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Carrés et cubes — Puissances d'un nombre

Q: Carrés et cubes — Puissances d'un nombre : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 5ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Q: Où télécharger la fiche PDF de Carrés et cubes — Puissances d'un nombre ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 10 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Q: Le corrigé de Carrés et cubes — Puissances d'un nombre est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Q: Comment réviser Carrés et cubes — Puissances d'un nombre efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Q: Faut-il un compte pour s'entraîner sur Carrés et cubes — Puissances d'un nombre ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Programme en vigueur — arrêté du 18 février 2026, applicable en 5ème depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Programme 2026, 5e, Puissances : notion de puissance et notation dans le cas du carré et du cube. Carrés des entiers de 0 à 12, cube de 10. Écrire un nombre sous la forme d'une puissance 2 ou 3. Calculer des expressions contenant des puissances simples, des additions, soustractions et produits, et une expression littérale contenant une puissance simple.

La règle d'or

L'exposant compte les facteurs : a² = a × a et a³ = a × a × a, on ne multiplie jamais par l'exposant.

L'erreur que tout le monde fait

Écrire 5² = 10 ou 2³ = 6.

L'exposant n'est pas un facteur : 5² signifie 5 × 5, et non 5 × 2.

Écrire le produit en entier avant de calculer : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

Télécharger la fiche A4 — Carrés et cubes — Puissances d'un nombre Version à trous, pour se testerSans compte, sans adresse e-mail · exercices et corrigé plus bas.

Notions à maîtriser

carré
cube
puissance
exposant
carrés parfaits
10³
priorités

Réviser

Un carré de 5 cm de côté a pour aire $5 \times 5 = 25$ cm² ; un cube de 5 cm d'arête a pour volume $5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³. Ces produits d'un nombre par lui-même reviennent si souvent qu'on leur donne une écriture courte, $5^{2}$ et $5^{3}$ . Le petit nombre écrit en haut compte les facteurs : $a^{2} = a \times a$ et $a^{3} = a \times a \times a$ — on ne multiplie jamais par l'exposant.

1Carré et cube d'un nombre, aire et volume

Définition

carré et cube d'un nombre — Le carré d'un nombre $a$ est le produit de deux facteurs égaux à $a$ ; on le note $a^{2}$ et on lit « $a$ au carré ». Le cube de $a$ est le produit de trois facteurs égaux à $a$ ; on le note $a^{3}$ et on lit « $a$ au cube ». Le petit nombre 2 ou 3 est l'exposant : $a^{2}$ et $a^{3}$ sont des puissances de $a$ .

a^{2} = a \times a a^{3} = a \times a \times a

Le carré de 4 compte des carreaux sur une surface ; le cube de 3 compte des petits cubes dans un volume.

Calculer un carré ou un cube

Écrire le produit en entier : $a^{2}$ devient $a \times a$ , et $a^{3}$ devient $a \times a \times a$ .c'est cette ligne qui empêche de multiplier par l'exposant.
Multiplier de proche en proche. Pour un cube, on calcule d'abord $a \times a$ , puis on multiplie ce résultat par $a$ .
Contrôler l'ordre de grandeur : le carré d'un nombre plus grand que 1 est plus grand que lui ; le carré d'un nombre compris entre 0 et 1 est plus petit que lui.

Exemple

Calculer $7^{2}$ , $4^{3}$ et $1, 5^{2}$ .

Le carré de 7 : deux facteurs égaux à 7. $7^{2} = 7 \times 7 = 49$
Le cube de 4 : d'abord $4 \times 4$ , puis le résultat multiplié par 4. $4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$
Un décimal se traite de même : $15 \times 15 = 225$ , et le produit a deux chiffres après la virgule, un par facteur. $1, 5^{2} = 1, 5 \times 1, 5 = 2, 25$

$7^{2} = 49$ , $4^{3} = 64$ et $1, 5^{2} = 2, 25$

Piège

Écrire $5^{2} = 10$ ou $2^{3} = 6$ .

Pourquoi — on a multiplié par l'exposant au lieu de répéter le facteur. Avec $2^{2}$ , l'erreur passe inaperçue, car $2 \times 2$ vaut 4 dans les deux lectures ; elle éclate dès que la base change : $5^{2} = 5 \times 5 = 25$ .

Ce que ça coûte — Le résultat, et tout ce qui en dépend : une aire de 10 cm² au lieu de 25 cm².

Le réflexe — écrire le produit en entier avant de calculer : $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .

