Triangles semblables — Angles égaux et côtés proportionnels

triangles semblables — Deux triangles sont semblables lorsque les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre : on passe de chaque côté du premier au côté qui lui correspond dans le second en multipliant par le même nombre $k$. Les sommets et les côtés qui se correspondent sont dits homologues. Le nombre $k$ est le coefficient d'agrandissement si $k>1$, de réduction si $k<1$.

Prouver avec les longueurs

1. Ranger les trois côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand. Multiplier par un même nombre positif ne change pas l'ordre : le plus petit côté correspond au plus petit, le moyen au moyen, le plus grand au plus grand.
2. Calculer les trois quotients : chaque côté du second triangle divisé par son homologue du premier.
3. Conclure. Trois quotients égaux : les triangles sont semblables, et $k$ est la valeur commune. Un seul quotient différent : ils ne le sont pas. Si un quotient n'est pas décimal, on compare des fractions ou des produits en croix, jamais des arrondis.

$ABC$ a pour côtés $AB=4$ cm, $AC=5$ cm, $BC=6$ cm, et $DEF$ a pour côtés $DF=6$ cm, $DE=7,5$ cm, $EF=9$ cm. Ces triangles sont-ils semblables ?

1. Rangement : $AB<AC<BC$ et $DF<DE<EF$. Le plus petit avec le plus petit :$\frac{DF}{AB}=\frac{6}{4}=1,5$
2. Les côtés moyens :$\frac{DE}{AC}=\frac{7,5}{5}=1,5$
3. Les plus grands côtés :$\frac{EF}{BC}=\frac{9}{6}=1,5$

les trois quotients valent 1,5 : $ABC$ et $DEF$ sont semblables, et $DEF$ est un agrandissement de $ABC$ de coefficient 1,5.

Propriété caractéristique. Si deux triangles sont semblables, alors leurs angles sont égaux deux à deux : deux angles homologues ont la même mesure. Réciproquement, si deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.

Deux paires d'angles égaux suffisent. La somme des angles d'un triangle vaut 180° (rappel de 5^e) : si deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre, les troisièmes angles sont égaux aussi.

Démonstration de la réciproque. Les triangles $ABC$ et $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ont leurs angles égaux deux à deux, avec $A^{\prime }{B}^{\prime }<AB$ (sinon, on échange les deux triangles ; si $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$, le cas d'égalité ci-dessous conclut directement). Montrons que leurs côtés sont proportionnels.

1. On place $M$ sur $[AB]$ tel que $AM=A^{\prime }{B}^{\prime }$. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$.
2. Les angles $\widehat{AMN}$ et $\widehat{ABC}$ sont correspondants, formés par les parallèles $(MN)$ et $(BC)$ et la sécante $(AB)$ : ils sont égaux (rappel de 5^e). Donc $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}=\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$.
3. Les triangles $AMN$ et $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ont un côté de même longueur, $AM=A^{\prime }{B}^{\prime }$, compris entre deux angles égaux deux à deux : $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}$ et $\widehat{AMN}=\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$. D'après un cas d'égalité des triangles (rappel de 4^e), ils sont égaux : $AN=A^{\prime }{C}^{\prime }$ et $MN=B^{\prime }{C}^{\prime }$.
4. Comme $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le théorème de Thalès donne l'égalité des rapports, où l'on remplace $AM$, $AN$ et $MN$ :$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$

les côtés de $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sont proportionnels à ceux de $ABC$ : les deux triangles sont semblables.

Prouver avec les angles

1. Trouver deux paires d'angles égaux : des mesures données ou calculées avec la somme 180°, un angle commun aux deux triangles, des angles opposés par le sommet, des angles droits, des angles alternes-internes ou correspondants formés par des parallèles.
2. Écrire la correspondance : les sommets de deux angles égaux sont homologues ; le troisième sommet correspond au troisième.
3. Rédiger : « Les triangles … ont deux angles égaux deux à deux, donc ils sont semblables. »

Dans le triangle $RST$, $\hat{R}=48°$ et $\hat{S}=77°$. Dans le triangle $UVW$, $\hat{U}=77°$ et $\hat{W}=55°$. Ces triangles sont-ils semblables ?

