Mon coefficient est-il dans le bon sens, et gardé en fraction s'il n'est pas décimal ?
Pour une aire, ai-je multiplié par $k^{2}$ , et non par $k$  ?

Corrigé · à détacher

Triangles semblables — Angles égaux et côtés proportionnels

1. Deux triangles sont semblables lorsque les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre : on passe de chaque côté du premier au côté qui lui correspond dans le second en multipliant par le même nombre $k$ . Les sommets et les côtés qui se correspondent sont dits homologues. Le nombre $k$ est le coefficient d'agrandissement si $k > 1$ , de réduction si $k < 1$ .
2. $\frac{D F}{A B} = \frac{D E}{A C} = \frac{E F}{B C} = k$
3. Même couleur : côtés homologues. Ici $A$ correspond à $D$ , mais $B$ correspond à $F$ : l'ordre alphabétique ne dit rien.
4. Ranger les trois côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand. Multiplier par un même nombre positif ne change pas l'ordre : le plus petit côté correspond au plus petit, le moyen au moyen, le plus grand au plus grand.
5. Calculer les trois quotients : chaque côté du second triangle divisé par son homologue du premier.
6. Conclure. Trois quotients égaux : les triangles sont semblables, et $k$ est la valeur commune. Un seul quotient différent : ils ne le sont pas. Si un quotient n'est pas décimal, on compare des fractions ou des produits en croix, jamais des arrondis.
7. Rangement : $A B < A C < B C$ et $D F < D E < E F$ . Le plus petit avec le plus petit :
8. Les côtés moyens :
9. Les plus grands côtés :
10. les trois quotients valent 1,5 : $A B C$ et $D E F$ sont semblables, et $D E F$ est un agrandissement de $A B C$ de coefficient 1,5.
11. Propriété caractéristique. Si deux triangles sont semblables, alors leurs angles sont égaux deux à deux : deux angles homologues ont la même mesure. Réciproquement, si deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.
12. Deux paires d'angles égaux suffisent. La somme des angles d'un triangle vaut 180° (rappel de 5^e) : si deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre, les troisièmes angles sont égaux aussi.
13. On place $M$ sur $[A B]$ tel que $A M = A^{'} B^{'}$ . La parallèle à $(B C)$ passant par $M$ coupe $[A C]$ en $N$ .
14. Les angles $A M N$ et $A B C$ sont correspondants, formés par les parallèles $(M N)$ et $(B C)$ et la sécante $(A B)$ : ils sont égaux (rappel de 5^e). Donc $A M N = A B C = A^{'} B^{'} C^{'}$ .
15. Les triangles $A M N$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ ont un côté de même longueur, $A M = A^{'} B^{'}$ , compris entre deux angles égaux deux à deux : $M A N = B A C = B^{'} A^{'} C^{'}$ et $A M N = A^{'} B^{'} C^{'}$ . D'après un cas d'égalité des triangles (rappel de 4^e), ils sont égaux : $A N = A^{'} C^{'}$ et $M N = B^{'} C^{'}$ .
16. Comme $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , le théorème de Thalès donne l'égalité des rapports, où l'on remplace $A M$ , $A N$ et $M N$ :
17. les côtés de $A^{'} B^{'} C^{'}$ sont proportionnels à ceux de $A B C$ : les deux triangles sont semblables.
18. Le triangle $A M N$ , découpé dans $A B C$ , est égal à $A^{'} B^{'} C^{'}$ .
19. Trouver deux paires d'angles égaux : des mesures données ou calculées avec la somme 180°, un angle commun aux deux triangles, des angles opposés par le sommet, des angles droits, des angles alternes-internes ou correspondants formés par des parallèles.
20. Écrire la correspondance : les sommets de deux angles égaux sont homologues ; le troisième sommet correspond au troisième.
21. Rédiger : « Les triangles … ont deux angles égaux deux à deux, donc ils sont semblables. »
22. Le troisième angle de $R S T$ :
23. Ainsi $S = U = 77°$ et $T = W = 55°$ : deux paires d'angles égaux. La correspondance est $S$ et $U$ , $T$ et $W$ , donc $R$ et $V$ .
24. $R S T$ et $U V W$ sont semblables ; on vérifie que $V = 180° - 77° - 55° = 48° = R$ .
25. Justifier que les triangles sont semblables, par les angles ou par les longueurs.
26. Écrire la correspondance des sommets, puis les côtés homologues : un côté et son homologue sont opposés à deux angles égaux. Nommer le second triangle dans l'ordre de la correspondance aide : $A B C$ et $E F D$ si $A$ , $B$ , $C$ correspondent à $E$ , $F$ , $D$ .
27. Calculer le coefficient $k$ avec une paire de côtés homologues connus, toujours dans le même sens : longueur du second triangle sur longueur du premier.
28. Multiplier les autres côtés du premier triangle par $k$ . Garder $k$ en fraction s'il n'est pas décimal, et contrôler : une réduction donne des longueurs plus petites.
29. Le tableau de proportionnalité des côtés homologues : une colonne par paire.
30. $A$ correspond à $E$ et $B$ à $F$ , donc $C$ à $D$ . Les côtés homologues sont $[A B]$ et $[E F]$ , $[B C]$ et $[F D]$ , $[A C]$ et $[E D]$ .
31. Le coefficient :
32. Les deux longueurs :
33. $F D = 6$ cm et $E D = 6, 75$ cm.
34. Configuration de Thalès. Si $M$ est sur la droite $(A B)$ , $N$ sur la droite $(A C)$ et $(M N)$ parallèle à $(B C)$ , les triangles $A M N$ et $A B C$ sont semblables : l'angle en $A$ est commun (ou opposé par le sommet, en papillon) et $A M N = A B C$ (angles correspondants, ou alternes-internes). Les rapports égaux du théorème de Thalès sont les quotients de leurs côtés homologues : voir la fiche « Théorème de Thalès ».
35. Homothétie. L'image d'un triangle par une homothétie de rapport $k$ est un triangle semblable : les angles sont conservés, et les longueurs sont multipliées par $k$ si $k > 0$ , par $- k$ si $k < 0$ . L'inverse est faux : deux triangles semblables ne se déduisent pas toujours l'un de l'autre par une seule homothétie ; il faut parfois enchaîner avec une translation, une rotation ou une symétrie (voir la fiche « Transformations du plan »).
36. Trois sources de triangles semblables : les deux configurations de Thalès et l'homothétie.
37. Pour deux triangles semblables de coefficient $k$ , les longueurs et les périmètres sont multipliés par $k$ , les aires par $k^{2}$ : la base et la hauteur sont toutes deux multipliées par $k$ .
38. D'après le théorème de Pythagore :
39. Le coefficient :
40. L'aire de $A B C$ est $3 \times 4 \div 2 = 6$ cm², multipliée par $k^{2}$ :
41. Contrôle : $D E F$ est rectangle aussi (angles conservés), de côtés de l'angle droit $3 \times 3 = 9$ cm et $3 \times 4 = 12$ cm.
42. l'aire de $D E F$ est 54 cm², neuf fois celle de $A B C$ .