Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Carrés et cubes — Puissances d'un nombre

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Un carré de 5 cm de côté a pour aire $5 \times 5 = 25$ cm² ; un cube de 5 cm d'arête a pour volume $5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³. Ces produits d'un nombre par lui-même reviennent si souvent qu'on leur donne une écriture courte, $5^{2}$ et $5^{3}$ . Le petit nombre écrit en haut compte les facteurs : $a^{2} = a \times a$ et $a^{3} = a \times a \times a$ — on ne multiplie jamais par l'exposant.

Carré et cube d'un nombre, aire et volume

Définition — carré et cube d'un nombre :

Calculer un carré ou un cube

Exemple

Calculer $7^{2}$ , $4^{3}$ et $1, 5^{2}$ .

Résultat :

Piège

Écrire $5^{2} = 10$ ou $2^{3} = 6$ .

écrire le produit en entier avant de calculer : $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .

Piège

Écrire $0, 3^{2} = 0, 9$ .

contrôler l'ordre de grandeur : le carré de 0,3 doit être plus petit que 0,3, et 0,9 ne l'est pas.

Règle

13.

Exemple

Une boîte a la forme d'un cube de 2 dm d'arête. Quel est son volume en dm³, en litres, puis en cm³ ?

Résultat :

Piège

Écrire 1 dm² = 10 cm² ou 1 dm³ = 100 cm³.

lire l'exposant de l'unité : entre dm² et cm², le facteur est $1 0^{2}$ ; entre dm³ et cm³, il est $1 0^{3}$ .

Carrés à connaître, cube de 10, écrire un nombre en puissance

Règle

19.

Reconnaître un carré ou un cube

Exemple

Écrire, quand c'est possible, chaque nombre comme le carré ou le cube d'un nombre : 125 ; 0,49 ; 50.

Résultat :

Piège

Écrire $36 = 1 8^{2}$ ou $27 = 9^{3}$ .

recalculer le produit. $18 \times 18 = 324$ , pas 36 : la bonne écriture est $36 = 6^{2}$ , et de même $27 = 3^{3}$ .

Calculer une expression avec des puissances

Règle

29.

Calculer une expression avec des puissances

Exemple

Calculer $A = 5 + 3 \times 2^{3} - 4^{2}$ .

Résultat :

Piège

Calculer $2 \times 4^{2}$ comme $8^{2} = 64$ .

souligner chaque puissance avec le seul nombre qu'elle élève, et la calculer avant tout produit.

Piège

Écrire $(3 + 4)^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ .

calculer d'abord la parenthèse, puis élever le résultat au carré.

Une expression littérale avec une puissance

Règle

39.

Calculer une expression littérale pour une valeur donnée

Exemple

Calculer $E = 2 x^{2} + 5$ pour $x = 3$ , puis pour $x = 1, 5$ .

Résultat :

Tester une égalité pour une valeur de $x$ , c'est calculer chaque membre séparément, puis comparer. Pour $x = 2$ , $x^{2} + 6$ et $5 x$ valent tous deux 10 : l'égalité $x^{2} + 6 = 5 x$ est vraie. Pour $x = 4$ , on trouve 22 et 20 : elle est fausse.

Piège

Pour $x = 4$ , calculer $3 x^{2}$ comme $(3 \times 4)^{2} = 144$ .

rétablir le signe × avant de remplacer : $3 \times x^{2}$ montre tout de suite ce que le carré élève.

Ai-je écrit le produit en entier avant de calculer un carré ou un cube ?
Ai-je calculé les parenthèses, puis les puissances, avant les produits ?
Ai-je rétabli le signe × sous-entendu avant de remplacer la lettre ?
Ai-je vérifié une écriture comme $81 = 9^{2}$ en recalculant le produit ?
Mon aire est-elle en cm², mon volume en cm³ ?

