Repérage dans le plan — Droite graduée et coordonnées

droite graduée et abscisse — Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi un point origine $O$, un sens (indiqué par la flèche) et une unité de longueur, reportée régulièrement à partir de $O$. Chaque point de la droite est repéré par un nombre, son abscisse : positive à droite de l'origine, négative à gauche, égale à 0 pour l'origine elle-même. On écrit $A(-3)$ pour « le point $A$ d'abscisse $-3$ ».

pas d'une graduation — C'est l'écart entre deux graduations voisines. Quand l'unité est partagée en $n$ intervalles égaux, chaque intervalle vaut $1÷n$ : une droite graduée en demis a un pas de 0,5, en quarts de 0,25, en dixièmes de 0,1. Le pas se calcule à partir de deux nombres écrits ; il ne se devine pas.

Lire l'abscisse d'un point

1. Calculer le pas : choisir deux graduations où un nombre est écrit, compter les intervalles (pas les traits) qui les séparent, et diviser leur écart par ce nombre.
2. Partir de la graduation écrite la plus proche du point, et compter les intervalles qui l'en séparent.
3. Ajouter autant de pas si l'on va vers la droite, retirer autant de pas si l'on va vers la gauche.c'est vrai des deux côtés de l'origine : aller vers la droite fait toujours augmenter le nombre, même parmi les négatifs.
4. Contrôler : l'abscisse trouvée doit être comprise entre les deux nombres écrits qui encadrent le point.

Sur la droite graduée ci-dessous, lire les abscisses des points $P$ et $Q$.

1. Entre $0$ et $1$, on compte 4 intervalles : le pas vaut$1÷4=0,25$
2. $P$ est 1 pas à gauche de $-1$ : on retire un pas.$-1-0,25=-1,25$
3. $Q$ est 2 pas à droite de $0$ : on ajoute deux pas.$0+2\times 0,25=0,5$
4. Contrôle : $-1,25$ est bien entre $-2$ et $-1$, et $0,5$ entre $0$ et $1$.

$P(-1,25)$ et $Q(0,5)$

Placer un point d'abscisse donnée

1. Calculer le pas de la droite.
2. Encadrer l'abscisse entre deux nombres écrits, et partir du plus proche : $-1,4$ est entre $-2$ et $-1$, on part de $-1$.
3. Compter les pas, dans le bon sens, puis marquer le point et le nommer : de $-1$ à $-1,4$, l'écart est $0,4$, soit 4 pas de $0,1$ vers la gauche.$0,4÷0,1=4$

Sur une droite graduée en dixièmes, placer les points $C(-1,4)$ et $D(0,7)$.

1. L'unité est partagée en 10 : le pas vaut$1÷10=0,1$
2. $-1,4$ est entre $-2$ et $-1$, plus près de $-1$. On part de $-1$ et on va vers la gauche, puisque le nombre diminue : 4 pas.$-1-4\times 0,1=-1,4$
3. $0,7$ est entre $0$ et $1$ : on part de $0$ et on avance de 7 pas vers la droite.$0+7\times 0,1=0,7$

$C$ est 4 graduations à gauche de $-1$, $D$ est 7 graduations à droite de $0$

repère orthogonal — Deux droites graduées perpendiculaires, qui se coupent en leur origine commune $O$, forment un repère orthogonal du plan. La droite horizontale est l'axe des abscisses, la droite verticale l'axe des ordonnées. Chaque axe a son unité : elles sont souvent égales, mais ce n'est pas obligatoire.

coordonnées d'un point — Un point $M$ du plan est repéré par deux nombres, ses coordonnées : son abscisse $x$, lue sur l'axe horizontal, puis son ordonnée $y$, lue sur l'axe vertical. On écrit $M(x;y)$, dans cet ordre, avec un point-virgule entre les deux. L'origine a pour coordonnées $O(0;0)$.

Lire les coordonnées d'un point

1. Vérifier le pas de chaque axe : les deux axes peuvent être gradués différemment.
2. L'abscisse : depuis le point, descendre ou monter verticalement jusqu'à l'axe des abscisses, et lire le nombre atteint.
3. L'ordonnée : depuis le point, aller horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées, et lire le nombre atteint.
4. Écrire $M(x;y)$, l'abscisse en premier.

Placer un point de coordonnées données

1. Sur l'axe des abscisses, repérer l'abscisse : pour $N(-2;3)$, c'est $-2$, deux unités à gauche de $O$.
2. De là, monter parallèlement à l'axe des ordonnées jusqu'à la hauteur $3$ — ou descendre si l'ordonnée est négative.
3. Marquer le point d'une croix et écrire son nom à côté.on peut aussi monter d'abord puis aller à gauche : on arrive au même point. Ce qui ne s'échange jamais, c'est le rôle des deux nombres.

Un point est à droite de l'axe des ordonnées si son abscisse est positive, à gauche si elle est négative. Il est au-dessus de l'axe des abscisses si son ordonnée est positive, au-dessous si elle est négative. Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée égale à 0 ; un point de l'axe des ordonnées a une abscisse égale à 0.

Dans le repère ci-contre, l'axe des ordonnées est gradué de 2 en 2. Lire les coordonnées de $R$ et de $S$.

1. Les pas : 1 sur l'axe des abscisses, mais 2 sur l'axe des ordonnées, où les nombres écrits sont 2, 4, 6.
2. $R$ : à la verticale, on tombe sur $3$. À l'horizontale, on est 2 carreaux au-dessus de l'axe, et un carreau vaut 2 :$2\times 2=4$
3. $S$ : à la verticale, on tombe sur $-2$. À l'horizontale, on est 1 carreau au-dessous de l'axe, donc l'ordonnée vaut $-2$.

$R(3;4)$ et $S(-2;-2)$

Dans un repère orthogonal de même unité sur les deux axes, on donne $A(-3;-2)$, $B(2;-2)$ et $C(2;3)$. Trouver le point $D$ tel que $ABCD$ soit un rectangle, et la longueur $AB$.

1. Deux points de même ordonnée sont sur une parallèle à l'axe des abscisses ; deux points de même abscisse, sur une parallèle à l'axe des ordonnées. Ici, $A$ et $B$ ont la même ordonnée $-2$ : $[AB]$ est horizontal. $B$ et $C$ ont la même abscisse $2$ : $[BC]$ est vertical. L'angle en $B$ est droit.
2. $D$ doit être à la verticale de $A$, donc avoir son abscisse $-3$, et à l'horizontale de $C$, donc avoir son ordonnée $3$.
3. La longueur $AB$ se lit sur l'axe des abscisses, de $-3$ à $2$ :$2-(-3)=5$

$D(-3;3)$, et $AB=5$ unités