Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Repérage dans le plan — Droite graduée et coordonnées

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Repérer un point, c'est le désigner par des nombres, sans aucune ambiguïté. Sur une droite graduée, un seul nombre suffit : son abscisse. Dans le plan, il en faut deux, et leur ordre compte : un point s'écrit $M (x; y)$ — l'abscisse d'abord, lue sur l'axe horizontal, l'ordonnée ensuite, lue sur l'axe vertical.

La droite graduée

Définition — droite graduée et abscisse :

La demi-droite graduée de l'école et de la 6^e commence à l'origine et ne porte que des nombres positifs. La droite graduée la prolonge à gauche de $O$ : c'est là que se placent les nombres relatifs négatifs, avec le même pas que de l'autre côté.

Définition — pas d'une graduation :

Le pas n'est pas toujours décimal. Une unité partagée en 3 donne des tiers : la deuxième graduation après $0$ a pour abscisse $\frac{2}{3}$ , que l'on garde en écriture fractionnaire, car $2 \div 3$ ne tombe pas juste.

Lire l'abscisse d'un point

Exemple

Sur la droite graduée ci-dessous, lire les abscisses des points $P$ et $Q$ .

Résultat :

15.

Placer un point d'abscisse donnée

Exemple

Sur une droite graduée en dixièmes, placer les points $C (- 1, 4)$ et $D (0, 7)$ .

Résultat :

23.

Piège

Sur une droite graduée en quarts, lire $3$ pour un point situé trois graduations à droite de $0$ .

écrire le pas en marge avant la première lecture.

Piège

Compter les traits au lieu des intervalles : 5 traits de $0$ à $1$ , donc un pas de $0, 2$ .

compter les espaces entre les traits. Le premier trait est un point de départ, pas un pas.

Piège

Écrire $- 2, 3$ pour le point situé trois dixièmes à droite de $- 2$ .

contrôler que l'abscisse trouvée est entre les deux nombres écrits qui encadrent le point, ici $- 2$ et $- 1$ .

Le repère du plan

Définition — repère orthogonal :

Définition — coordonnées d'un point :

26.

Lire les coordonnées d'un point

Placer un point de coordonnées données

34.

Propriété

Exemple

Dans le repère ci-contre, l'axe des ordonnées est gradué de 2 en 2. Lire les coordonnées de $R$ et de $S$ .

Résultat :

40.

Piège

Placer $A (2; 5)$ à l'endroit du point $(5; 2)$ .

l'ordre est celui de l'alphabet : abscisse avant ordonnée, comme $x$ avant $y$ . On se déplace d'abord le long de l'axe horizontal.

Piège

Lire $S (- 2; - 1)$ dans un repère où l'axe des ordonnées est gradué de 2 en 2.

lire les nombres écrits sur chacun des deux axes avant la première lecture.

Piège

Écrire $E (- 3)$ , ou $E (- 3; - 3)$ , pour le point de l'axe des ordonnées situé à la graduation $- 3$ .

un point de l'axe vertical s'écrit $(0; y)$ , un point de l'axe horizontal $(x; 0)$ .

Raisonner avec les coordonnées

Exemple

Dans un repère orthogonal de même unité sur les deux axes, on donne $A (- 3; - 2)$ , $B (2; - 2)$ et $C (2; 3)$ . Trouver le point $D$ tel que $A B C D$ soit un rectangle, et la longueur $A B$ .

Résultat :

45.

Ai-je calculé le pas (écart entre deux nombres écrits ÷ nombre d'intervalles) avant de lire ou de placer ?
Ai-je compté les intervalles, et non les traits ?
Du côté négatif, mon abscisse est-elle bien entre les deux nombres écrits qui encadrent le point ?
Ai-je écrit l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite : $(x; y)$ ?
Ai-je vérifié le pas de chacun des deux axes ?
Pour un point sur un axe, ai-je écrit le 0 de l'autre coordonnée ?

