Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Parallélogrammes — Propriétés, cas particuliers et aire

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Un parallélogramme se reconnaît de trois façons : côtés opposés parallèles, côtés opposés de même longueur, ou diagonales de même milieu. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, une seule de ces trois propriétés suffit — à condition de la lire dans l'énoncé ou sur le codage, jamais sur l'allure du dessin. Rectangle, losange et carré en sont des cas particuliers, et l'aire de tous se calcule de la même façon : base × hauteur.

Définir et reconnaître un parallélogramme

Définition — parallélogramme :

Propriété

Démontrer en trois temps : on sait que… or… donc

Exemple

Les segments $[K M]$ et $[L N]$ se coupent en $P$ , avec $P K = P M$ et $P L = P N$ . Démontrer que $K L M N$ est un parallélogramme, puis, sachant que $K L = 4$ cm, en déduire $M N$ .

Résultat :

Piège

Affirmer que $A B C D$ est un parallélogramme « parce qu'il en a l'air », ou le « prouver » à la règle.

chercher l'information dans l'énoncé ou le codage. Si elle n'y est pas, c'est sans doute ce qu'il faut démontrer.

Piège

Écrire : « $A B C D$ est un parallélogramme, donc ses diagonales ont le même milieu, donc c'est un parallélogramme. »

pour conclure « parallélogramme », la propriété du « Or » se termine par « alors c'est un parallélogramme ».

Construire un parallélogramme

Placer le quatrième sommet C, connaissant A, B et D

15.

Piège

Prendre le mauvais point d'intersection des arcs, $C^{'}$ , et tracer le quadrilatère croisé $A B C^{'} D$ .

$A$ et $C$ de part et d'autre de $(B D)$ ; les deux diagonales doivent se couper.

Rectangle, losange, carré

Définition — rectangle, losange, carré :

Règle

18.

Déterminer la nature d'un quadrilatère

Exemple

Les diagonales $[E G]$ et $[F H]$ de $E F G H$ se coupent en $I$ , avec $I E = I G = 4$ cm, $I F = I H = 2, 5$ cm et $(E G) ⊥ (F H)$ . Nature de $E F G H$ ?

Résultat :

Piège

Conclure « losange » dès que les diagonales sont perpendiculaires, ou « rectangle » dès qu'elles ont la même longueur.

deux étapes, toujours : d'abord « parallélogramme », ensuite « losange » ou « rectangle ».

26.

Définition — trapèze, pentagone, hexagone :

Aire du parallélogramme et des figures complexes

Règle

29.

Piège

Base 7,5 cm, hauteur 4 cm, côté oblique 5 cm : calculer $7, 5 \times 5 = 37, 5$ cm² au lieu de $7, 5 \times 4 = 30$ cm².

repérer le petit carré : la hauteur forme toujours un angle droit avec la base.

Calculer l'aire d'une figure complexe

Exemple

Un drapeau de 8 cm sur 5 cm est traversé, d'un grand côté à l'autre, par une bande blanche en forme de parallélogramme de base 3 cm. Aire de la partie colorée ?

Résultat :

35.

Convertir des longueurs et des aires

Règle

37.

Exemple

Une étiquette en forme de parallélogramme a une base de 1,2 dm et une hauteur associée de 45 mm. Aire en cm², puis en m² ?

Résultat :

Piège

Convertir une aire comme une longueur : écrire 3,5 m² = 350 cm², ou, sur un plan à l'échelle 1/1 000, multiplier l'aire du plan par 1 000.

dans le doute, convertir d'abord les longueurs, puis calculer l'aire avec elles.

Mes données viennent-elles de l'énoncé et du codage, pas du dessin ?
Pour conclure « losange » ou « rectangle », ai-je d'abord démontré « parallélogramme » ?
Ma construction est-elle non croisée, codée, avec ses traits de construction ?
Ma hauteur est-elle perpendiculaire à ma base, et mes aires converties par 100 ?