Piège

Écrire $0, 3^{2} = 0, 9$ .

Pourquoi — le produit $0, 3 \times 0, 3$ a deux chiffres après la virgule, un par facteur : $0, 3^{2} = 0, 09$ .

Ce que ça coûte — Le résultat, faux d'un facteur 10.

Le réflexe — contrôler l'ordre de grandeur : le carré de 0,3 doit être plus petit que 0,3, et 0,9 ne l'est pas.

Règle

Un carré de côté $c$ a pour aire $c^{2}$ , un cube d'arête $c$ a pour volume $c^{3}$ . D'où les unités : 1 cm² est l'aire d'un carré de 1 cm de côté, 1 cm³ le volume d'un cube de 1 cm d'arête. Comme 1 dm = 10 cm :

1 dm^{2} = 1 0^{2} cm^{2} = 100 cm^{2} 1 dm^{3} = 1 0^{3} cm^{3} = 1000 cm^{3} = 1 L

Le carré de 1 dm de côté contient $10^{2}$ carrés de 1 cm² ; le cube de 1 dm d'arête contient $10^{3}$ cubes de 1 cm³.

Exemple

Une boîte a la forme d'un cube de 2 dm d'arête. Quel est son volume en dm³, en litres, puis en cm³ ?

Le volume d'un cube d'arête $c$ est $c^{3}$ , avec ici $c = 2$ . $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 8 dm³, soit 8 L puisque 1 dm³ = 1 L
Comme 1 dm³ = 1 000 cm³ : $8 \times 1000 = 8000$ contrôle : 2 dm = 20 cm, et 20 × 20 × 20 = 8 000

la boîte a un volume de 8 dm³, soit 8 L ou 8 000 cm³

Piège

Écrire 1 dm² = 10 cm² ou 1 dm³ = 100 cm³.

Pourquoi — on a converti la longueur (1 dm = 10 cm) en oubliant qu'une aire a deux dimensions et un volume trois : le carré de 1 dm contient 10 rangées de 10 carreaux, le cube 10 couches de 100 petits cubes.

Ce que ça coûte — La conversion, et le résultat du problème, faux d'un facteur 10.

Le réflexe — lire l'exposant de l'unité : entre dm² et cm², le facteur est $1 0^{2}$ ; entre dm³ et cm³, il est $1 0^{3}$ .

2Carrés à connaître, cube de 10, écrire un nombre en puissance

Règle

À connaître par cœur : les carrés des entiers de 0 à 12, de $0^{2} = 0$ à $1 2^{2} = 144$ , et le cube de 10. On les retrouve sur la diagonale de la table de multiplication, là où un nombre est multiplié par lui-même. Un entier qui est le carré d'un entier s'appelle un carré parfait.

1 0^{2} = 10 \times 10 = 1001 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000

Les treize carrés à savoir. Un carré oublié se retrouve depuis son voisin : l'écart est la somme des deux nombres, donc $8^{2} = 49 + 7 + 8 = 64$.

Reconnaître un carré ou un cube

Pour un carré, chercher le nombre dans la liste des carrés de 0 à 12 : $81 = 9^{2}$ , car $9 \times 9 = 81$ .
Pour un cube, calculer les cubes de 1, 2, 3… jusqu'à atteindre ou dépasser le nombre : $1^{3} = 1$ , $2^{3} = 8$ , $3^{3} = 27$ , $4^{3} = 64$ , $5^{3} = 125$ .
Vérifier en recalculant le produit : c'est la seule preuve que l'écriture est juste.un nombre peut être un carré, un cube, les deux à la fois, ou ni l'un ni l'autre.

Exemple

Écrire, quand c'est possible, chaque nombre comme le carré ou le cube d'un nombre : 125 ; 0,49 ; 50.

125 n'est pas dans la liste des carrés. On essaie les cubes : $4^{3} = 64$ est trop petit, on passe à 5. $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$
Pour 0,49, on reconnaît $49 = 7^{2}$ ; le nombre a deux chiffres après la virgule, on essaie donc 0,7. $0, 7^{2} = 0, 7 \times 0, 7 = 0, 49$
50 est coincé entre deux carrés voisins, et aussi entre deux cubes voisins, $3^{3} = 27$ et $4^{3} = 64$ . $7^{2} = 49 < 50 < 64 = 8^{2}$

$125 = 5^{3}$ et $0, 49 = 0, 7^{2}$ ; 50 n'est ni le carré ni le cube d'un entier

Piège

Écrire $36 = 1 8^{2}$ ou $27 = 9^{3}$ .

