Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Perspective et patrons — Solides et aire du disque

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Un solide a trois dimensions, une feuille n'en a que deux : pour le représenter, il faut une convention. En perspective cavalière, la face avant est dessinée en vraie grandeur, les arêtes fuyantes sont parallèles et réduites, et ce qu'on ne voit pas est en pointillés. Le patron fait le chemin inverse : il déplie le solide à plat, toutes ses longueurs en vraie grandeur.

Les solides et leur vocabulaire

Définition — face, arête, sommet :

Définition — prisme droit :

Définition — cylindre de révolution :

Piège

Croire que la base d'un prisme est la face sur laquelle il est posé.

chercher les deux faces identiques qui se font face : ce sont les bases.

Faces, sommets, arêtes : pour le pavé, $6 + 8 - 12 = 2$ ; pour le prisme à base triangulaire, $5 + 6 - 9 = 2$ . Ce « 2 » n'est pas un hasard : c'est la formule d'Euler, $F + S - A = 2$ , vraie pour tout solide à faces planes sans trou, dont les cinq solides de Platon.

La perspective cavalière

Règle

Dessiner un pavé de 4 cm × 3 cm × 2 cm (45°, coefficient 0,5)

12.

Exemple

Sur le dessin d'un pavé (45°, coefficient 0,5), la face avant mesure 5 cm sur 2 cm et les fuyantes 1,5 cm. Quelles sont les dimensions réelles du pavé ?

Résultat :

Piège

Mesurer une fuyante sur le dessin et la prendre pour une longueur réelle.

ne lire en vraie grandeur que la face avant ; pour une fuyante, diviser par le coefficient.

Dessiner un cylindre couché, bases de face

19.

Les patrons

Définition — patron :

Reconnaître un patron de cube

24.

Propriété

26.

Propriété

28.

Exemple

Quelles sont les dimensions du rectangle du patron d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm ?

Résultat :

L'aire du disque

Propriété

33.

Calculer l'aire d'un disque

Exemple

Une pizza de 30 cm de diamètre, ou deux pizzas de 20 cm de diamètre : laquelle des deux offres donne le plus de pizza ?

Résultat :

Piège

Confondre l'aire $π r^{2}$ et le périmètre $2 π r$ .

aire → carré du rayon, et unité au carré ; périmètre → 2 fois le rayon, et unité simple.

Volumes (cylindre, cube, pavé, prisme) et unités : voir la fiche « Volumes — Pavés, prismes et cylindres ».

Empilements de cubes

Compter les cubes d'un empilement

43.

Face avant en vraie grandeur, fuyantes parallèles ?
Profondeur multipliée par le coefficient ?
Arêtes cachées en pointillés, et seulement elles ?
Bords qui se rejoignent au pliage de même longueur ?
Rectangle du cylindre de longueur $2 π r$ ?
Aire du disque avec le rayon, en cm² ?

