Opérations et priorités — Distributivité et divisibilité

Additionner ou soustraire : on aligne les virgules, unités sous unités. Multiplier : on calcule le produit sans les virgules grâce aux tables, puis le résultat reçoit autant de décimales que les deux facteurs en ont en tout. Multiplier par 10, 100 ou 1 000 décale la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite ; diviser la décale vers la gauche. Ainsi $4,75+2,6=7,35$ ; $0,8\times 6=4,8$ ; $30\times 0,05=1,5$ ; $52÷1000=0,052$.

Une classe achète 18 cahiers à 2,35 € l'un. La calculatrice affiche 423. Est-ce vraisemblable ?

1. Plusieurs fois le même prix : c'est une multiplication. Ordre de grandeur, avec 18 arrondi à 20 et 2,35 arrondi à 2 :$20\times 2=40$
2. 423 est environ dix fois trop grand : la virgule de 2,35 a été oubliée à la saisie. Le calcul juste :$18\times 2,35=42,3$

423 n'est pas vraisemblable ; les cahiers coûtent 42,30 €

Diviser par un décimal. Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul. On s'en sert pour rendre le diviseur entier, puis on divise comme en 6^e.

Diviser par un nombre décimal

1. Compter les décimales du diviseur, puis multiplier le dividende et le diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour que le diviseur devienne entier.le dividende peut rester décimal, ce n'est pas gênant.
2. Poser la division par ce diviseur entier, puis contrôler en multipliant le quotient par le diviseur de départ.

Calculer $7,56÷0,36$.

1. Le diviseur a deux décimales : on multiplie les deux nombres par 100, puis on pose la division. Contrôle : $0,36\times 21=7,56$.$7,56÷0,36=756÷36=21$

7,56 ÷ 0,36 = 21

somme, différence, produit, quotient — Une addition donne une somme, une soustraction une différence : leurs nombres sont des termes. Une multiplication donne un produit : ses nombres sont des facteurs. Une division donne un quotient.

Les priorités opératoires. On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures. Ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite. Enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Nommer puis calculer une expression

1. Repérer l'ordre des opérations : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.
2. La nommer d'après la dernière opération effectuée : somme, différence, produit ou quotient.
3. Calculer en recopiant à chaque ligne tout ce qui n'a pas encore été calculé.un morceau oublié en route est l'erreur la plus fréquente.

Calculer $A=20-12÷4\times 2+1$ et $B=5\times (8-2\times 3)+4$.

1. $A$ : ÷ et × d'abord, de gauche à droite, puis − et +, de gauche à droite.$A=20-3\times 2+1=20-6+1=14+1=15$
2. $B$ : la parenthèse d'abord, où le produit passe avant la soustraction ; l'addition en dernier.$B=5\times (8-6)+4=5\times 2+4=10+4=14$

A = 15 et B = 14 ; ce sont deux sommes

D'un programme de calcul à une expression

1. À chaque instruction, recopier toute l'expression déjà écrite et lui ajouter l'opération demandée.
2. Si l'opération est une multiplication ou une division et que l'expression déjà écrite est une somme ou une différence, l'entourer de parenthèses d'abord.sans elles, la priorité ne porterait que sur le dernier nombre. On vérifie en calculant aussi étape par étape.

Léa achète 3 cahiers à 2,40 € et une gomme à 1,80 €. Elle paie avec un billet de 10 €. Écrire en une seule expression le calcul de la monnaie rendue, puis le calculer.

1. La dépense $3\times 2,40+1,80$ est retirée en entier de 10 € : elle va entre parenthèses.$10-(3\times 2,40+1,80)=10-(7,20+1,80)=10-9=1$

on rend 1 € à Léa

Distributivité simple. Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on le multiplie par chaque terme, puis on additionne ou on soustrait les produits. Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ :

Calculer de tête avec la distributivité

1. Dans un sens : écrire un facteur comme une somme ou une différence autour de 10, 100 ou 1 000, par exemple $98=100-2$, puis multiplier chaque terme.
2. Dans l'autre sens : repérer un facteur commun à deux produits et regrouper les autres facteurs entre parenthèses.on choisit le sens qui fait apparaître un nombre rond.

Calculer de tête $25\times 98$, puis $3,7\times 4+6,3\times 4$.

1. On écrit 98 comme $100-2$ et on distribue 25 sur les deux termes.$25\times 98=25\times (100-2)=25\times 100-25\times 2=2500-50=2450$
2. 4 est un facteur commun aux deux produits : on regroupe.$3,7\times 4+6,3\times 4=(3,7+6,3)\times 4=10\times 4=40$

25 × 98 = 2 450 et 3,7 × 4 + 6,3 × 4 = 40

division euclidienne, multiple, diviseur — Effectuer la division euclidienne d'un entier $a$ par un entier $b$ non nul, c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$, deux entiers tels que $a=b\times q+r$ avec $r<b$. Par exemple, $150=12\times 12+6$ : avec 150 œufs, on remplit 12 boîtes de 12, il reste 6 œufs, et il faut une 13^e boîte pour tout ranger. Quand le reste vaut 0, on a $a=b\times q$, et l'on dit au choix : « $a$ est un multiple de $b$ », « $a$ est divisible par $b$ », « $b$ est un diviseur de $a$ ». Ainsi $42=6\times 7$ : 42 est un multiple de 6, et 6 est un diviseur de 42, tout comme 7. Les tables donnent ces décompositions d'un coup d'œil : $56=7\times 8$, $45=5\times 9$.

Critères de divisibilité. Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s'il est 0 ou 5 ; par 10 s'il est 0. Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 9 si elle est divisible par 9.

Le nombre 5 742 est-il divisible par 2, par 3, par 5, par 9 ?

1. Son chiffre des unités est 2 : divisible par 2, pas par 5. La somme de ses chiffres est divisible par 3 et par 9 :$5+7+4+2=18=9\times 2$

5 742 est divisible par 2, 3 et 9 (5 742 = 9 × 638), mais pas par 5

Un algorithme pour trouver tous les diviseurs d'un entier

1. Tester les entiers 1, 2, 3… dans l'ordre, et noter chaque diviseur avec son partenaire : si $36=4\times 9$, alors 4 et 9 sont deux diviseurs.
2. S'arrêter quand les partenaires rejoignent les nombres déjà testés : tous les diviseurs sont trouvés.la même suite d'étapes marche pour tout entier ; un tableur ou Scratch peut l'exécuter.