Pourquoi — on a divisé par l'exposant : c'est la confusion $6^{2} = 12$ , prise à l'envers.

Ce que ça coûte — La question entière : une écriture fausse ne rapporte rien, même avec la bonne idée.

Le réflexe — recalculer le produit. $18 \times 18 = 324$ , pas 36 : la bonne écriture est $36 = 6^{2}$ , et de même $27 = 3^{3}$ .

3Calculer une expression avec des puissances

Règle

Priorités : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les produits, et enfin les sommes et les différences, de gauche à droite. Un exposant ne porte que sur le nombre, ou la parenthèse, écrit juste avant lui.

2 \times 4^{2} = 2 \times 16 = 32

Mêmes nombres, mêmes opérations : la parenthèse change ce que le carré élève, donc le résultat.

Calculer une expression avec des puissances

Calculer les parenthèses en premier.
Calculer chaque puissance, sur le seul nombre qui la porte, en recopiant le reste sans y toucher.
Effectuer les produits, puis les sommes et les différences de gauche à droite — une ligne par étape.

Exemple

Calculer $A = 5 + 3 \times 2^{3} - 4^{2}$ .

Pas de parenthèses : on calcule d'abord les deux puissances, $2^{3} = 8$ et $4^{2} = 16$ . $A = 5 + 3 \times 2^{3} - 4^{2} = 5 + 3 \times 8 - 16$
Puis le produit. $A = 5 + 3 \times 8 - 16 = 5 + 24 - 16$
Enfin la somme et la différence, de gauche à droite. $A = 5 + 24 - 16 = 29 - 16 = 13$

$A = 13$

Piège

Calculer $2 \times 4^{2}$ comme $8^{2} = 64$ .

Pourquoi — on a effectué le produit avant la puissance. Le carré ne porte que sur le 4 : $2 \times 4^{2} = 2 \times 16 = 32$ .

Ce que ça coûte — Le résultat, et chaque ligne qui suit : 64 au lieu de 32.

Le réflexe — souligner chaque puissance avec le seul nombre qu'elle élève, et la calculer avant tout produit.

Piège

Écrire $(3 + 4)^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ .

Pourquoi — le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés : $(3 + 4)^{2} = 7^{2} = 49$ , alors que $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .

Ce que ça coûte — Le calcul entier, et l'aire fausse si l'expression en mesure une.

Le réflexe — calculer d'abord la parenthèse, puis élever le résultat au carré.

4Une expression littérale avec une puissance

Règle

Dans une expression littérale, $x^{2}$ signifie $x \times x$ et $x^{3}$ signifie $x \times x \times x$ . Le signe × sous-entendu ne change pas les priorités : dans $3 x^{2}$ , le carré porte sur $x$ seul ; dans $(3 x)^{2}$ , il porte sur toute la parenthèse. De même, dans l'aire du disque $π \times r^{2}$ , le carré porte sur le rayon seul.

3 x^{2} = 3 \times x \times x (3 x)^{2} = 3 x \times 3 x

$3x^{2}$ : trois carrés de côté $x$. $(3x)^{2}$ : un seul carré de côté $3x$, qui en contient neuf.

Calculer une expression littérale pour une valeur donnée

Rétablir les signes × sous-entendus : $3 x^{2}$ s'écrit $3 \times x^{2}$ .
Remplacer la lettre par sa valeur, partout où elle apparaît.
Appliquer les priorités : parenthèses, puissance, produit, puis somme ou différence.

Exemple

Calculer $E = 2 x^{2} + 5$ pour $x = 3$ , puis pour $x = 1, 5$ .

On rétablit le signe ×, puis on remplace $x$ par 3. $E = 2 \times 3^{2} + 5 = 2 \times 9 + 5 = 23$
Pour $x = 1, 5$ , le même calcul, avec $1, 5^{2} = 2, 25$ . $E = 2 \times 1, 5^{2} + 5 = 2 \times 2, 25 + 5 = 9, 5$

pour $x = 3$ , $E = 23$ ; pour $x = 1, 5$ , $E = 9, 5$

Tester une égalité pour une valeur de $x$ , c'est calculer chaque membre séparément, puis comparer. Pour $x = 2$ , $x^{2} + 6$ et $5 x$ valent tous deux 10 : l'égalité $x^{2} + 6 = 5 x$ est vraie. Pour $x = 4$ , on trouve 22 et 20 : elle est fausse.

