Sphère et boule — Repérage, sections et volumes

sphère, boule, grand cercle — La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est la surface formée des points $M$ de l'espace tels que $OM=R$ ; la boule de centre $O$ et de rayon $R$ est le solide formé des points $M$ tels que $OM\le R$. Un grand cercle est un cercle tracé sur la sphère qui a le même centre et le même rayon qu'elle ; on l'obtient en coupant la sphère par un plan qui passe par son centre. Tout autre cercle tracé sur la sphère a un autre centre et un rayon plus petit.

équateur, parallèles, méridiens — On assimile la Terre à une sphère de centre $O$, qui tourne autour de l'axe des pôles $(NS)$. L'équateur est le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cet axe. Les parallèles sont les cercles de la sphère dont le plan est parallèle à celui de l'équateur : seul l'équateur est un grand cercle. Les méridiens sont les demi-cercles qui joignent les deux pôles : chacun est la moitié d'un grand cercle. Le méridien de Greenwich sert d'origine.

latitude et longitude — Soit $M$ un point de la sphère terrestre, $K$ le point de l'équateur sur le méridien de $M$, et $G$ le point de l'équateur sur le méridien de Greenwich. La latitude de $M$ est la mesure de $\widehat{KOM}$, de 0° à 90°, suivie de N ou S. Sa longitude est la mesure de $\widehat{GOK}$, de 0° à 180°, suivie de E ou O. On écrit la latitude en premier : M (40° N ; 50° E). Les points d'un même parallèle ont la même latitude, ceux d'un même méridien la même longitude ; aux pôles (90°), la longitude n'est pas définie.

Placer un point de coordonnées données

1. Latitude : N au-dessus de l'équateur, S au-dessous ; le point est sur ce parallèle (0° : équateur, 90° : pôle).
2. Longitude : E à droite du méridien de Greenwich sur un globe vu de face, pôle Nord en haut, O à gauche ; le point est sur ce méridien (180° : le méridien opposé).
3. Le point est à l'intersection du parallèle et du méridien. Contrôle : latitude au plus 90°, longitude au plus 180°, une lettre pour chacune.

On assimile la Terre à une sphère dont l'équateur mesure environ 40 000 km. Quelle distance sépare $A$ (45° N ; 10° E) et $B$ (15° S ; 10° E) en suivant le méridien ?

1. Même longitude : $A$ et $B$ sont sur le même méridien, de part et d'autre de l'équateur ; les latitudes s'ajoutent.$\widehat{AOB}=45+15=60$en degrés
2. Un méridien est une moitié de grand cercle, et un grand cercle mesure, comme l'équateur, environ 40 000 km. L'arc est proportionnel à son angle :$\frac{60}{360}\times 40000\approx 6666,7$

en suivant le méridien, A et B sont à environ 6 667 km l'un de l'autre.

On coupe une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan ; $H$ est le point du plan le plus proche de $O$, et $d=OH$. Si $d<R$, la section est un cercle de centre $H$ et de rayon $r$ tel que $r^2=R^2-d^2$ (un grand cercle si $d=0$). Si $d=R$, c'est le seul point $H$ : le plan est tangent à la sphère. Si $d>R$, elle est vide. La section d'une boule est le disque correspondant. Propriété admise ; le rayon se justifie par Pythagore dans le triangle $OHM$, rectangle en $H$.

Calculer le rayon d'une section de boule

1. Nommer $O$ le centre de la boule, $H$ celui de la section, $M$ un point du bord de la section.
2. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, avec $OM=R$ (car $M$ est sur la sphère) et $OH=d$.
3. Pythagore : $H{M}^2=O{M}^2-O{H}^2$, puis la racine carrée, avec l'unité.

Une boule de rayon 5 cm est coupée par un plan situé à 3 cm de son centre $O$. Quel est le rayon de la section ?

1. $OHM$ est rectangle en $H$, avec $OM=5$ cm et $OH=3$ cm :$H{M}^2=5^2-3^2=25-9=16$
2. Donc$HM=\sqrt{16}=4$en cm

la section est un disque de centre H et de rayon 4 cm.

