Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Opérations et priorités — Distributivité et divisibilité

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Un calcul comme $10 - 4 \times 2$ n'a qu'un résultat, car tout le monde le lit dans le même ordre. Ce chapitre fixe cet ordre, traduit un problème en une ligne de calcul et repère les nombres qui se divisent sans reste. Les parenthèses d'abord, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions — de gauche à droite à chaque étape.

Les quatre opérations sur les décimaux

Règle

Exemple

Une classe achète 18 cahiers à 2,35 € l'un. La calculatrice affiche 423. Est-ce vraisemblable ?

Résultat :

Piège

Écrire $0, 3 \times 0, 2 = 0, 6$ .

compter les décimales des deux facteurs avant de placer la virgule.

Propriété

Diviser par un nombre décimal

Exemple

Calculer $7, 56 \div 0, 36$ .

Résultat :

Piège

Écrire $4, 2 \div 0, 6 = 4, 2 \div 6 = 0, 7$ .

diviser par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus grand que le dividende. Ici 0,7 est plus petit que 4,2 : c'est impossible.

Nommer un calcul et respecter les priorités

Définition — somme, différence, produit, quotient :

Règle

15.

Nommer puis calculer une expression

Exemple

Calculer $A = 20 - 12 \div 4 \times 2 + 1$ et $B = 5 \times (8 - 2 \times 3) + 4$ .

Résultat :

Piège

Dans $20 - 6 + 1$ , calculer d'abord $6 + 1$ et trouver 13.

même règle pour $12 \div 4 \times 2$ , qui vaut $3 \times 2 = 6$ , et non $12 \div 8$ .

Traduire en une seule expression

D'un programme de calcul à une expression

24.

Exemple

Léa achète 3 cahiers à 2,40 € et une gomme à 1,80 €. Elle paie avec un billet de 10 €. Écrire en une seule expression le calcul de la monnaie rendue, puis le calculer.

Résultat :

Piège

Écrire $10 - 3 \times 2, 40 + 1, 80$ pour la monnaie rendue.

se demander ce que l'on retire : si c'est un total de plusieurs termes, il est entre parenthèses.

La distributivité, pour calculer de tête

Propriété

29.

Calculer de tête avec la distributivité

Exemple

Calculer de tête $25 \times 98$ , puis $3, 7 \times 4 + 6, 3 \times 4$ .

Résultat :

Piège

Écrire $6 \times (10 + 3) = 6 \times 10 + 3 = 63$ .

tracer une flèche du facteur vers chaque terme de la parenthèse avant d'écrire les produits.

Multiples, diviseurs et division euclidienne

Définition — division euclidienne, multiple, diviseur :

Règle

Exemple

Le nombre 5 742 est-il divisible par 2, par 3, par 5, par 9 ?

Résultat :

Un algorithme pour trouver tous les diviseurs d'un entier

41.

Piège

Dire que 13 est divisible par 3 « parce qu'il se termine par 3 ».

2, 5, 10 → le dernier chiffre. 3, 9 → la somme de tous les chiffres.

Piège

Écrire $47 = 6 \times 6 + 11$ pour la division euclidienne de 47 par 6.

toujours vérifier que le reste est plus petit que le diviseur.

Ai-je estimé un ordre de grandeur et comparé mon résultat à cette estimation ?
Ai-je effectué × et ÷ avant + et −, et de gauche à droite à priorité égale ?
Ai-je mis entre parenthèses une somme que l'on multiplie, ou que l'on retire en entier ?
Pour 3 et 9, ai-je fait la somme des chiffres, et non regardé le dernier ?