Piège

Pour $x = 4$ , calculer $3 x^{2}$ comme $(3 \times 4)^{2} = 144$ .

Pourquoi — le carré ne porte que sur $x$ : $3 x^{2} = 3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = 48$ . Le nombre 144 est la valeur de $(3 x)^{2}$ .

Ce que ça coûte — La valeur de l'expression, et la suite de l'exercice si elle s'en sert.

Le réflexe — rétablir le signe × avant de remplacer : $3 \times x^{2}$ montre tout de suite ce que le carré élève.

▢Ai-je écrit le produit en entier avant de calculer un carré ou un cube ?
▢Ai-je calculé les parenthèses, puis les puissances, avant les produits ?
▢Ai-je rétabli le signe × sous-entendu avant de remplacer la lettre ?
▢Ai-je vérifié une écriture comme $81 = 9^{2}$ en recalculant le produit ?
▢Mon aire est-elle en cm², mon volume en cm³ ?

L'essentiel en 6 points

· $a^{2} = a \times a$ et $a^{3} = a \times a \times a$ : l'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas.
·L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^{2}$ , le volume d'un cube d'arête $c$ vaut $c^{3}$ : d'où les cm² et les cm³.
·Par cœur : les carrés de 0 à 12, de $0^{2} = 0$ à $1 2^{2} = 144$ , et $1 0^{3} = 1000$ .
·1 dm² = 10² cm² = 100 cm² ; 1 dm³ = 10³ cm³ = 1 000 cm³ = 1 L.
·Priorités : parenthèses, puissances, produits, puis sommes et différences.
· $3 x^{2} = 3 \times x^{2}$ : le carré porte sur $x$ seul ; $(3 x)^{2}$ élève toute la parenthèse.

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Fiche PDF — Carrés et cubes — Puissances d'un nombre

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Trois documents à imprimer, 10 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.

Au sommaire du cours

1. Carré et cube d'un nombre, aire et volume
2. Carrés à connaître, cube de 10, écrire un nombre en puissance
3. Calculer une expression avec des puissances
4. Une expression littérale avec une puissance

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Carrés et cubes de tête

Calculer

a. $8^{2}$
b. $1 1^{2}$
c. $1 2^{2}$
d. $3^{3}$
e. $1 0^{3}$
f. $0, 3^{2}$

›Voir le corrigé

a., b. et c. sont des carrés à connaître par cœur : $8^{2} = 64$ ; $1 1^{2} = 121$ ; $1 2^{2} = 144$ .
d. Trois facteurs égaux à 3 : $3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$
e. Le cube de 10, à connaître : $1 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000$
f. Deux chiffres après la virgule, un par facteur : $0, 3^{2} = 0, 3 \times 0, 3 = 0, 09$
Au f., 0,09 est plus petit que 0,3 : c'est attendu pour le carré d'un nombre compris entre 0 et 1.

D'une écriture à l'autre

Représenter

a.Écris $6 \times 6$ et $9 \times 9 \times 9$ sous la forme d'une puissance.
b.Écris $7^{3}$ sous la forme d'un produit, et dis comment il se lit.
c.Écris avec une puissance : « le carré de 2,5 » ; « le cube de 10 ».
d.Écris l'aire d'un carré de 12 cm de côté et le volume d'un cube de 4 cm d'arête à l'aide d'une puissance, puis calcule-les.

›Voir le corrigé

a. Deux facteurs égaux à 6, puis trois égaux à 9 : $6 \times 6 = 6^{2}$ et $9 \times 9 \times 9 = 9^{3}$ . b. $7^{3} = 7 \times 7 \times 7$ , qui se lit « 7 au cube » ou « 7 puissance 3 ».
c. « Le carré de 2,5 » s'écrit $2, 5^{2}$ ; « le cube de 10 » s'écrit $1 0^{3}$ .
d. L'aire du carré : $1 2^{2} = 12 \times 12 = 144$ l'aire vaut 144 cm²
Le volume du cube : $4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$ le volume vaut 64 cm³
L'unité suit l'exposant : une aire s'exprime en cm², un volume en cm³.

