Fonctions et graphiques — Tableaux de valeurs, en fonction de

« en fonction de » — Une grandeur s'exprime en fonction d'une autre quand on peut la déterminer dès qu'on connaît la valeur de cette autre. Dans « l'aire du carré en fonction de son côté », on choisit le côté et on obtient l'aire : la grandeur nommée après « en fonction de » est celle dont on part. Une dépendance n'a pas toujours de formule : la taille d'un enfant en fonction de son âge se lit dans un tableau ou une courbe.

Traduire une situation par « en fonction de »

1. Repérer les deux grandeurs et leurs unités, puis se demander laquelle on choisit, ou varie librement, et laquelle on obtient.
2. Écrire la phrase « grandeur obtenue en fonction de grandeur choisie » : le prix en fonction de la masse.la grandeur choisie ira dans la première ligne du tableau et sur l'axe horizontal du graphique.

Une bougie de 12 cm brûle et perd 2 cm par heure. Quelle grandeur dépend de l'autre ? Donner sa hauteur au bout de 3 h.

1. Le temps passe, la hauteur en découle : c'est la hauteur en fonction du temps. En 3 h, la bougie perd 3 fois 2 cm :$12-2\times 3=6$

la hauteur dépend du temps ; au bout de 3 h, la bougie mesure 6 cm

tableau de valeurs — Un tableau à deux lignes, ou à deux colonnes. La première porte des valeurs choisies de la grandeur dont on part, la seconde les valeurs correspondantes de l'autre. Chacune indique sa grandeur et son unité.

Produire un tableau de valeurs à partir d'une formule

1. Écrire la formule et repérer la lettre que l'on va remplacer : dans $A=c^2$, c'est $c$.
2. Choisir des valeurs simples pour la première ligne, de préférence régulières : 1, 2, 3, 4, 5.
3. Remplacer la lettre par chaque valeur, et écrire le calcul en entier avant le résultat.
4. Reporter chaque résultat sous la valeur qui l'a produit, dans l'unité annoncée par la ligne.

L'aire $A$ d'un carré de côté $c$ est $A=c^2$ ($c$ en cm, $A$ en cm²). Calculer l'aire pour $c=4$ et pour $c=2,5$.

1. Pour $c=4$, on remplace $c$ par 4 :$A=4^2=4\times 4=16$
2. Pour $c=2,5$ :$A=2,5^2=2,5\times 2,5=6,25$

16 cm² pour un côté de 4 cm, et 6,25 cm² pour un côté de 2,5 cm

Lire et interpréter un tableau. Température relevée en fonction de l'heure : 8 h → 6 °C ; 10 h → 9 °C ; 12 h → 13 °C ; 14 h → 15 °C ; 16 h → 14 °C ; 18 h → 10 °C. Quel est le relevé le plus chaud ? Entre quels relevés la hausse est-elle la plus forte ? Quelle température à 13 h ?

1. Le plus chaud : 15 °C, sous 14 h. Les hausses entre relevés voisins valent 3 °C, 4 °C puis 2 °C ; la plus forte :$13-9=4$
2. 13 h n'est pas dans le tableau, qui ne donne que les relevés. Répondre 14 °C, « au milieu », serait inventer : entre deux relevés, la température a pu monter ou baisser.

15 °C à 14 h ; la plus forte hausse, 4 °C, a lieu entre 10 h et 12 h ; la température de 13 h ne se lit pas dans ce tableau

Produire une formule simple

1. Calculer deux ou trois cas à la main, en écrivant le calcul et pas seulement son résultat.
2. Repérer ce qui reste fixe d'un calcul à l'autre, et ce qui change.
3. Remplacer ce qui change par une lettre, celle de la grandeur dont on part, et dire son unité.
4. Vérifier la formule sur un cas déjà calculé : si elle ne le redonne pas, elle est fausse.

Une base de loisirs loue des vélos : 3 € d'inscription, puis 2 € par heure, par heures entières. Exprimer le prix $p$, en euros, en fonction du nombre d'heures $h$.

