Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Fonctions et graphiques — Tableaux de valeurs, en fonction de

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Le prix d'un plein dépend du nombre de litres, l'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté, la hauteur d'une bougie dépend du temps depuis lequel elle brûle. Dans chaque cas, une grandeur s'exprime en fonction d'une autre, et ce lien se décrit de trois façons : par une formule, par un tableau de valeurs ou par un graphique.

Une grandeur en fonction d'une autre

Définition — « en fonction de » :

Traduire une situation par « en fonction de »

Exemple

Une bougie de 12 cm brûle et perd 2 cm par heure. Quelle grandeur dépend de l'autre ? Donner sa hauteur au bout de 3 h.

Résultat :

Piège

Lire « la hauteur de la bougie en fonction du temps » comme si le temps dépendait de la hauteur.

souligner ce qui suit « en fonction de » : c'est la première ligne du tableau et l'axe horizontal du graphique.

Tableau de valeurs et formule

Définition — tableau de valeurs :

Produire un tableau de valeurs à partir d'une formule

Exemple

L'aire $A$ d'un carré de côté $c$ est $A = c^{2}$ ( $c$ en cm, $A$ en cm²). Calculer l'aire pour $c = 4$ et pour $c = 2, 5$ .

Résultat :

Piège

Écrire $3^{2} = 6$ dans le tableau de l'aire du carré.

écrire le produit en entier, $3 \times 3$ , avant d'écrire le résultat.

Exemple

Lire et interpréter un tableau. Température relevée en fonction de l'heure : 8 h → 6 °C ; 10 h → 9 °C ; 12 h → 13 °C ; 14 h → 15 °C ; 16 h → 14 °C ; 18 h → 10 °C. Quel est le relevé le plus chaud ? Entre quels relevés la hausse est-elle la plus forte ? Quelle température à 13 h ?

Résultat :

Produire une formule simple

Exemple

Une base de loisirs loue des vélos : 3 € d'inscription, puis 2 € par heure, par heures entières. Exprimer le prix $p$ , en euros, en fonction du nombre d'heures $h$ .

Résultat :

Placer des points dans un repère

Règle

Placer les points d'un tableau de valeurs

Exemple

Placer les points de la location de vélos : $h$ = 1, 2, 3, 4, 5 et $p$ = 5, 7, 9, 11, 13.

Résultat :

34.

Piège

Écrire sur l'axe, à intervalles égaux, les valeurs du tableau telles qu'elles viennent : 1, 2, 5, 10.

choisir un pas, par exemple 1 carreau pour 2 €, le garder sur tout l'axe, puis placer chaque valeur à sa place.

Lire et interpréter un graphique

Lire un graphique

39.

Exemple

Inès va au gymnase à vélo, s'y entraîne, puis rentre à pied. Le graphique ci-dessus donne la distance qui la sépare de chez elle en fonction du temps. À quelle distance de chez elle est le gymnase ? Combien de temps y reste-t-elle ? À quels moments est-elle à 1 km de chez elle ?

Résultat :

Piège

Voir dans la courbe le dessin du trajet, et croire qu'Inès grimpe une côte puis la redescend.

relire le titre des deux axes, puis traduire chaque portion par une phrase : « de 40 à 70 min, la distance diminue : elle rentre ».

Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Propriété

45.

Décider sur un graphique

Exemple

Les points de la location de vélos, (1 ; 5), (2 ; 7), (3 ; 9), sont alignés. Le prix est-il proportionnel au nombre d'heures ?

Résultat :

Piège

Conclure « les points sont alignés, donc c'est proportionnel ».

prolonger la droite jusqu'à l'axe vertical et regarder où elle le coupe.

Coefficient, quatrième proportionnelle, pourcentages : voir la fiche Proportionnalité. L'aire du carré est bien fonction de son côté, sans lui être proportionnelle.

Ai-je mis la grandeur dont on part en première ligne et à l'horizontale ?
Ai-je écrit chaque calcul du tableau, sans inventer de valeur entre deux colonnes ?
Mes graduations sont-elles régulières, et ai-je noté la valeur d'un carreau ?
Pour la proportionnalité, ai-je vérifié l'alignement et l'origine ?