Corrigé · à détacher

Parallélogrammes — Propriétés, cas particuliers et aire

1. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses sommets se nomment dans l'ordre du tour : dans $A B C D$ , $(A B) ∥ (D C)$ et $(A D) ∥ (B C)$ . Ses diagonales relient les sommets non consécutifs : ce sont $[A C]$ et $[B D]$ .
2. Même couleur, même chevron : côtés opposés parallèles.
3. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux, et ses diagonales ont le même milieu $O$ . Ce point $O$ est le centre de symétrie du parallélogramme : le demi-tour de centre $O$ échange $A$ et $C$ , $B$ et $D$ — c'est de lui que viennent ces propriétés. Elles sont caractéristiques : elles marchent aussi dans l'autre sens. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
4. La définition et les deux propriétés caractéristiques : trois portes d'entrée vers la même conclusion.
5. On sait que … : les données de l'énoncé ou du codage — jamais l'allure du dessin, jamais une mesure.
6. Or … : la propriété du cours, sous la forme « si … alors … », choisie d'après les données : des parallèles → la définition ; des longueurs de côtés → les côtés opposés ; des milieux → les diagonales.
7. Donc … : la partie « alors » de la propriété, appliquée à la figure.
8. On sait que $P$ est le milieu de $[K M]$ et de $[L N]$ , qui relient des sommets non consécutifs de $K L M N$ : ce sont ses diagonales.
9. Or si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc $K L M N$ est un parallélogramme.
10. Maintenant démontré, « parallélogramme » devient une donnée, et la propriété directe s'applique : les côtés opposés $[K L]$ et $[M N]$ ont la même longueur.
11. $K L M N$ est un parallélogramme, et $M N = K L = 4$ cm
12. Par la définition (règle et équerre) : la parallèle à $(A B)$ passant par $D$ et la parallèle à $(A D)$ passant par $B$ se coupent en $C$ .
13. Par les côtés (compas) : un arc de centre $B$ et de rayon $A D$ , un arc de centre $D$ et de rayon $A B$ . Garder l'intersection située de l'autre côté de $(B D)$ par rapport à $A$ .
14. Par les diagonales (règle graduée) : placer le milieu $O$ de $[B D]$ , puis $C$ sur la demi-droite $[A O)$ , au-delà de $O$ , avec $O C = O A$ . Dans tous les cas, laisser les traits de construction et coder la figure.
15. Deux arcs, deux points : $C$ donne le parallélogramme, $C^{'}$ un quadrilatère croisé.
16. Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit ; il en a alors quatre. Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur ; ses quatre côtés ont alors la même longueur. Un carré est à la fois un rectangle et un losange : tout carré est donc un rectangle, et un losange.
17. Pour un parallélogramme, les diagonales décident, dans les deux sens. Diagonales de même longueur : c'est un rectangle. Diagonales perpendiculaires : c'est un losange. Les deux : c'est un carré. Et un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange.
18. Le même milieu pour les quatre ; la même longueur pour le rectangle ; l'angle droit au centre pour le losange ; tout pour le carré.
19. Parallélogramme ? Le démontrer d'abord. Sans cette étape, rien de ce qui suit ne s'applique.
20. Rectangle ? Un angle droit, ou des diagonales de même longueur. Losange ? Deux côtés consécutifs de même longueur, ou des diagonales perpendiculaires.
21. Les deux ? C'est un carré. Si une condition manque, on s'arrête au dernier nom démontré.
22. On sait que $I$ est le milieu de $[E G]$ et de $[F H]$ . Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. Donc $E F G H$ est un parallélogramme.
23. On sait aussi que $(E G) ⊥ (F H)$ . Or un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. Donc $E F G H$ est un losange.
24. Ses diagonales mesurent $2 \times 4 = 8$ cm et $2 \times 2, 5 = 5$ cm : pas la même longueur, donc ce n'est ni un rectangle, ni un carré.
25. $E F G H$ est un losange, qui n'est pas un carré
26. Deux quadrilatères qui ne sont pas des parallélogrammes : leurs diagonales n'ont pas le même milieu.
27. Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles. Un pentagone a 5 côtés, un hexagone 6. Dans une figure complexe, on compte les sommets : un point situé sur un côté, aligné avec ses deux voisins, n'en est pas un. Et on lit le codage : même signe sur deux segments, même longueur ; petit carré, angle droit ; mêmes chevrons, droites parallèles. Un angle qui « a l'air » droit sans petit carré ne l'est pas forcément.
28. Aire d'un parallélogramme = base × hauteur associée. La hauteur associée à un côté, la base, est la distance entre ce côté et le côté opposé, mesurée perpendiculairement. Un triangle découpé d'un côté et recollé de l'autre donne un rectangle de même base, de même hauteur, donc de même aire.
29. Rien n'est ajouté, rien n'est perdu : le parallélogramme et le rectangle ont la même aire.
30. Découper la figure en figures usuelles, ou la compléter en une figure simple dont on retirera ensuite le morceau ajouté.
31. Mettre toutes les longueurs dans la même unité, puis calculer chaque aire : rectangle $L \times ℓ$ , parallélogramme $b \times h$ , triangle $b \times h \div 2$ .
32. Additionner les morceaux, ou soustraire ce qui a été retiré ; conclure avec une unité d'aire.
33. Le rectangle mesure $8 \times 5 = 40$ cm². La bande a pour base 3 cm et pour hauteur la distance entre les grands côtés, 5 cm : on la retire.
34. la partie colorée mesure 25 cm²
35. Le grand rectangle, moins la bande.
36. Entre deux unités de longueur voisines, le rapport est 10 : 1 m = 10 dm = 100 cm. Entre deux unités d'aire voisines, il est 100 : un carré de 1 m de côté se découpe en 10 × 10 carrés de 1 dm de côté, donc 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm².
37. Deux colonnes par unité d'aire ; l'hectare vaut 1 hm², soit 10 000 m².
38. Même unité d'abord : 1,2 dm = 12 cm et 45 mm = 4,5 cm. L'aire vaut $12 \times 4, 5 = 54$ cm², et comme 1 m² = 10 000 cm² :
39. 54 cm², soit 0,0054 m²