Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Symétrie centrale — Le demi-tour

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En 6^e, on pliait la feuille le long d'un axe. En 5^e, on la fait tourner : on pique une punaise en un point $O$ et l'on fait pivoter un calque d'un demi-tour. C'est la symétrie centrale, et tout le chapitre tient dans une phrase : $A^{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ lorsque $O$ est le milieu du segment $[A A^{'}]$ .

Le symétrique d'un point

Définition — symétrique d'un point par rapport à un point :

Définition — demi-tour de centre O :

Sur feuille blanche, à la règle et au compas

Sur quadrillage, en comptant les carreaux

10.

Exemple

Sur le quadrillage de droite, $B$ est à 3 carreaux à gauche et 3 au-dessus de $O$ . Où placer $B^{'}$ ? Et si $O B = 3$ cm sur une feuille blanche, que vaut $B B^{'}$ ?

Résultat :

Piège

Placer $A^{'}$ n'importe où sur le cercle de centre $O$ passant par $A$ , « puisque $O A^{'} = O A$ ».

tracer d'abord la droite $(A O)$ ; le compas ne sert qu'à reporter $O A$ sur cette droite.

Piège

Écrire $O A^{'} = 2 \times O A$ : « le symétrique est deux fois plus loin ».

revenir à la définition : le milieu est à égale distance des deux extrémités.

Piège

Sur quadrillage, ne changer qu'un seul sens : de « 3 à gauche, 2 en haut » passer à « 3 à droite, 2 en haut ».

dire le trajet de $A$ à $O$ , puis le répéter tel quel depuis $O$ .

L'image d'une figure et ses propriétés

Construire l'image d'une figure

17.

Propriété

19.

Exemple

Deux droites se coupent en $O$ . On prend $A$ sur l'une, $B$ sur l'autre, et leurs symétriques $A^{'}$ et $B^{'}$ par rapport à $O$ . Pourquoi les angles opposés par le sommet $A O B$ et $A^{'} O B^{'}$ sont-ils égaux ?

Résultat :

23.

Piège

Écrire que la droite $(d)$ et sa symétrique $(d^{'})$ se coupent en $O$ .

construire les images de deux points de $(d)$ , puis contrôler que la droite obtenue est parallèle à $(d)$ .

Centre de symétrie d'une figure

Définition — centre de symétrie :

25.

Chercher un centre de symétrie

Exemple

Un cercle de centre $I$ a-t-il un centre de symétrie ?

Résultat :

Piège

Affirmer qu'un triangle équilatéral a un centre de symétrie, puisqu'il a trois axes de symétrie.

tourner la feuille d'un demi-tour : si la figure a changé d'aspect, elle n'a pas de centre de symétrie.

N, Z et S ont un centre mais aucun axe ; le rectangle et le cercle ont les deux. Le parallélogramme a un centre, le milieu commun de ses diagonales : voir la fiche « Parallélogrammes ». Rosaces, pavages et frises en offrent d'autres.

Demi-tour ou symétrie axiale ?

Définition — symétrique par rapport à une droite (rappel de 6^e) :

31.

32.

Reconnaître la transformation

Exemple

Sur la figure de droite, quelle transformation envoie la figure grise sur la figure bleue ?

Résultat :

Piège

Voir une figure « la tête en bas » et conclure à une symétrie d'axe horizontal.

tourner la feuille d'un demi-tour : si l'image redevient la figure de départ, c'est un demi-tour ; sinon, chercher un axe.

$A$ , $O$ , $A^{'}$ alignés, et $O A^{'} = O A$ ?
Sur quadrillage : le même trajet depuis $O$ ?
Points images reliés dans le même ordre ?
Une propriété citée plutôt qu'une mesure ?
Axe ou centre ? Retournée ou tournée ?