Écrire sous la forme $a^{2}$ ou $a^{3}$, quand c'est possible

Calculer

a.81
b.100
c.8
d.125
e.1,44
f.40

›Voir le corrigé

a. et b. sont dans la liste des carrés ; on vérifie en recalculant le produit. $9^{2} = 9 \times 9 = 81$ et 10² = 10 × 10 = 100
c. 8 n'est pas un carré parfait ; on essaie les cubes : $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
d. $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$
e. On reconnaît $144 = 1 2^{2}$ , avec deux chiffres après la virgule : on essaie 1,2. $1, 2^{2} = 1, 2 \times 1, 2 = 1, 44$
f. 40 est entre deux carrés voisins : $6^{2} = 36 < 40 < 49 = 7^{2}$ et entre deux cubes voisins, 3³ = 27 et 4³ = 64
Réponse : $81 = 9^{2}$ ; $100 = 1 0^{2}$ ; $8 = 2^{3}$ ; $125 = 5^{3}$ ; $1, 44 = 1, 2^{2}$ ; 40 n'est ni le carré ni le cube d'un entier.

Les priorités

Calculer

a. $3 + 4^{2}$
b. $2 \times 5^{2}$
c. $(2 \times 5)^{2}$
d. $1 0^{3} - 3 \times 7^{2}$
e. $(9 - 6)^{3} + 2 \times 3^{2}$

›Voir le corrigé

a. La puissance avant la somme : $3 + 4^{2} = 3 + 16 = 19$
b. La puissance avant le produit : $2 \times 5^{2} = 2 \times 25 = 50$
c. La parenthèse d'abord : $(2 \times 5)^{2} = 1 0^{2} = 100$
d. Les deux puissances, puis le produit, puis la différence : $1 0^{3} - 3 \times 7^{2} = 1000 - 3 \times 49 = 1000 - 147 = 853$
e. La parenthèse, les puissances, le produit, puis la somme : $(9 - 6)^{3} + 2 \times 3^{2} = 3^{3} + 2 \times 9 = 27 + 18 = 45$
b. et c. emploient les mêmes nombres et donnent 50 et 100 : seule la parenthèse a changé.

Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul.

Raisonner

a.« $4^{2} = 8$ »
b.« $2 \times 3^{2} = 36$ »
c.« $(1 + 2)^{2} = 1^{2} + 2^{2}$ »
d.« 1 dm³ = 1 000 cm³ »
e.« $0, 2^{2} = 0, 4$ »

›Voir le corrigé

a. Faux. On a multiplié par l'exposant : $4^{2} = 4 \times 4 = 16$
b. Faux. La puissance passe avant le produit ; 36 est la valeur de $(2 \times 3)^{2}$ . $2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18$
c. Faux. On calcule chaque membre séparément : $(1 + 2)^{2} = 9 \neq = 5 = 1^{2} + 2^{2}$
d. Vrai. 1 dm = 10 cm, donc un cube de 1 dm d'arête contient $10 \times 10 \times 10$ cubes de 1 cm³ : $1 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000$
e. Faux. Un chiffre après la virgule par facteur, donc deux en tout : $0, 2^{2} = 0, 2 \times 0, 2 = 0, 04$
Seule l'affirmation d. est vraie. Les autres reprennent les erreurs de la fiche : multiplier par l'exposant, faire le produit avant la puissance, élever une somme au carré terme à terme, mal placer la virgule.

L'aquarium cubique

Modéliser

a.Un aquarium a la forme d'un cube de 30 cm d'arête. Calcule l'aire de son fond, en cm².
b.Calcule son volume, en cm³.
c.Combien de litres d'eau faut-il pour le remplir entièrement ? On rappelle que 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.

L'aquarium, vu en perspective cavalière.

›Voir le corrigé

a. Le fond est un carré de 30 cm de côté : $3 0^{2} = 30 \times 30 = 900$ l'aire du fond vaut 900 cm²
b. Le volume d'un cube d'arête $c$ est $c^{3}$ : $3 0^{3} = 30 \times 30 \times 30 = 900 \times 30 = 27000$ le volume vaut 27 000 cm³
c. 1 L = 1 000 cm³ : on cherche combien de fois 1 000 cm³ il y a dans 27 000 cm³. $27000 \div 1000 = 27$
Contrôle par une autre voie : 30 cm = 3 dm, et un cube de 3 dm d'arête a pour volume $3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$ 27 dm³, soit 27 L : les deux calculs concordent
Réponse rédigée : il faut 27 L d'eau pour remplir entièrement l'aquarium.

Une expression, deux lectures

Calculer

a.On pose $A = 4 x^{2} + 1$ et $B = (4 x)^{2} + 1$ . Calcule $A$ et $B$ pour $x = 2$ .
b.Calcule $A$ et $B$ pour $x = 0, 5$ .
c.L'égalité $x^{3} = 4 x$ est-elle vraie pour $x = 2$ ? pour $x = 3$ ?

