Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Calcul littéral — Formules, substitution et premières équations

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En 5^e, une lettre prend la place d'un nombre : pour écrire une formule, démontrer une propriété ou désigner le nombre cherché. Une lettre est un nombre : tout ce qui se fait avec un nombre — le remplacer, calculer, démontrer, le retrouver — se fait avec elle.

Des mots aux formules

Définition — expression littérale :

Produire une formule : l'exemple du rectangle

Piège

Traduire « le triple du successeur de $n$ » par $3 n + 1$ .

ce qui est dit en dernier (« du successeur ») se calcule en premier : il va entre parenthèses.

Les suites de motifs

Définition — suite de motifs évolutive :

Trouver la formule d'un motif

Piège

Annoncer $4 \times 100 = 400$ allumettes, parce qu'un carré en demande 4.

tester la formule sur l'étape 2, sous les yeux : $4 \times 2 = 8$ , or on compte 7.

Remplacer une lettre par un nombre

Calculer une expression par substitution

Piège

Pour $x = 4$ , écrire que $3 x$ vaut 34.

toujours rétablir le × avant de remplacer la lettre.

Règle

Exemple

L'égalité $4 x + 3 = 6 x - 1$ est-elle vraie pour $x = 2$ ? Pour $x = 3$ ?

Résultat :

Somme ou produit ; développer, factoriser, réduire

Définition — somme, produit :

21.

Propriété

24.

Factoriser une somme

Règle

Exemple

Réduire $B = 2, 5 x + 4 + x + 1, 5$ .

Résultat :

Piège

Développer $3 (x + 5)$ en $3 x + 5$ .

tracer une flèche depuis le 3 vers chaque terme : $3 x + 15$ .

Piège

Réduire $4 x + 2$ en $6 x$ .

trier en deux tas : les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre.

Piège

Écrire $x + x = x^{2}$ .

une addition de $x$ se compte : $x + x + x = 3 x$ .

Démontrer ou réfuter

Règle

32.

Exemple

Démontrer que la somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Résultat :

Piège

Conclure « toujours vrai » après quelques essais, même au tableur.

essais → conjecture ; lettre → démonstration. Un contre-exemple, lui, doit rendre l'affirmation fausse.

La lettre inconnue : les équations $ax = c$ et $x + b = c$

Définition — inconnue, équation, solution :

Règle

38.

Résoudre une équation par l'opération inverse

Exemple

Résoudre $3 x = 7$ .

Résultat :

Piège

Résoudre $4 x = 20$ par $x = 20 - 4 = 16$ , ou $x + 6 = 14$ par $x = 14 + 6 = 20$ .

vérifier : $4 \times 16 = 64$ et $20 + 6 = 26$ trahissent l'erreur.

Au IX^e siècle, à Bagdad, Al-Khwarizmi nommait « la chose » le nombre cherché : c'est notre inconnue. Il distinguait $x + b = c$ (l'al-jabr, qui a donné « algèbre ») et $a x = c$ (l'al-hatt).

Ai-je contrôlé ma formule ou mon calcul sur une valeur dont je connais le résultat ?
En développant, le facteur multiplie-t-il chaque terme de la parenthèse ?
Pour démontrer : ai-je raisonné avec une lettre ? Pour réfuter : mon contre-exemple rend-il les deux membres différents ?
Pour une équation : ai-je pris l'opération inverse, vérifié la solution et conclu par une phrase ?