Corrigé · à détacher

Fonctions et graphiques — Tableaux de valeurs, en fonction de

1. Une grandeur s'exprime en fonction d'une autre quand on peut la déterminer dès qu'on connaît la valeur de cette autre. Dans « l'aire du carré en fonction de son côté », on choisit le côté et on obtient l'aire : la grandeur nommée après « en fonction de » est celle dont on part. Une dépendance n'a pas toujours de formule : la taille d'un enfant en fonction de son âge se lit dans un tableau ou une courbe.
2. La formule va de la grandeur choisie vers la grandeur obtenue, jamais l'inverse.
3. Repérer les deux grandeurs et leurs unités, puis se demander laquelle on choisit, ou varie librement, et laquelle on obtient.
4. Écrire la phrase « grandeur obtenue en fonction de grandeur choisie » : le prix en fonction de la masse.
5. Le temps passe, la hauteur en découle : c'est la hauteur en fonction du temps. En 3 h, la bougie perd 3 fois 2 cm :
6. la hauteur dépend du temps ; au bout de 3 h, la bougie mesure 6 cm
7. Un tableau à deux lignes, ou à deux colonnes. La première porte des valeurs choisies de la grandeur dont on part, la seconde les valeurs correspondantes de l'autre. Chacune indique sa grandeur et son unité.
8. On lit une colonne de haut en bas : un carré de 3 cm de côté a une aire de 9 cm².
9. Écrire la formule et repérer la lettre que l'on va remplacer : dans $A = c^{2}$ , c'est $c$ .
10. Choisir des valeurs simples pour la première ligne, de préférence régulières : 1, 2, 3, 4, 5.
11. Remplacer la lettre par chaque valeur, et écrire le calcul en entier avant le résultat.
12. Reporter chaque résultat sous la valeur qui l'a produit, dans l'unité annoncée par la ligne.
13. Pour $c = 4$ , on remplace $c$ par 4 :
14. Pour $c = 2, 5$ :
15. 16 cm² pour un côté de 4 cm, et 6,25 cm² pour un côté de 2,5 cm
16. Le plus chaud : 15 °C, sous 14 h. Les hausses entre relevés voisins valent 3 °C, 4 °C puis 2 °C ; la plus forte :
17. 13 h n'est pas dans le tableau, qui ne donne que les relevés. Répondre 14 °C, « au milieu », serait inventer : entre deux relevés, la température a pu monter ou baisser.
18. 15 °C à 14 h ; la plus forte hausse, 4 °C, a lieu entre 10 h et 12 h ; la température de 13 h ne se lit pas dans ce tableau
19. Calculer deux ou trois cas à la main, en écrivant le calcul et pas seulement son résultat.
20. Repérer ce qui reste fixe d'un calcul à l'autre, et ce qui change.
21. Remplacer ce qui change par une lettre, celle de la grandeur dont on part, et dire son unité.
22. Vérifier la formule sur un cas déjà calculé : si elle ne le redonne pas, elle est fausse.
23. Pour 4 h, on paie l'inscription et quatre heures :
24. De même, 1 h coûte $3 + 2 \times 1 = 5$ €. Le 3 et le 2 ne changent pas ; seul le nombre d'heures change. On le remplace par $h$ : $p = 3 + 2 \times h$ .
25. Vérification avec 2 h, que l'on sait calculer : 3 € d'inscription et deux heures à 2 €.
26. $p = 3 + 2 \times h$ , que l'on peut aussi écrire $p = 2 h + 3$
27. Dans un repère orthogonal, la grandeur dont on part se lit sur l'axe horizontal, celui des abscisses ; l'autre sur l'axe vertical, celui des ordonnées. Chaque colonne du tableau devient un point, de coordonnées (abscisse ; ordonnée), dans cet ordre.
28. Nommer chaque axe avec sa grandeur et son unité : la grandeur choisie à l'horizontale.
29. Graduer régulièrement : le même écart sur le papier pour le même écart de valeur, sur tout l'axe.
30. Pour chaque colonne, partir de l'abscisse, monter jusqu'à la hauteur de l'ordonnée, et marquer une croix.
31. Relier ou non : on relie les points seulement si la grandeur de départ varie sans saut.
32. Durée à l'horizontale, 1 h par graduation ; prix à la verticale, une graduation tous les 2 €. Points (1 ; 5), (2 ; 7), (3 ; 9), (4 ; 11), (5 ; 13), que l'on ne relie pas : la location se paie par heures entières.
33. cinq points isolés, qui forment un nuage de points
34. Abscisse d'abord, ordonnée ensuite : le point (3 ; 9) se lit « en 3 h, on paie 9 € ».
35. Lire les axes : quelle grandeur, quelle unité, et combien vaut un carreau sur chacun.
36. Pour une abscisse donnée : monter verticalement jusqu'à la courbe, puis aller à l'horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées.
37. Pour une ordonnée donnée : faire le chemin inverse, et chercher tous les points de la courbe à cette hauteur.
38. Interpréter chaque portion : elle monte, la grandeur augmente ; horizontale, elle ne change pas ; elle descend, elle diminue.
39. Une portion horizontale : la distance ne change pas, Inès ne bouge pas.
40. Un carreau vaut 5 min à l'horizontale et 0,5 km à la verticale. La portion horizontale est à la hauteur de 2 km : la distance ne change plus, Inès est au gymnase.
41. Cette portion va de 10 min à 40 min :
42. L'horizontale tracée à 1 km coupe la courbe deux fois : à 5 min, à l'aller, et à 55 min, au retour.
43. le gymnase est à 2 km ; Inès y reste 30 min ; elle est à 1 km de chez elle au bout de 5 min et au bout de 55 min
44. Si deux grandeurs sont proportionnelles, les points qui les représentent sont alignés avec l'origine du repère. Réciproquement, des points alignés avec l'origine représentent une situation de proportionnalité.
45. Des points alignés ne suffisent pas, passer par l'origine non plus : il faut les deux à la fois.
46. Les points sont-ils alignés ? Poser la règle dessus. S'ils ne le sont pas, la situation n'est pas proportionnelle.
47. La droite passe-t-elle par l'origine ? La prolonger jusqu'à l'axe vertical. Si elle le coupe ailleurs qu'en 0, la situation n'est pas proportionnelle ; sinon, elle l'est. Conclure par une phrase.
48. Prolongée vers la gauche, la droite coupe l'axe vertical à 3 € (l'inscription) : elle ne passe pas par l'origine.
49. Contrôle : si c'était proportionnel, 2 h coûteraient le double du prix d'une heure, soit $2 \times 5 = 10$ €. Or elles coûtent 7 €.
50. le prix n'est pas proportionnel au nombre d'heures : les points sont alignés, mais pas avec l'origine