Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Hauteurs et médianes — Triangles, constructions et aire

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Trois données bien choisies suffisent à construire un triangle, et chaque triangle porte ses droites remarquables : médiatrices, hauteurs, médianes. Elles convergent toutes vers un même calcul, celui de l'aire. L'aire d'un triangle vaut un côté multiplié par la hauteur relative à ce côté, divisé par 2 — et cette hauteur est toujours perpendiculaire au côté choisi.

Construire et reconnaître un triangle

Propriété

Construire selon les données

Exemple

Construire le triangle $R S T$ tel que $R S = 7$ cm, $R = 45°$ et $T = 75°$ .

Résultat :

Piège

Tracer un angle de 130° au lieu de 50°, en lisant la mauvaise graduation du rapporteur.

se demander d'abord si l'angle est aigu ou obtus : 50° est plus petit qu'un angle droit.

11.

Définition — triangles particuliers :

Piège

Affirmer « $A B C$ est isocèle » parce que deux côtés ont l'air égaux sur le dessin.

sans codage ni phrase de l'énoncé, répondre « on ne peut pas savoir ».

Médiatrices et cercle circonscrit

Propriété

14.

Placer le centre O sans tracer trois médiatrices

Exemple

$E F G$ est rectangle en $F$ et $E G = 9$ cm. Où est le centre de son cercle circonscrit, et quel est son rayon ?

Résultat :

Hauteurs et aire d'un triangle

Définition — hauteur :

21.

Tracer une hauteur à l'équerre

Propriété

D'où vient la division par 2

27.

Quand le pied $H$ est dehors, la formule reste vraie : l'aire de $A B C$ est la différence $\frac{H C \times A H}{2} - \frac{H B \times A H}{2} = \frac{B C \times A H}{2}$ . Conséquence : deux triangles de bases égales et de hauteurs relatives égales ont la même aire, même de formes différentes.

Exemple

$A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm et $B C = 10$ cm. Calculer son aire, puis la hauteur relative à l'hypoténuse $[B C]$ .

Résultat :

Piège

Multiplier deux côtés qui ne sont pas perpendiculaires, ou oublier de diviser par 2.

chercher le codage de l'angle droit entre base et hauteur, se redire « un triangle, c'est la moitié d'un rectangle », et finir en cm².

Propriété

32.

Médianes

Définition — médiane :

Exemple

Démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire : si $I$ est le milieu de $[B C]$ , les triangles $A B I$ et $A I C$ ont la même aire.

Résultat :

37.

Piège

Écrire que la médiane coupe le triangle en deux triangles « identiques ».

dire « de même aire », jamais « superposables » — sauf si le triangle est isocèle en $A$ .

Dans les triangles particuliers

Exemple

$A B C$ est isocèle en $A$ , $I$ est le milieu de $[B C]$ . Démontrer que $(A I)$ est la médiatrice de $[B C]$ , la médiane et la hauteur issues de $A$ .

Résultat :

41.

Règle

Inégalité triangulaire : avec le plus grand côté ?
Angles adjacents au côté ? Sinon, troisième angle calculé ?
Conclusion tirée du codage ou de l'énoncé ?
Hauteur perpendiculaire à la base, et codée ?
Médiane, hauteur, médiatrice : la bonne droite ?