Autres sections (admises). Pavé droit : par un plan parallèle à une face, un rectangle identique à cette face ; par un plan parallèle à une arête, un rectangle dont un côté a la longueur de cette arête. Cylindre : parallèlement aux bases, un disque de même rayon ; parallèlement à l'axe, un rectangle dont un côté est la hauteur. Pyramide et cône de hauteur $[SH]$ : par un plan parallèle à la base qui coupe $[SH]$ en $H^{\prime }$, une réduction de la base de rapport $k=\frac{S{H}^{\prime }}{SH}$ ; longueurs multipliées par $k$, aire par $k^2$ (rappel de 4^e).

Dessiner une section en perspective cavalière

1. Dessiner le solide : face avant en vraie grandeur, fuyantes parallèles à 45° et multipliées par 0,5, arêtes cachées en pointillés.
2. Placer les points où le plan coupe les arêtes ou la hauteur, en reportant les longueurs (multipliées par 0,5 sur les fuyantes).
3. Joindre ces points face par face : trait plein sur une face vue, pointillés sur une face cachée. Un disque de section est la même ellipse que la base, translatée (cylindre) ou réduite de rapport $k$ (cône).

Une pyramide a pour base un carré de 6 cm de côté et pour hauteur $SH=9$ cm. Un plan parallèle à la base coupe $[SH]$ en $H^{\prime }$ avec $S{H}^{\prime }=3$ cm. Décrire la section.

1. C'est une réduction de la base de rapport $k=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ : côté $6\times \frac{1}{3}=2$ cm, aire $36\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=4$ cm².

la section est un carré de 2 cm de côté, d'aire 4 cm².

Le volume d'une boule de rayon $R$ est $V=\frac{4}{3}\times \pi \times R^3$ (formule admise). Rappels du cycle 4 : pavé droit, prisme droit et cylindre, $V=\mathcal{B}\times h$ ; pyramide et cône, $V=\frac{\mathcal{B}\times h}{3}$, où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur. Unités : $1\text{L}=1{\text{dm}}^3=1000{\text{cm}}^3$.

Calculer le volume d'une boule

1. Trouver le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, le diviser par 2.
2. Calculer $R^3$, puis multiplier par $\frac{4}{3}$ : c'est le coefficient de $\pi$.
3. Écrire la valeur exacte (par exemple $36\pi$ cm³), puis l'arrondi demandé, en fin de calcul, avec une unité au cube.

Calculer le volume d'une boule de rayon 3 cm, au dixième de cm³.

1. Le coefficient de $\pi$ :$\frac{4}{3}\times 3^3=\frac{4\times 27}{3}=36$
2. La valeur exacte, puis l'arrondi :$V=36\pi \approx 113,1$

le volume de la boule est 36π cm³, soit environ 113,1 cm³.

Calculer le volume d'un assemblage

1. Décomposer l'objet en solides du cycle, à l'aide d'une vue en coupe, et relever les dimensions de chacun.
2. Calculer chaque volume en valeur exacte, sans oublier de diviser par 2 pour une demi-boule.
3. Additionner (ou soustraire un creux), arrondir, puis convertir si l'énoncé le demande.

Une gélule est un cylindre de 12 mm de long et de 6 mm de diamètre, terminé à chaque bout par une demi-boule de même diamètre. Calculer son volume.

1. Le rayon commun est 3 mm. Le cylindre :$V_1=\pi \times 3^2\times 12=108\pi$en mm³
2. Les deux demi-boules forment une boule de rayon 3 mm :$V_2=\frac{4}{3}\times \pi \times 3^3=36\pi$
3. On additionne, en mm³ :$V=108\pi +36\pi =144\pi \approx 452,4$
4. Comme $1{\text{cm}}^3=1000{\text{mm}}^3$ :$452,4÷1000\approx 0,45$

la gélule a un volume de 144π mm³, soit environ 452,4 mm³ ou 0,45 cm³.