Corrigé · à détacher

Calcul littéral — Formules, substitution et premières équations

1. Une expression littérale est un calcul dans lequel des lettres désignent des nombres. Dans $3 n + 1$ , la lettre $n$ est une variable : on peut la remplacer par n'importe quel nombre, et l'expression donne un résultat pour chacun. On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse, jamais entre deux nombres : $2 \times n = 2 n$ , $a \times b = ab$ , $3 \times (x + 1) = 3 (x + 1)$ ; on écrit $5 n$ plutôt que $n \times 5$ , et $x$ plutôt que $1 x$ . Attention : $n^{2} = n \times n$ n'est pas $2 n$ .
2. Pour un nombre $n$ (entier pour le successeur et le prédécesseur), chaque mot devient un calcul.
3. Dire le calcul sur un cas connu. Un rectangle de 5 sur 3 : son tour fait
4. Remplacer les nombres par des lettres, puis alléger l'écriture.
5. Contrôler sur le cas connu : pour $L = 5$ et $l = 3$ ,
6. Deux formules pour une infinité de rectangles.
7. Dans une suite de motifs évolutive, chaque étape se construit à partir de la précédente selon une règle régulière.
8. La formule de l'étape $n$ permet d'atteindre toute étape sans la dessiner.
9. Compter et repérer la régularité : 4, 7, 10 ; d'une étape à la suivante, on ajoute 3 allumettes.
10. Repérer la structure : 1 allumette dès le départ, puis 3 par carré, répétées $n$ fois. D'où $1 + 3 n$ , qu'on écrit aussi $3 n + 1$ .
11. Contrôler sur une étape déjà comptée : pour $n = 3$ ,
12. Utiliser la formule, sans rien dessiner : à l'étape 100,
13. Rétablir les signes × cachés : $3 x + 7$ s'écrit $3 \times x + 7$ .
14. Remplacer chaque lettre par sa valeur, sans rien changer d'autre.
15. Calculer en respectant les priorités : multiplier avant d'ajouter. Pour $x = 2, 5$ :
16. Tester une égalité. Une égalité entre deux expressions qui contiennent $x$ peut être vraie pour certaines valeurs de $x$ et fausse pour d'autres. Pour la tester, on calcule séparément chaque membre, puis on compare. « = » n'y nomme plus un calcul : c'est une affirmation, vraie ou fausse.
17. Pour $x = 2$ , les deux membres, calculés à part, sont égaux :
18. Pour $x = 3$ , ils sont différents :
19. vraie pour $x = 2$ , fausse pour $x = 3$ : elle n'est pas vraie pour tous les nombres
20. Une expression est une somme (ou une différence) si la dernière opération à effectuer, en respectant les priorités, est une addition (ou une soustraction). C'est un produit si la dernière opération est une multiplication. Ainsi $3 x + 5$ est une somme, et $3 (x + 5)$ un produit.
21. Rétablir les × : la dernière opération se voit.
22. La distributivité. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ : lue de gauche à droite, l'égalité développe (un produit devient une somme) ; lue de droite à gauche, elle factorise (une somme devient un produit). Exemple : $2, 5 (x - 4) = 2, 5 \times x - 2, 5 \times 4 = 2, 5 x - 10$ .
23. $k (a + b) = k a + k b k (a - b) = k a - k b$
24. L'aire se calcule en un morceau ou en deux : même résultat.
25. Faire apparaître le facteur commun dans chaque terme.
26. L'écrire devant une parenthèse, avec ce qui reste dedans.
27. Contrôler en redéveloppant : $6 (x + 3) = 6 x + 18$ .
28. Réduire, c'est écrire une expression sous la forme la plus courte $a x + b$ : on regroupe les termes en $x$ entre eux, et les nombres entre eux. Les termes en $x$ se regroupent par la distributivité : $3 x + 5 x = (3 + 5) x = 8 x$ .
29. Le terme $x$ compte pour $1 x$ . On regroupe les $x$ , puis les nombres.
30. $B = 3, 5 x + 5, 5$ (contrôle pour $x = 2$ : 12,5 des deux côtés)
31. Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, des exemples ne suffisent pas : on raisonne avec une lettre, qui représente n'importe quel nombre. Pour démontrer qu'elle est fausse, un seul contre-exemple suffit : « pour tout $x$ , $2 x + 3 = 5 x$ » est faux, car pour $x = 2$ on obtient 7 et 10 ( $x = 1$ , qui donne 5 et 5, ne réfute rien). Un tableur ou un programme (Scratch) fait vite beaucoup d'essais : il aide à formuler une conjecture, affirmation que l'on croit vraie sans l'avoir démontrée.
32. Le tableur suggère la conjecture ; la démonstration reste à faire.
33. Soit $n$ le plus petit des trois, un entier quelconque : les suivants sont $n + 1$ et $n + 2$ . On réduit la somme.
34. On factorise par 3 : 3 fois un entier est un multiple de 3.
35. la somme vaut $3 (n + 1)$ : un multiple de 3 pour tout entier $n$ — le triple du nombre du milieu
36. Quand une lettre désigne un nombre précis que l'on cherche, c'est une inconnue. Une égalité qui contient une inconnue est une équation ; la résoudre, c'est trouver la valeur qui la rend vraie, la solution.
37. Chaque opération se défait par son opération inverse. Ajouter $b$ se défait en soustrayant $b$ ; multiplier par $a$ (non nul) se défait en divisant par $a$ ; diviser par $a$ se défait en multipliant par $a$ . Ainsi $x + b = c$ donne $x = c - b$ , $a x = c$ donne $x = c \div a$ , $\frac{x}{4} = 3$ donne $x = 3 \times 4 = 12$ , et $2 x = 0$ donne $x = 0 \div 2 = 0$ .
38. Le schéma en barres montre l'opération inverse avant tout calcul.
39. Lire l'opération à trou, puis la défaire. $x + 7 = 15$ : quel nombre, augmenté de 7, donne 15 ? On retire 7 : $x = 8$ .
40. Vérifier en remplaçant $x$ par 8 dans l'équation de départ.
41. Conclure par une phrase : la solution est 8.
42. On divise 7 par 3, mais $7 \div 3$ ne tombe pas juste : la solution est le nombre quotient $\frac{7}{3}$ , le nombre qui, multiplié par 3, donne 7.
43. la solution est $\frac{7}{3}$