1. Le troisième angle de $RST$ :$180-48-77=55$donc $\hat{T}=55°$.
2. Ainsi $\hat{S}=\hat{U}=77°$ et $\hat{T}=\hat{W}=55°$ : deux paires d'angles égaux. La correspondance est $S$ et $U$, $T$ et $W$, donc $R$ et $V$.

$RST$ et $UVW$ sont semblables ; on vérifie que $\hat{V}=180°-77°-55°=48°=\hat{R}$.

Calculer avec deux triangles semblables

1. Justifier que les triangles sont semblables, par les angles ou par les longueurs.
2. Écrire la correspondance des sommets, puis les côtés homologues : un côté et son homologue sont opposés à deux angles égaux. Nommer le second triangle dans l'ordre de la correspondance aide : $ABC$ et $EFD$ si $A$, $B$, $C$ correspondent à $E$, $F$, $D$.
3. Calculer le coefficient $k$ avec une paire de côtés homologues connus, toujours dans le même sens : longueur du second triangle sur longueur du premier.
4. Multiplier les autres côtés du premier triangle par $k$. Garder $k$ en fraction s'il n'est pas décimal, et contrôler : une réduction donne des longueurs plus petites.

Les triangles $ABC$ et $EFD$ sont semblables, avec $\hat{A}=\hat{E}$ et $\hat{B}=\hat{F}$. On donne $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $AC=9$ cm et $EF=4,5$ cm. Calculer $FD$ et $ED$.

1. $A$ correspond à $E$ et $B$ à $F$, donc $C$ à $D$. Les côtés homologues sont $[AB]$ et $[EF]$, $[BC]$ et $[FD]$, $[AC]$ et $[ED]$.$\frac{EF}{AB}=\frac{FD}{BC}=\frac{ED}{AC}$
2. Le coefficient :$k=\frac{4,5}{6}=0,75$$EF<AB$ : c'est une réduction, et $k<1$.
3. Les deux longueurs :$FD=0,75\times 8=6$et $ED=0,75\times 9=6,75$.

$FD=6$ cm et $ED=6,75$ cm.

Configuration de Thalès. Si $M$ est sur la droite $(AB)$, $N$ sur la droite $(AC)$ et $(MN)$ parallèle à $(BC)$, les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables : l'angle en $A$ est commun (ou opposé par le sommet, en papillon) et $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (angles correspondants, ou alternes-internes). Les rapports égaux du théorème de Thalès sont les quotients de leurs côtés homologues : voir la fiche « Théorème de Thalès ».

Homothétie. L'image d'un triangle par une homothétie de rapport $k$ est un triangle semblable : les angles sont conservés, et les longueurs sont multipliées par $k$ si $k>0$, par $-k$ si $k<0$. L'inverse est faux : deux triangles semblables ne se déduisent pas toujours l'un de l'autre par une seule homothétie ; il faut parfois enchaîner avec une translation, une rotation ou une symétrie (voir la fiche « Transformations du plan »).

Pour deux triangles semblables de coefficient $k$, les longueurs et les périmètres sont multipliés par $k$, les aires par $k^2$ : la base et la hauteur sont toutes deux multipliées par $k$.

$ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=3$ cm et $AC=4$ cm. Le triangle $DEF$ lui est semblable, et l'homologue de $[BC]$ mesure 15 cm. Quelle est l'aire de $DEF$ ?

1. D'après le théorème de Pythagore :$B{C}^2=3^2+4^2=9+16=25$donc $BC=5$ cm.
2. Le coefficient :$k=\frac{15}{5}=3$
3. L'aire de $ABC$ est $3\times 4÷2=6$ cm², multipliée par $k^2$ :$6\times 3^2=54$
4. Contrôle : $DEF$ est rectangle aussi (angles conservés), de côtés de l'angle droit $3\times 3=9$ cm et $3\times 4=12$ cm.$9\times 12÷2=54$

l'aire de $DEF$ est 54 cm², neuf fois celle de $ABC$.