Corrigé · à détacher

Opérations et priorités — Distributivité et divisibilité

1. La question posée choisit l'opération ; un ordre de grandeur, avec des nombres arrondis, contrôle le résultat.
2. Additionner ou soustraire : on aligne les virgules, unités sous unités. Multiplier : on calcule le produit sans les virgules grâce aux tables, puis le résultat reçoit autant de décimales que les deux facteurs en ont en tout. Multiplier par 10, 100 ou 1 000 décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite ; diviser la décale vers la gauche. Ainsi $4, 75 + 2, 6 = 7, 35$ ; $0, 8 \times 6 = 4, 8$ ; $30 \times 0, 05 = 1, 5$ ; $52 \div 1000 = 0, 052$ .
3. Plusieurs fois le même prix : c'est une multiplication. Ordre de grandeur, avec 18 arrondi à 20 et 2,35 arrondi à 2 :
4. 423 est environ dix fois trop grand : la virgule de 2,35 a été oubliée à la saisie. Le calcul juste :
5. 423 n'est pas vraisemblable ; les cahiers coûtent 42,30 €
6. Diviser par un décimal. Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul. On s'en sert pour rendre le diviseur entier, puis on divise comme en 6^e.
7. $4, 2 \div 0, 6 = 42 \div 6 = 7$
8. Les deux flèches portent le même facteur.
9. Compter les décimales du diviseur, puis multiplier le dividende et le diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour que le diviseur devienne entier.
10. Poser la division par ce diviseur entier, puis contrôler en multipliant le quotient par le diviseur de départ.
11. Le diviseur a deux décimales : on multiplie les deux nombres par 100, puis on pose la division. Contrôle : $0, 36 \times 21 = 7, 56$ .
12. 7,56 ÷ 0,36 = 21
13. Une addition donne une somme, une soustraction une différence : leurs nombres sont des termes. Une multiplication donne un produit : ses nombres sont des facteurs. Une division donne un quotient.
14. Les priorités opératoires. On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures. Ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite. Enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
15. Mêmes nombres, mêmes signes : la parenthèse change l'ordre des calculs, donc la nature de l'expression et son résultat.
16. Repérer l'ordre des opérations : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.
17. La nommer d'après la dernière opération effectuée : somme, différence, produit ou quotient.
18. Calculer en recopiant à chaque ligne tout ce qui n'a pas encore été calculé.
19. $A$ : ÷ et × d'abord, de gauche à droite, puis − et +, de gauche à droite.
20. $B$ : la parenthèse d'abord, où le produit passe avant la soustraction ; l'addition en dernier.
21. A = 15 et B = 14 ; ce sont deux sommes
22. À chaque instruction, recopier toute l'expression déjà écrite et lui ajouter l'opération demandée.
23. Si l'opération est une multiplication ou une division et que l'expression déjà écrite est une somme ou une différence, l'entourer de parenthèses d'abord.
24. Un programme de calcul est un algorithme. Les parenthèses apparaissent quand on multiplie un résultat qui est une somme.
25. La dépense $3 \times 2, 40 + 1, 80$ est retirée en entier de 10 € : elle va entre parenthèses.
26. on rend 1 € à Léa
27. Distributivité simple. Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on le multiplie par chaque terme, puis on additionne ou on soustrait les produits. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :
28. $k \times (a + b) = k \times a + k \times b k \times (a - b) = k \times a - k \times b$
29. L'aire du grand rectangle est la somme des aires des deux petits.
30. Dans un sens : écrire un facteur comme une somme ou une différence autour de 10, 100 ou 1 000, par exemple $98 = 100 - 2$ , puis multiplier chaque terme.
31. Dans l'autre sens : repérer un facteur commun à deux produits et regrouper les autres facteurs entre parenthèses.
32. On écrit 98 comme $100 - 2$ et on distribue 25 sur les deux termes.
33. 4 est un facteur commun aux deux produits : on regroupe.
34. 25 × 98 = 2 450 et 3,7 × 4 + 6,3 × 4 = 40
35. Effectuer la division euclidienne d'un entier $a$ par un entier $b$ non nul, c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ , deux entiers tels que $a = b \times q + r$ avec $r < b$ . Par exemple, $150 = 12 \times 12 + 6$ : avec 150 œufs, on remplit 12 boîtes de 12, il reste 6 œufs, et il faut une 13^e boîte pour tout ranger. Quand le reste vaut 0, on a $a = b \times q$ , et l'on dit au choix : « $a$ est un multiple de $b$ », « $a$ est divisible par $b$ », « $b$ est un diviseur de $a$ ». Ainsi $42 = 6 \times 7$ : 42 est un multiple de 6, et 6 est un diviseur de 42, tout comme 7. Les tables donnent ces décompositions d'un coup d'œil : $56 = 7 \times 8$ , $45 = 5 \times 9$ .
36. Critères de divisibilité. Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s'il est 0 ou 5 ; par 10 s'il est 0. Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 9 si elle est divisible par 9.
37. Son chiffre des unités est 2 : divisible par 2, pas par 5. La somme de ses chiffres est divisible par 3 et par 9 :
38. 5 742 est divisible par 2, 3 et 9 (5 742 = 9 × 638), mais pas par 5
39. Tester les entiers 1, 2, 3… dans l'ordre, et noter chaque diviseur avec son partenaire : si $36 = 4 \times 9$ , alors 4 et 9 sont deux diviseurs.
40. S'arrêter quand les partenaires rejoignent les nombres déjà testés : tous les diviseurs sont trouvés.
41. On teste 1, 2, 3, 4, 5, 6 : à 6, les paires se rejoignent. 36 a neuf diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.