›Voir le corrigé

a. Pour $x = 2$ , on rétablit le signe × : $A = 4 \times x^{2} + 1$ . $A = 4 \times 2^{2} + 1 = 4 \times 4 + 1 = 17$
Dans $B$ , la parenthèse d'abord : $B = (4 \times 2)^{2} + 1 = 8^{2} + 1 = 65$
b. Pour $x = 0, 5$ : $A = 4 \times 0, 5^{2} + 1 = 4 \times 0, 25 + 1 = 2$
et $B = (4 \times 0, 5)^{2} + 1 = 2^{2} + 1 = 5$
c. On calcule les deux membres séparément. Pour $x = 2$ : $2^{3} = 8 = 4 \times 2$ les deux membres valent 8 : l'égalité est vraie pour x = 2
Pour $x = 3$ : $3^{3} = 27 \neq = 12 = 4 \times 3$ l'égalité est fausse pour x = 3
$A$ et $B$ ne diffèrent que par une parenthèse, et pourtant $B$ vaut nettement plus que $A$ : dans $B$ , le 4 est lui aussi élevé au carré.

Carré et cube à la fois

Chercher

a.Calcule les cubes des entiers de 1 à 5.
b.Trouve le seul nombre entier compris entre 2 et 100 qui est à la fois le carré d'un entier et le cube d'un entier. Justifie qu'il n'y en a pas d'autre.
c.Vérifie que 729 est à la fois le carré de 27 et le cube de 9.

›Voir le corrigé

a. De proche en proche : $1^{3} = 1$ ; $2^{3} = 8$ ; $3^{3} = 27$ ; $4^{3} = 64$ ; et pour finir $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$
b. Entre 2 et 100, les seuls cubes d'entiers sont 8, 27 et 64 : $1^{3} = 1$ est trop petit, et $5^{3} = 125$ dépasse déjà 100.
8 et 27 ne sont pas des carrés parfaits : chacun tombe entre deux carrés voisins. $2^{2} = 4 < 8 < 9 = 3^{2}$ et 5² = 25 < 27 < 36 = 6²
64, lui, est à la fois un carré et un cube : $8^{2} = 8 \times 8 = 64 = 4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$
Réponse : le seul nombre cherché est 64, qui s'écrit $8^{2}$ et aussi $4^{3}$ .
c. Le carré de 27 : $2 7^{2} = 27 \times 27 = 729$
Le cube de 9 : on calcule d'abord $9 \times 9 = 81$ . $9^{3} = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$ 729 s'écrit donc 27² et aussi 9³

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Calculer un carré ou un cube en écrivant le produit1 ptPerdu si : Multiplier par l'exposant : $5^{2} = 10$, $2^{3} = 6$
Écrire un nombre comme un carré ou un cube, et le vérifier1 ptPerdu si : Diviser par l'exposant ($36 = 18^{2}$), ou ne pas recalculer le produit
Calculer la puissance avant le produit, la parenthèse avant la puissance2 ptsPerdu si : Calculer $2 \times 4^{2}$ comme $8^{2}$, ou $(3 + 4)^{2}$ comme $3^{2} + 4^{2}$
Remplacer la lettre après avoir rétabli le signe ×2 ptsPerdu si : Élever $3x$ au carré au lieu de $x$ seul
Donner une aire en cm², un volume en cm³, et conclure par une phrase1 ptPerdu si : Une unité de longueur pour une aire, ou un nombre sans phrase

La méthode

Calculer un carré ou un cube

1
Écrire le produit en entier.
2
Multiplier de proche en proche : pour un cube, a × a puis le résultat par a.
3
Contrôler l'ordre de grandeur du résultat.

Se tester

Touches 1 à 4

Les questions spécifiques à ce chapitre arrivent. En attendant, voici des questions de Mathématiques 5ème.

Mathématiques5ème

Question 1

Un triangle

GHI

est équilatéral. Quelle est la mesure de chacun de ses angles ?

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Questions fréquentes

Carrés et cubes — Puissances d'un nombre : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 5ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Carrés et cubes — Puissances d'un nombre ?

Où télécharger la fiche PDF de Carrés et cubes — Puissances d'un nombre ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 10 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Carrés et cubes — Puissances d'un nombre est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Carrés et cubes — Puissances d'un nombre efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Carrés et cubes — Puissances d'un nombre ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.