Corrigé · à détacher

Hauteurs et médianes — Triangles, constructions et aire

1. Inégalité triangulaire. Trois longueurs forment un triangle seulement si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres. Avec 4 cm, 6 cm et 9 cm : $4 + 6 = 10$ et $10 > 9$ , le triangle existe. Avec 3 cm, 5 cm et 8 cm : $3 + 5 = 8$ , la somme est égale au plus grand côté, les trois points sont alignés et il n'y a pas de triangle.
2. Les trois cas de construction, à l’échelle. Les traits de construction restent visibles.
3. Schéma à main levée avec les données : il dit dans quel cas on se trouve.
4. Trois côtés : vérifier l'inégalité triangulaire, tracer un côté, puis deux arcs de compas centrés sur ses extrémités ; ils se coupent au troisième sommet.
5. Deux côtés et l'angle compris : tracer un côté, construire l'angle au rapporteur à une extrémité, reporter l'autre longueur au compas sur la demi-droite.
6. Un côté et deux angles : construire les deux angles adjacents au côté, à ses extrémités et du même côté ; les demi-droites se coupent au troisième sommet.
7. Nommer, coder, et laisser les traits de construction.
8. $T$ n'est pas adjacent à $[R S]$ : on calcule d'abord $S$ par la somme des angles (démontrée dans la fiche « Géométrie — Triangles, angles et droites »).
9. On trace $[R S]$ , puis 45° en $R$ et 60° en $S$ , du même côté : les demi-droites se coupent en $T$ .
10. contrôle au rapporteur : l'angle en T mesure bien 75°
11. Des traits identiques disent « même longueur » ; un petit carré dit « angle droit ».
12. Isocèle : deux côtés égaux, qui se rejoignent au sommet principal ; le troisième est la base. Équilatéral : trois côtés égaux (il est donc aussi isocèle). Rectangle : un angle droit ; le côté opposé est l'hypoténuse.
13. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu ; chacun de ses points est à égale distance des extrémités (construction au compas : fiche « Cercle »). Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point $O$ équidistant des trois sommets : le centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets.
14. Dans les triangles particuliers, le centre O se trouve sans tracer trois médiatrices.
15. Isocèle en $A$ : $A B = A C$ , donc $A$ est sur la médiatrice de la base $[B C]$ , qui est l'axe de symétrie. On trace $(A I)$ , avec $I$ milieu de $[B C]$ , puis une seule autre médiatrice.
16. Équilatéral : chaque médiatrice passe par le sommet opposé ; deux droites « sommet – milieu du côté opposé » suffisent.
17. Rectangle : $O$ est le milieu de l'hypoténuse, et le rayon en vaut la moitié. On l'observe et on l'admet ; la preuve viendra en 4^e.
18. L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[E G]$ , le centre est son milieu $M$ , et le rayon vaut sa moitié.
19. centre : le milieu de [EG] ; rayon : 4,5 cm
20. La hauteur issue de $A$ est la droite qui passe par le sommet $A$ et qui est perpendiculaire à la droite $(B C)$ portant le côté opposé. Elle coupe $(B C)$ en $H$ , le pied de la hauteur. On appelle aussi hauteur le segment $[A H]$ et sa longueur $A H$ : c'est la hauteur relative au côté $[B C]$ .
21. Le pied de la hauteur peut tomber sur le côté, en un sommet, ou sur le prolongement du côté.
22. Repérer le côté opposé au sommet ; si l'angle est obtus, le prolonger en pointillés. Poser un bord de l'angle droit de l'équerre sur ce côté.
23. Faire glisser l'équerre jusqu'au sommet, tracer, nommer le pied $H$ et coder l'angle droit.
24. L'aire d'un triangle est égale au produit d'un côté par la hauteur relative à ce côté, divisé par 2 : $A_{A B C} = \frac{B C \times A H}{2}$ . N'importe lequel des trois côtés peut servir de base, pourvu qu'on prenne sa hauteur.
25. La hauteur $[A H]$ coupe $A B C$ en deux triangles rectangles, les pièces 1 et 2. Chacune est la moitié d'un rectangle, coupé par sa diagonale.
26. Réunis, les deux rectangles forment un rectangle de côtés $B C$ et $A H$ : le triangle en occupe la moitié.
27. Chaque pièce a sa copie hors du triangle : le triangle est la moitié du rectangle.
28. $[A B]$ et $[A C]$ sont perpendiculaires : l'un est la hauteur relative à l'autre.
29. Avec la base $[B C]$ : $\frac{10 \times h}{2} = 24$ , donc $10 \times h = 48$ .
30. aire 24 cm² ; hauteur relative à [BC] : 4,8 cm
31. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (on le constate, et on l'admet) : elles passent par un même point, l'orthocentre. Si un angle est obtus, ce sont les droites prolongées qui se coupent, hors du triangle.
32. Trois hauteurs, un seul point de rencontre H.
33. La médiane issue de $A$ joint le sommet $A$ au milieu $I$ du côté opposé $[B C]$ : placer $I$ à la règle graduée, coder $B I = I C$ , joindre $A$ . Les trois médianes se coupent en un même point, le centre de gravité (on l'observe).
34. La hauteur $[A H]$ issue de $A$ est perpendiculaire à $(B C)$ , qui porte $[B I]$ et $[I C]$ : c'est la hauteur relative à $[B I]$ dans $A B I$ , et à $[I C]$ dans $A I C$ .
35. $I$ est le milieu de $[B C]$ , donc $B I = I C$ : les deux aires se calculent avec les mêmes nombres.
36. ABI et AIC ont la même aire, la moitié de celle de ABC — dans tout triangle
37. Même hauteur AH, bases BI et IC égales : même aire.
38. $A B = A C$ , donc $A$ est sur la médiatrice de $[B C]$ ; le milieu $I$ aussi. Cette médiatrice est donc $(A I)$ .
39. $(A I)$ joint $A$ au milieu de $[B C]$ : c'est la médiane. Elle est perpendiculaire à $(B C)$ : c'est la hauteur.
40. isocèle en A : ces trois droites sont confondues, c'est l'axe de symétrie
41. Isocèle en A : médiatrice, médiane et hauteur confondues.
42. Équilatéral : c'est vrai pour les trois sommets. Rectangle en $A$ : $[A B]$ et $[A C]$ sont deux hauteurs, l'orthocentre est $A$ et l'aire vaut $A B \times A C \div 2$ ; la médiane issue de $A$ aboutit au centre du cercle circonscrit et mesure la moitié de l'hypoténuse.