Corrigé · à détacher

Repérage dans le plan — Droite graduée et coordonnées

1. Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi un point origine $O$ , un sens (indiqué par la flèche) et une unité de longueur, reportée régulièrement à partir de $O$ . Chaque point de la droite est repéré par un nombre, son abscisse : positive à droite de l'origine, négative à gauche, égale à 0 pour l'origine elle-même. On écrit $A (- 3)$ pour « le point $A$ d'abscisse $- 3$ ».
2. L'abscisse dit de combien d'unités le point est éloigné de l'origine, et de quel côté.
3. C'est l'écart entre deux graduations voisines. Quand l'unité est partagée en $n$ intervalles égaux, chaque intervalle vaut $1 \div n$ : une droite graduée en demis a un pas de 0,5, en quarts de 0,25, en dixièmes de 0,1. Le pas se calcule à partir de deux nombres écrits ; il ne se devine pas.
4. $pas = \overset{e}{ˊ} cart entre deux nombres \overset{e}{ˊ} crits \div nombre d’intervalles entre eux$
5. Quatre droites, quatre pas : on lit deux nombres écrits, on compte les intervalles entre eux, on divise.
6. Calculer le pas : choisir deux graduations où un nombre est écrit, compter les intervalles (pas les traits) qui les séparent, et diviser leur écart par ce nombre.
7. Partir de la graduation écrite la plus proche du point, et compter les intervalles qui l'en séparent.
8. Ajouter autant de pas si l'on va vers la droite, retirer autant de pas si l'on va vers la gauche.
9. Contrôler : l'abscisse trouvée doit être comprise entre les deux nombres écrits qui encadrent le point.
10. Entre $0$ et $1$ , on compte 4 intervalles : le pas vaut
11. $P$ est 1 pas à gauche de $- 1$ : on retire un pas.
12. $Q$ est 2 pas à droite de $0$ : on ajoute deux pas.
13. Contrôle : $- 1, 25$ est bien entre $- 2$ et $- 1$ , et $0, 5$ entre $0$ et $1$ .
14. $P (- 1, 25)$ et $Q (0, 5)$
15. Droite graduée en quarts : chaque intervalle vaut 0,25.
16. Calculer le pas de la droite.
17. Encadrer l'abscisse entre deux nombres écrits, et partir du plus proche : $- 1, 4$ est entre $- 2$ et $- 1$ , on part de $- 1$ .
18. Compter les pas, dans le bon sens, puis marquer le point et le nommer : de $- 1$ à $- 1, 4$ , l'écart est $0, 4$ , soit 4 pas de $0, 1$ vers la gauche.
19. L'unité est partagée en 10 : le pas vaut
20. $- 1, 4$ est entre $- 2$ et $- 1$ , plus près de $- 1$ . On part de $- 1$ et on va vers la gauche, puisque le nombre diminue : 4 pas.
21. $0, 7$ est entre $0$ et $1$ : on part de $0$ et on avance de 7 pas vers la droite.
22. $C$ est 4 graduations à gauche de $- 1$ , $D$ est 7 graduations à droite de $0$
23. Pour placer $- 1, 4$ , on part de $- 1$ et on va vers la gauche : on s'éloigne de 0.
24. Deux droites graduées perpendiculaires, qui se coupent en leur origine commune $O$ , forment un repère orthogonal du plan. La droite horizontale est l'axe des abscisses, la droite verticale l'axe des ordonnées. Chaque axe a son unité : elles sont souvent égales, mais ce n'est pas obligatoire.
25. Un point $M$ du plan est repéré par deux nombres, ses coordonnées : son abscisse $x$ , lue sur l'axe horizontal, puis son ordonnée $y$ , lue sur l'axe vertical. On écrit $M (x; y)$ , dans cet ordre, avec un point-virgule entre les deux. L'origine a pour coordonnées $O (0; 0)$ .
26. $M (3; 2)$ : 3 sur l'axe des abscisses, puis 2 sur l'axe des ordonnées.
27. Vérifier le pas de chaque axe : les deux axes peuvent être gradués différemment.
28. L'abscisse : depuis le point, descendre ou monter verticalement jusqu'à l'axe des abscisses, et lire le nombre atteint.
29. L'ordonnée : depuis le point, aller horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées, et lire le nombre atteint.
30. Écrire $M (x; y)$ , l'abscisse en premier.
31. Sur l'axe des abscisses, repérer l'abscisse : pour $N (- 2; 3)$ , c'est $- 2$ , deux unités à gauche de $O$ .
32. De là, monter parallèlement à l'axe des ordonnées jusqu'à la hauteur $3$ — ou descendre si l'ordonnée est négative.
33. Marquer le point d'une croix et écrire son nom à côté.
34. Le signe de l'abscisse dit à gauche ou à droite de l'axe des ordonnées ; le signe de l'ordonnée, au-dessous ou au-dessus de l'axe des abscisses.
35. Un point est à droite de l'axe des ordonnées si son abscisse est positive, à gauche si elle est négative. Il est au-dessus de l'axe des abscisses si son ordonnée est positive, au-dessous si elle est négative. Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée égale à 0 ; un point de l'axe des ordonnées a une abscisse égale à 0.
36. Les pas : 1 sur l'axe des abscisses, mais 2 sur l'axe des ordonnées, où les nombres écrits sont 2, 4, 6.
37. $R$ : à la verticale, on tombe sur $3$ . À l'horizontale, on est 2 carreaux au-dessus de l'axe, et un carreau vaut 2 :
38. $S$ : à la verticale, on tombe sur $- 2$ . À l'horizontale, on est 1 carreau au-dessous de l'axe, donc l'ordonnée vaut $- 2$ .
39. $R (3; 4)$ et $S (- 2; - 2)$
40. Ici, un carreau vaut 1 en abscisse mais 2 en ordonnée.
41. Deux points de même ordonnée sont sur une parallèle à l'axe des abscisses ; deux points de même abscisse, sur une parallèle à l'axe des ordonnées. Ici, $A$ et $B$ ont la même ordonnée $- 2$ : $[A B]$ est horizontal. $B$ et $C$ ont la même abscisse $2$ : $[B C]$ est vertical. L'angle en $B$ est droit.
42. $D$ doit être à la verticale de $A$ , donc avoir son abscisse $- 3$ , et à l'horizontale de $C$ , donc avoir son ordonnée $3$ .
43. La longueur $A B$ se lit sur l'axe des abscisses, de $- 3$ à $2$ :
44. $D (- 3; 3)$ , et $A B = 5$ unités
45. $D$ prend l'abscisse de $A$ et l'ordonnée de $C$ .