Corrigé · à détacher

Carrés et cubes — Puissances d'un nombre

1. Le carré d'un nombre $a$ est le produit de deux facteurs égaux à $a$ ; on le note $a^{2}$ et on lit « $a$ au carré ». Le cube de $a$ est le produit de trois facteurs égaux à $a$ ; on le note $a^{3}$ et on lit « $a$ au cube ». Le petit nombre 2 ou 3 est l'exposant : $a^{2}$ et $a^{3}$ sont des puissances de $a$ .
2. $a^{2} = a \times a a^{3} = a \times a \times a$
3. Le carré de 4 compte des carreaux sur une surface ; le cube de 3 compte des petits cubes dans un volume.
4. Écrire le produit en entier : $a^{2}$ devient $a \times a$ , et $a^{3}$ devient $a \times a \times a$ .
5. Multiplier de proche en proche. Pour un cube, on calcule d'abord $a \times a$ , puis on multiplie ce résultat par $a$ .
6. Contrôler l'ordre de grandeur : le carré d'un nombre plus grand que 1 est plus grand que lui ; le carré d'un nombre compris entre 0 et 1 est plus petit que lui.
7. Le carré de 7 : deux facteurs égaux à 7.
8. Le cube de 4 : d'abord $4 \times 4$ , puis le résultat multiplié par 4.
9. Un décimal se traite de même : $15 \times 15 = 225$ , et le produit a deux chiffres après la virgule, un par facteur.
10. $7^{2} = 49$ , $4^{3} = 64$ et $1, 5^{2} = 2, 25$
11. Un carré de côté $c$ a pour aire $c^{2}$ , un cube d'arête $c$ a pour volume $c^{3}$ . D'où les unités : 1 cm² est l'aire d'un carré de 1 cm de côté, 1 cm³ le volume d'un cube de 1 cm d'arête. Comme 1 dm = 10 cm :
12. $1 dm^{2} = 1 0^{2} cm^{2} = 100 cm^{2} 1 dm^{3} = 1 0^{3} cm^{3} = 1000 cm^{3} = 1 L$
13. Le carré de 1 dm de côté contient $1 0^{2}$ carrés de 1 cm² ; le cube de 1 dm d'arête contient $1 0^{3}$ cubes de 1 cm³.
14. Le volume d'un cube d'arête $c$ est $c^{3}$ , avec ici $c = 2$ .
15. Comme 1 dm³ = 1 000 cm³ :
16. la boîte a un volume de 8 dm³, soit 8 L ou 8 000 cm³
17. À connaître par cœur : les carrés des entiers de 0 à 12, de $0^{2} = 0$ à $1 2^{2} = 144$ , et le cube de 10. On les retrouve sur la diagonale de la table de multiplication, là où un nombre est multiplié par lui-même. Un entier qui est le carré d'un entier s'appelle un carré parfait.
18. $1 0^{2} = 10 \times 10 = 1001 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000$
19. Les treize carrés à savoir. Un carré oublié se retrouve depuis son voisin : l'écart est la somme des deux nombres, donc $8^{2} = 49 + 7 + 8 = 64$ .
20. Pour un carré, chercher le nombre dans la liste des carrés de 0 à 12 : $81 = 9^{2}$ , car $9 \times 9 = 81$ .
21. Pour un cube, calculer les cubes de 1, 2, 3… jusqu'à atteindre ou dépasser le nombre : $1^{3} = 1$ , $2^{3} = 8$ , $3^{3} = 27$ , $4^{3} = 64$ , $5^{3} = 125$ .
22. Vérifier en recalculant le produit : c'est la seule preuve que l'écriture est juste.
23. 125 n'est pas dans la liste des carrés. On essaie les cubes : $4^{3} = 64$ est trop petit, on passe à 5.
24. Pour 0,49, on reconnaît $49 = 7^{2}$ ; le nombre a deux chiffres après la virgule, on essaie donc 0,7.
25. 50 est coincé entre deux carrés voisins, et aussi entre deux cubes voisins, $3^{3} = 27$ et $4^{3} = 64$ .
26. $125 = 5^{3}$ et $0, 49 = 0, 7^{2}$ ; 50 n'est ni le carré ni le cube d'un entier
27. Priorités : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les produits, et enfin les sommes et les différences, de gauche à droite. Un exposant ne porte que sur le nombre, ou la parenthèse, écrit juste avant lui.
28. $2 \times 4^{2} = 2 \times 16 = 32$
29. Mêmes nombres, mêmes opérations : la parenthèse change ce que le carré élève, donc le résultat.
30. Calculer les parenthèses en premier.
31. Calculer chaque puissance, sur le seul nombre qui la porte, en recopiant le reste sans y toucher.
32. Effectuer les produits, puis les sommes et les différences de gauche à droite — une ligne par étape.
33. Pas de parenthèses : on calcule d'abord les deux puissances, $2^{3} = 8$ et $4^{2} = 16$ .
34. Puis le produit.
35. Enfin la somme et la différence, de gauche à droite.
36. $A = 13$
37. Dans une expression littérale, $x^{2}$ signifie $x \times x$ et $x^{3}$ signifie $x \times x \times x$ . Le signe × sous-entendu ne change pas les priorités : dans $3 x^{2}$ , le carré porte sur $x$ seul ; dans $(3 x)^{2}$ , il porte sur toute la parenthèse. De même, dans l'aire du disque $π \times r^{2}$ , le carré porte sur le rayon seul.
38. $3 x^{2} = 3 \times x \times x (3 x)^{2} = 3 x \times 3 x$
39. $3 x^{2}$ : trois carrés de côté $x$ . $(3 x)^{2}$ : un seul carré de côté $3 x$ , qui en contient neuf.
40. Rétablir les signes × sous-entendus : $3 x^{2}$ s'écrit $3 \times x^{2}$ .
41. Remplacer la lettre par sa valeur, partout où elle apparaît.
42. Appliquer les priorités : parenthèses, puissance, produit, puis somme ou différence.
43. On rétablit le signe ×, puis on remplace $x$ par 3.
44. Pour $x = 1, 5$ , le même calcul, avec $1, 5^{2} = 2, 25$ .
45. pour $x = 3$ , $E = 23$ ; pour $x = 1, 5$ , $E = 9, 5$