NSI · Première · Contrôle n°1
Représentation des données — Binaire, hexadécimal
Un contrôle de NSI de 60 minutes sur la représentation des données : le binaire et l'octet, l'hexadécimal qui abrège quatre bits par chiffre, le complément à 2 et ses débordements, ASCII et UTF-8, et les flottants qu'on ne compare jamais par égalité stricte. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.
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Avant de commencer
- Sur des flottants, comparer un écart à un seuil, jamais deux valeurs.
- Les puissances de 2 se comptent de droite à gauche à partir de 0.
- Un chiffre hexadécimal vaut exactement quatre bits.
- En complément à 2, le bit de poids fort vaut une puissance négative.
- En UTF-8, un texte accentué occupe plus d’octets que de caractères.
- Un débordement produit un résultat déterministe et faux.
Exercice 1 — Compter en base 2 et en base 16
5 pts · 14 minConvertir entre bases
Réponds à chaque question.
1.Que vaut un bit, et combien de bits compte un octet ?
1 ptVoir la correction
Un bit vaut 0 ou 1 ; un octet compte 8 bits.
Chaque position vaut une puissance de 2 croissante de droite à gauche.
2.Convertis 1011 en base 2 vers le décimal.
1 ptVoir la correction
11.
On additionne 8, 2 et 1, les positions dont le bit vaut 1.
3.Combien de valeurs différentes un octet peut-il représenter ?
1 ptVoir la correction
256 valeurs, de 0 à 255 pour des entiers non signés.
Chaque bit prend deux valeurs, et les huit bits sont indépendants.
4.Quels chiffres l’hexadécimal emploie-t-il, et à quoi correspond un chiffre ?
1 ptVoir la correction
Les chiffres 0 à 9 puis les lettres A à F pour 10 à 15 ; un chiffre correspond exactement à quatre bits.
Un octet s’écrit donc avec deux chiffres hexadécimaux.
5.Que vaut FF en hexadécimal, en décimal ?
1 ptVoir la correction
255.
C’est 15 fois 16 plus 15, soit la plus grande valeur tenant sur un octet.
Exercice 2 — Les entiers négatifs
4 pts · 11 minAnalyser le complément à 2
Réponds à chaque question.
1.Que vaut le bit de poids fort en complément à 2 sur 8 bits ?
1 ptVoir la correction
−128.
Les sept autres bits gardent leurs valeurs positives.
2.Quel est l’intérêt décisif de cette représentation ?
1 ptVoir la correction
L’addition fonctionne sans cas particulier : le même circuit additionne des nombres positifs et négatifs.
C’est ce qui justifie ce choix plutôt qu’un bit de signe séparé.
3.Quelle plage d’entiers représente-t-on ainsi sur 8 bits ?
1 ptVoir la correction
De −128 à 127.
Le total fait bien 256 valeurs, comme pour les entiers non signés.
4.Que se passe-t-il si l’on ajoute 1 à la plus grande valeur représentable ?
1 ptVoir la correction
On obtient la plus petite : le compteur repart à l’autre extrémité.
Le résultat est parfaitement déterministe et parfaitement faux.
Exercice 3 — Coder les caractères
4 pts · 11 minAnalyser le codage des caractères
Réponds à chaque question.
1.Sur combien de bits la table ASCII code-t-elle, et combien de caractères couvre-t-elle ?
1 ptVoir la correction
Sur 7 bits, soit 128 caractères.
Elle ne couvre que l’alphabet latin non accentué.
2.Comment UTF-8 résout-il le problème des autres écritures ?
1 ptVoir la correction
Par un codage de longueur variable : un, deux, trois ou quatre octets selon le caractère.
Les caractères ASCII y gardent leur code sur un octet, ce qui assure la compatibilité.
3.Pourquoi un texte accentué occupe-t-il plus d’octets que de caractères ?
1 ptVoir la correction
Parce que les caractères hors ASCII occupent plusieurs octets chacun.
La longueur en caractères et la taille en octets ne coïncident donc pas.
4.Quelle erreur pratique cette confusion produit-elle ?
1 ptVoir la correction
Des chaînes tronquées au milieu d’un caractère.
C’est l’origine des caractères illisibles qu’on voit encore apparaître.
Exercice 4 — Les nombres à virgule
4 pts · 13 minAnalyser les flottants
Réponds à chaque question.
1.Selon quelle norme un flottant est-il codé, et de quoi se compose-t-il ?
1 ptVoir la correction
Selon la norme IEEE 754 : un signe, un exposant et une mantisse.
Le tout tient sur un nombre fini de bits.
2.Pourquoi 0,1 n’est-il pas stocké exactement ?
1 ptVoir la correction
Parce qu’il n’a pas d’écriture finie en base 2.
C’est le même phénomène qu’un tiers, qui n’en a pas en base 10.
3.Pourquoi une égalité stricte entre flottants peut-elle échouer sans faute de programmation ?
1 ptVoir la correction
Parce qu’elle porte sur des approximations, et que rien ne garantit que deux chemins de calcul aboutissent au même arrondi.
Aucun des nombres comparés n’est stocké exactement.
4.Comment faut-il comparer deux flottants ?
1 ptVoir la correction
En vérifiant que l’écart absolu est inférieur à un seuil choisi.
On compare un écart à une tolérance, jamais deux valeurs.
Exercice 5 — Trouve l'erreur
3 pts · 11 minRepérer une erreur et la corriger
Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.
1.« Si 0,1 plus 0,2 ne fait pas 0,3, c’est que la machine manque de précision. »
1 ptVoir la correction
C’est une conséquence directe de la base 2 : 0,1 n’a pas d’écriture finie en base 2.
Le flottant n’en stocke qu’une approximation.
2.« Cette chaîne compte 10 caractères : elle occupe donc 10 octets. »
1 ptVoir la correction
En UTF-8, un caractère accentué occupe plusieurs octets.
La longueur en caractères et la taille en octets ne coïncident pas.
3.« Pour convertir du binaire vers l’hexadécimal, il faut d’abord passer par le décimal. »
1 ptVoir la correction
On regroupe les bits par quatre : aucune division n’est nécessaire.
Chaque groupe de quatre bits donne directement un chiffre hexadécimal.
Barème — ce que le correcteur regarde
Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.
Ex.1Binaire et hexadécimal
5 points — 1 par question
Point perdu si : Une puissance de 2 comptée dans le mauvais sens.
Ex.2Les entiers négatifs
4 points — 1 par question
Point perdu si : Un bit de signe séparé inventé.
Ex.3Coder les caractères
4 points — 1 par question
Point perdu si : Longueur en caractères et taille en octets confondues.
Ex.4Les nombres à virgule
4 points — 1 par question
Point perdu si : Une égalité stricte appliquée à des flottants.
Ex.5L’erreur repérée, et la réponse juste donnée
3 points — 1 par ligne
Point perdu si : Une correction qui attribue le problème à la machine.
Et maintenant ?
- 16 à 20
- Le chapitre est acquis. Entraîne-toi maintenant à convertir en cinq temps : identifier les deux bases, additionner les puissances vers le décimal, diviser et lire les restes de bas en haut depuis le décimal, regrouper par quatre entre binaire et hexadécimal, et vérifier l'ordre de grandeur.
- 10 à 15
- Refais l'exercice 1 en écrivant les puissances de 2 au-dessus de chaque bit avant de convertir.
- moins de 10
- Reprends la fiche de cours et retiens pourquoi 0,1 plus 0,2 ne fait pas 0,3 : ce nombre n'a pas d'écriture finie en base 2.
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