Corrigé · à détacher

Perspective et patrons — Solides et aire du disque

1. Les faces d'un solide le limitent ; deux faces se rencontrent le long d'une arête, les arêtes en des sommets. Un pavé droit a 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets ; le cube est un pavé à 6 faces carrées.
2. Un prisme droit a deux bases : deux polygones superposables, situés dans des plans parallèles. Ses faces latérales sont des rectangles, perpendiculaires aux bases. La longueur d'une arête latérale est la hauteur du prisme. Un pavé droit est un prisme droit particulier, à bases rectangulaires.
3. Un cylindre de révolution a pour bases deux disques de même rayon $r$ , dans des plans parallèles, l'un en face de l'autre, reliés par la surface latérale, courbe. Les segments qui joignent deux points correspondants des deux cercles sont les génératrices : elles sont perpendiculaires aux bases et ont pour longueur la hauteur $h$ du cylindre.
4. Mêmes règles pour les quatre : face avant en vraie grandeur, fuyantes à 45° réduites de moitié. Les bases sont en couleur.
5. En perspective cavalière : 1. les faces placées de face, parallèles à la feuille, sont dessinées en vraie grandeur ; 2. les arêtes fuyantes, perpendiculaires à la feuille, sont dessinées parallèles entre elles, inclinées d'un même angle (souvent 45° ou 30°) et réduites d'un même coefficient (souvent 0,5) ; 3. les arêtes cachées sont en pointillés. Le parallélisme est conservé, mais seuls les angles droits de la face avant restent droits sur le dessin.
6. Les trois règles sur un cube : 45°, coefficient 0,5.
7. Je dessine la face avant en vraie grandeur : un rectangle de 4 cm sur 3 cm.
8. Je calcule la longueur dessinée des fuyantes : la profondeur multipliée par le coefficient.
9. Depuis chaque sommet de la face avant, je trace une fuyante de 1 cm, toutes parallèles, à 45° vers le haut à droite.
10. Je relie leurs extrémités : la face arrière est un rectangle identique à la face avant.
11. Je repasse en pointillés les trois arêtes qui partent du sommet arrière, en bas à gauche : on ne les voit pas.
12. Le pavé fini : la fuyante de 1 cm représente 2 cm.
13. La face avant est en vraie grandeur ; les fuyantes ont été multipliées par 0,5, donc je divise par 0,5 :
14. le pavé mesure 5 cm × 2 cm × 3 cm
15. Je trace la base avant, de face donc en vraie grandeur : un cercle de centre $O$ , de rayon $r$ .
16. Je trace la fuyante $[O O^{'}]$ , à 45°, de longueur $h \times 0, 5$ , puis un second cercle de même rayon et de centre $O^{'}$ .
17. Je trace les deux génératrices du contour, parallèles à $[O O^{'}]$ et tangentes aux deux cercles.
18. Je repasse en pointillés le demi-cercle arrière qui est derrière le cylindre.
19. Seule la base arrière a une moitié cachée ; la base avant est entière.
20. Un patron d'un solide est une figure plane, d'un seul morceau, qui, une fois découpée et pliée, recouvre exactement toutes les faces du solide, sans trou ni chevauchement. Toutes les longueurs y sont en vraie grandeur.
21. Il faut exactement 6 carrés, sans bloc de 2 sur 2 (4 faces autour d'un sommet : un cube n'en a que 3) ni 5 carrés alignés.
22. Je choisis un carré comme fond et je plie les autres en pensée, un par un. Deux carrés alignés et séparés par un seul carré deviennent des faces opposées.
23. Si deux carrés viennent se poser au même endroit, ce n'est pas un patron ; si chaque face a exactement une face opposée, c'en est un.
24. Même couleur = faces opposées.
25. Patron d'un pavé : 6 rectangles identiques deux à deux. Patron d'un prisme droit : ses deux bases et un rectangle par côté de la base, de largeur la hauteur du prisme ; leur bande mesure le périmètre de la base. Deux bords qui se rejoignent au pliage ont la même longueur.
26. Même couleur = faces identiques. Les longueurs de la perspective se reportent sur le patron, en vraie grandeur.
27. Le patron d'un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ est formé de deux disques de rayon $r$ et d'un rectangle de largeur $h$ . Sa longueur est le périmètre du cercle de base, vu en 6^e : $L = 2 \times π \times r$ .
28. Pour r = 2 cm et h = 5 cm.
29. Sa largeur est la hauteur du cylindre, 5 cm ; sa longueur est le périmètre du cercle de base :
30. 5 cm sur 4π cm, environ 12,6 cm — et non 4 cm, le diamètre : le rectangle fait le tour du disque
31. L'aire d'un disque de rayon $r$ est égale à $π$ multiplié par le carré du rayon. Elle s'exprime en unités d'aire : cm², m²…
32. $A = π \times r \times r = π \times r^{2}$
33. Tête-bêche, les parts forment presque un parallélogramme de base π × r (demi-périmètre) et de hauteur r.
34. Je cherche le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, je le divise par 2 — sinon, l'aire est quatre fois trop grande.
35. J'élève le rayon au carré : $r^{2} = r \times r$ , et non $r \times 2$ .
36. Je multiplie par $π$ : valeur exacte ( $25 π$ ), puis valeur approchée avec la touche π, en unité d'aire.
37. Grande pizza, rayon 15 cm :
38. Deux pizzas de rayon 10 cm :
39. la grande pizza : environ 706,9 cm² contre 628,3 cm²
40. Je dessine la vue de dessus : une case par colonne de cubes, le devant en bas.
41. J'écris dans chaque case la hauteur de la colonne. Aucun cube ne flotte : les cubes cachés, qui portent ceux qu'on voit, comptent — les oublier est l'erreur classique.
42. J'additionne les nombres de toutes les cases.
43. On voit 7 cubes, il y en a 10 : la vue de dessus, avec la hauteur de chaque colonne, permet de tout compter.