Corrigé · à détacher

Symétrie centrale — Le demi-tour

1. Soit $O$ un point. Le symétrique du point $A$ par rapport à $O$ est le point $A^{'}$ tel que $O$ est le milieu du segment $[A A^{'}]$ . Concrètement : $A$ , $O$ et $A^{'}$ sont alignés, $A^{'}$ est de l'autre côté de $O$ , et $O A^{'} = O A$ .
2. À gauche, un point et son symétrique. À droite, le triangle $A B C$ et son image $A^{'} B^{'} C^{'}$ : chaque sommet a fait un demi-tour autour de $O$ .
3. Transformer une figure par la symétrie de centre $O$ , c'est remplacer chacun de ses points par son symétrique : on obtient son image, ou sa symétrique. C'est ce que donne un calque qu'on fait tourner d'un demi-tour (180°) autour de $O$ , sans le retourner. Le centre $O$ est le seul point qui ne bouge pas ; et si $A^{'}$ est le symétrique de $A$ , alors $A$ est celui de $A^{'}$ .
4. Tracer la demi-droite $[A O)$ : elle part de $A$ , passe par $O$ et se prolonge au-delà.
5. Pointer le compas en $O$ et l'écarter jusqu'à $A$ : l'écartement vaut $O A$ .
6. Tracer un arc qui coupe la demi-droite de l'autre côté de $O$ : c'est $A^{'}$ . Coder $O A^{'} = O A$ par les mêmes petits traits.
7. Les trois gestes : la demi-droite, le compas, le point. On peut aussi mesurer $O A$ à la règle graduée et reporter la mesure.
8. Compter le trajet de $A$ jusqu'à $O$ : tant de carreaux vers la droite ou la gauche, tant vers le haut ou le bas.
9. Refaire exactement le même trajet en partant de $O$ : on arrive en $A^{'}$ .
10. À gauche, 3 carreaux vers la droite et 2 vers le bas, deux fois de suite. À droite, chaque sommet du triangle se construit de la même façon.
11. Le trajet de $B$ à $O$ : 3 carreaux vers la droite, 3 vers le bas. On le refait depuis $O$ : $B^{'}$ est à 3 carreaux à droite et 3 au-dessous de $O$ .
12. $O$ est le milieu de $[B B^{'}]$ , donc $O B^{'} = O B = 3$ cm, et les deux longueurs s'ajoutent.
13. $B^{'}$ est à 3 cm de $O$ , mais à 6 cm de $B$ .
14. Repérer les points qui suffisent à tracer la figure : les extrémités d'un segment, deux points d'une droite, le centre d'un cercle, les sommets d'un polygone.
15. Construire leurs symétriques par rapport à $O$ , un par un.
16. Retracer la figure : relier les points images dans le même ordre ; pour un cercle, garder le même rayon.
17. Un segment, une droite, un cercle, et leurs images en bleu. Deux points, ou le centre, suffisent : le reste suit.
18. Le demi-tour conserve les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme : une figure et son image sont superposables. Ces propriétés se constatent ; on les admet, puis on s'en sert pour justifier sans mesurer. L'image d'une droite est une droite parallèle (une droite qui passe par $O$ est sa propre image) ; celle d'un segment, un segment parallèle de même longueur ; celle d'un cercle, un cercle de même rayon, centré au symétrique du centre.
19. Mêmes codages, mêmes angles : $A^{'} B^{'} C^{'}$ est superposable à $A B C$ . Le point $M$ de $[A B]$ a pour image un point $M^{'}$ de $[A^{'} B^{'}]$ .
20. $O$ est son propre symétrique : l'angle $A^{'} O B^{'}$ est l'image de l'angle $A O B$ par le demi-tour de centre $O$ .
21. Or le demi-tour conserve les angles.
22. $A^{'} O B^{'} = A O B$ : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
23. Le demi-tour de centre $O$ envoie un angle sur l'angle opposé.
24. Un point $O$ est un centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à $O$ est la figure elle-même : après un demi-tour autour de $O$ , elle se superpose exactement à elle-même.
25. Le milieu d'un segment, le centre d'un cercle, le point de rencontre des diagonales d'un rectangle ; N, Z et S en capitales bâton. Un triangle, A et E n'en ont pas.
26. Repérer le point candidat, au « milieu » de la figure, puis imaginer le demi-tour autour de lui, ou tourner la feuille de 180°.
27. La figure doit paraître inchangée. Un seul point dont le symétrique n'est pas sur la figure suffit à conclure : ce n'est pas un centre de symétrie.
28. Par le demi-tour de centre $I$ , son image est un cercle de même rayon, centré au symétrique de $I$ , c'est-à-dire en $I$ : c'est le cercle de départ.
29. oui : le centre $I$ du cercle est son centre de symétrie.
30. Le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(d)$ est le point $A_{1}$ tel que $(d)$ est la médiatrice de $[A A_{1}]$ . Sur feuille blanche : perpendiculaire à $(d)$ par $A$ , puis report de la distance. Sur quadrillage : on compte les carreaux perpendiculairement à l'axe, en diagonale si l'axe l'est.
31. Axe en diagonale du quadrillage.
32. La même figure. Pliée le long de $(d)$ , elle est retournée ; tournée d'un demi-tour autour de $O$ , elle a la tête en bas mais n'est pas retournée.
33. Relier deux points à leurs images. Segments de même milieu : demi-tour, de centre ce milieu ; la figure a tourné.
34. Segments perpendiculaires à une même droite passant par leurs milieux : symétrie axiale d'axe cette droite ; la figure est retournée.
35. De $P$ à $O$ puis de $O$ à $P^{'}$ , le trajet est le même : 5 carreaux vers la droite, 3 vers le bas. $O$ est le milieu de $[P P^{'}]$ .
36. Si l'on tourne la feuille d'un demi-tour, la figure image redevient un F à l'endroit : elle n'est pas retournée.
37. c'est le demi-tour de centre $O$ .