1. Pour 4 h, on paie l'inscription et quatre heures :$3+2\times 4=11$
2. De même, 1 h coûte $3+2\times 1=5$ €. Le 3 et le 2 ne changent pas ; seul le nombre d'heures change. On le remplace par $h$ : $p=3+2\times h$.
3. Vérification avec 2 h, que l'on sait calculer : 3 € d'inscription et deux heures à 2 €.$3+2\times 2=7$

$p=3+2\times h$, que l'on peut aussi écrire $p=2h+3$

Dans un repère orthogonal, la grandeur dont on part se lit sur l'axe horizontal, celui des abscisses ; l'autre sur l'axe vertical, celui des ordonnées. Chaque colonne du tableau devient un point, de coordonnées (abscisse ; ordonnée), dans cet ordre.

Placer les points d'un tableau de valeurs

1. Nommer chaque axe avec sa grandeur et son unité : la grandeur choisie à l'horizontale.
2. Graduer régulièrement : le même écart sur le papier pour le même écart de valeur, sur tout l'axe.les deux axes peuvent avoir des pas différents, 1 carreau pour 1 h et 1 carreau pour 2 €, mais chacun garde le sien.
3. Pour chaque colonne, partir de l'abscisse, monter jusqu'à la hauteur de l'ordonnée, et marquer une croix.
4. Relier ou non : on relie les points seulement si la grandeur de départ varie sans saut.une durée, une masse donnent une courbe ; un nombre de tickets ou d'heures entières donne des points isolés, un nuage de points.

Placer les points de la location de vélos : $h$ = 1, 2, 3, 4, 5 et $p$ = 5, 7, 9, 11, 13.

1. Durée à l'horizontale, 1 h par graduation ; prix à la verticale, une graduation tous les 2 €. Points (1 ; 5), (2 ; 7), (3 ; 9), (4 ; 11), (5 ; 13), que l'on ne relie pas : la location se paie par heures entières.

cinq points isolés, qui forment un nuage de points

Lire un graphique

1. Lire les axes : quelle grandeur, quelle unité, et combien vaut un carreau sur chacun.un carreau vaut l'écart entre deux nombres écrits, divisé par le nombre de carreaux qui les séparent : ici $10÷2=5$ min.
2. Pour une abscisse donnée : monter verticalement jusqu'à la courbe, puis aller à l'horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées.
3. Pour une ordonnée donnée : faire le chemin inverse, et chercher tous les points de la courbe à cette hauteur.une même valeur peut être atteinte à plusieurs moments : à l'aller et au retour, par exemple.
4. Interpréter chaque portion : elle monte, la grandeur augmente ; horizontale, elle ne change pas ; elle descend, elle diminue.

Inès va au gymnase à vélo, s'y entraîne, puis rentre à pied. Le graphique ci-dessus donne la distance qui la sépare de chez elle en fonction du temps. À quelle distance de chez elle est le gymnase ? Combien de temps y reste-t-elle ? À quels moments est-elle à 1 km de chez elle ?

1. Un carreau vaut 5 min à l'horizontale et 0,5 km à la verticale. La portion horizontale est à la hauteur de 2 km : la distance ne change plus, Inès est au gymnase.
2. Cette portion va de 10 min à 40 min :$40-10=30$la raideur se lit aussi : 2 km en 10 min à vélo, 2 km en 30 min à pied.
3. L'horizontale tracée à 1 km coupe la courbe deux fois : à 5 min, à l'aller, et à 55 min, au retour.

le gymnase est à 2 km ; Inès y reste 30 min ; elle est à 1 km de chez elle au bout de 5 min et au bout de 55 min

Si deux grandeurs sont proportionnelles, les points qui les représentent sont alignés avec l'origine du repère. Réciproquement, des points alignés avec l'origine représentent une situation de proportionnalité.

Décider sur un graphique

1. Les points sont-ils alignés ? Poser la règle dessus. S'ils ne le sont pas, la situation n'est pas proportionnelle.
2. La droite passe-t-elle par l'origine ? La prolonger jusqu'à l'axe vertical. Si elle le coupe ailleurs qu'en 0, la situation n'est pas proportionnelle ; sinon, elle l'est. Conclure par une phrase.

Les points de la location de vélos, (1 ; 5), (2 ; 7), (3 ; 9), sont alignés. Le prix est-il proportionnel au nombre d'heures ?

1. Prolongée vers la gauche, la droite coupe l'axe vertical à 3 € (l'inscription) : elle ne passe pas par l'origine.
2. Contrôle : si c'était proportionnel, 2 h coûteraient le double du prix d'une heure, soit $2\times 5=10$ €. Or elles coûtent 7 €.

le prix n'est pas proportionnel au nombre d'heures : les points sont alignés, mais pas avec l'origine