Perspective et patrons — Solides et aire du disque

face, arête, sommet — Les faces d'un solide le limitent ; deux faces se rencontrent le long d'une arête, les arêtes en des sommets. Un pavé droit a 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets ; le cube est un pavé à 6 faces carrées.

prisme droit — Un prisme droit a deux bases : deux polygones superposables, situés dans des plans parallèles. Ses faces latérales sont des rectangles, perpendiculaires aux bases. La longueur d'une arête latérale est la hauteur du prisme. Un pavé droit est un prisme droit particulier, à bases rectangulaires.

cylindre de révolution — Un cylindre de révolution a pour bases deux disques de même rayon $r$, dans des plans parallèles, l'un en face de l'autre, reliés par la surface latérale, courbe. Les segments qui joignent deux points correspondants des deux cercles sont les génératrices : elles sont perpendiculaires aux bases et ont pour longueur la hauteur $h$ du cylindre.

En perspective cavalière : 1. les faces placées de face, parallèles à la feuille, sont dessinées en vraie grandeur ; 2. les arêtes fuyantes, perpendiculaires à la feuille, sont dessinées parallèles entre elles, inclinées d'un même angle (souvent 45° ou 30°) et réduites d'un même coefficient (souvent 0,5) ; 3. les arêtes cachées sont en pointillés. Le parallélisme est conservé, mais seuls les angles droits de la face avant restent droits sur le dessin.

Dessiner un pavé de 4 cm × 3 cm × 2 cm (45°, coefficient 0,5)

1. Je dessine la face avant en vraie grandeur : un rectangle de 4 cm sur 3 cm.
2. Je calcule la longueur dessinée des fuyantes : la profondeur multipliée par le coefficient.$2\times 0,5=1$les fuyantes mesurent 1 cm sur le dessin
3. Depuis chaque sommet de la face avant, je trace une fuyante de 1 cm, toutes parallèles, à 45° vers le haut à droite.
4. Je relie leurs extrémités : la face arrière est un rectangle identique à la face avant.
5. Je repasse en pointillés les trois arêtes qui partent du sommet arrière, en bas à gauche : on ne les voit pas.

Sur le dessin d'un pavé (45°, coefficient 0,5), la face avant mesure 5 cm sur 2 cm et les fuyantes 1,5 cm. Quelles sont les dimensions réelles du pavé ?

1. La face avant est en vraie grandeur ; les fuyantes ont été multipliées par 0,5, donc je divise par 0,5 :$1,5÷0,5=3$

le pavé mesure 5 cm × 2 cm × 3 cm

Dessiner un cylindre couché, bases de face

1. Je trace la base avant, de face donc en vraie grandeur : un cercle de centre $O$, de rayon $r$.
2. Je trace la fuyante $[O{O}^{\prime }]$, à 45°, de longueur $h\times 0,5$, puis un second cercle de même rayon et de centre $O^{\prime }$.
3. Je trace les deux génératrices du contour, parallèles à $[O{O}^{\prime }]$ et tangentes aux deux cercles.
4. Je repasse en pointillés le demi-cercle arrière qui est derrière le cylindre.

patron — Un patron d'un solide est une figure plane, d'un seul morceau, qui, une fois découpée et pliée, recouvre exactement toutes les faces du solide, sans trou ni chevauchement. Toutes les longueurs y sont en vraie grandeur.

Reconnaître un patron de cube

1. Il faut exactement 6 carrés, sans bloc de 2 sur 2 (4 faces autour d'un sommet : un cube n'en a que 3) ni 5 carrés alignés.
2. Je choisis un carré comme fond et je plie les autres en pensée, un par un. Deux carrés alignés et séparés par un seul carré deviennent des faces opposées.
3. Si deux carrés viennent se poser au même endroit, ce n'est pas un patron ; si chaque face a exactement une face opposée, c'en est un.

Patron d'un pavé : 6 rectangles identiques deux à deux. Patron d'un prisme droit : ses deux bases et un rectangle par côté de la base, de largeur la hauteur du prisme ; leur bande mesure le périmètre de la base. Deux bords qui se rejoignent au pliage ont la même longueur.

Le patron d'un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ est formé de deux disques de rayon $r$ et d'un rectangle de largeur $h$. Sa longueur est le périmètre du cercle de base, vu en 6^e : $L=2\times \pi \times r$.

Quelles sont les dimensions du rectangle du patron d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm ?

1. Sa largeur est la hauteur du cylindre, 5 cm ; sa longueur est le périmètre du cercle de base :$2\times \pi \times 2=4\pi \approx 12,6$

5 cm sur 4π cm, environ 12,6 cm — et non 4 cm, le diamètre : le rectangle fait le tour du disque

L'aire d'un disque de rayon $r$ est égale à $\pi$ multiplié par le carré du rayon. Elle s'exprime en unités d'aire : cm², m²…

Calculer l'aire d'un disque

1. Je cherche le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, je le divise par 2 — sinon, l'aire est quatre fois trop grande.
2. J'élève le rayon au carré : $r^2=r\times r$, et non $r\times 2$.
3. Je multiplie par $\pi$ : valeur exacte ($25\pi$), puis valeur approchée avec la touche π, en unité d'aire.

Une pizza de 30 cm de diamètre, ou deux pizzas de 20 cm de diamètre : laquelle des deux offres donne le plus de pizza ?

1. Grande pizza, rayon 15 cm :$\pi \times 15^2=225\pi \approx 706,9$
2. Deux pizzas de rayon 10 cm :$2\times \pi \times 10^2=200\pi \approx 628,3$

la grande pizza : environ 706,9 cm² contre 628,3 cm²

Compter les cubes d'un empilement

1. Je dessine la vue de dessus : une case par colonne de cubes, le devant en bas.
2. J'écris dans chaque case la hauteur de la colonne. Aucun cube ne flotte : les cubes cachés, qui portent ceux qu'on voit, comptent — les oublier est l'erreur classique.
3. J'additionne les nombres de toutes les cases.