Hauteurs et médianes — Triangles, constructions et aire

Inégalité triangulaire. Trois longueurs forment un triangle seulement si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres. Avec 4 cm, 6 cm et 9 cm : $4+6=10$ et $10>9$, le triangle existe. Avec 3 cm, 5 cm et 8 cm : $3+5=8$, la somme est égale au plus grand côté, les trois points sont alignés et il n'y a pas de triangle.

Construire selon les données

1. Schéma à main levée avec les données : il dit dans quel cas on se trouve.
2. Trois côtés : vérifier l'inégalité triangulaire, tracer un côté, puis deux arcs de compas centrés sur ses extrémités ; ils se coupent au troisième sommet.
3. Deux côtés et l'angle compris : tracer un côté, construire l'angle au rapporteur à une extrémité, reporter l'autre longueur au compas sur la demi-droite.
4. Un côté et deux angles : construire les deux angles adjacents au côté, à ses extrémités et du même côté ; les demi-droites se coupent au troisième sommet.si un angle donné n'est pas adjacent au côté, calculer d'abord le troisième avec la somme de 180°.
5. Nommer, coder, et laisser les traits de construction.

Construire le triangle $RST$ tel que $RS=7$ cm, $\hat{R}=45°$ et $\hat{T}=75°$.

1. $\hat{T}$ n'est pas adjacent à $[RS]$ : on calcule d'abord $\hat{S}$ par la somme des angles (démontrée dans la fiche « Géométrie — Triangles, angles et droites »).$180-45-75=60$
2. On trace $[RS]$, puis 45° en $R$ et 60° en $S$, du même côté : les demi-droites se coupent en $T$.

contrôle au rapporteur : l'angle en T mesure bien 75°

triangles particuliers — Isocèle : deux côtés égaux, qui se rejoignent au sommet principal ; le troisième est la base. Équilatéral : trois côtés égaux (il est donc aussi isocèle). Rectangle : un angle droit ; le côté opposé est l'hypoténuse.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu ; chacun de ses points est à égale distance des extrémités (construction au compas : fiche « Cercle »). Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point $O$ équidistant des trois sommets : le centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets.

Placer le centre O sans tracer trois médiatrices

1. Isocèle en $A$ : $AB=AC$, donc $A$ est sur la médiatrice de la base $[BC]$, qui est l'axe de symétrie. On trace $(AI)$, avec $I$ milieu de $[BC]$, puis une seule autre médiatrice.
2. Équilatéral : chaque médiatrice passe par le sommet opposé ; deux droites « sommet – milieu du côté opposé » suffisent.
3. Rectangle : $O$ est le milieu de l'hypoténuse, et le rayon en vaut la moitié. On l'observe et on l'admet ; la preuve viendra en 4^e.le centre n'est à l'intérieur que si les trois angles sont aigus ; il est dehors dès qu'un angle est obtus.

$EFG$ est rectangle en $F$ et $EG=9$ cm. Où est le centre de son cercle circonscrit, et quel est son rayon ?

1. L'angle droit est en $F$ : l'hypoténuse est $[EG]$, le centre est son milieu $M$, et le rayon vaut sa moitié.$9÷2=4,5$

centre : le milieu de [EG] ; rayon : 4,5 cm

hauteur — La hauteur issue de $A$ est la droite qui passe par le sommet $A$ et qui est perpendiculaire à la droite $(BC)$ portant le côté opposé. Elle coupe $(BC)$ en $H$, le pied de la hauteur. On appelle aussi hauteur le segment $[AH]$ et sa longueur $AH$ : c'est la hauteur relative au côté $[BC]$.

Tracer une hauteur à l'équerre

1. Repérer le côté opposé au sommet ; si l'angle est obtus, le prolonger en pointillés. Poser un bord de l'angle droit de l'équerre sur ce côté.
2. Faire glisser l'équerre jusqu'au sommet, tracer, nommer le pied $H$ et coder l'angle droit.

L'aire d'un triangle est égale au produit d'un côté par la hauteur relative à ce côté, divisé par 2 : ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{BC\times AH}{2}$. N'importe lequel des trois côtés peut servir de base, pourvu qu'on prenne sa hauteur.

D'où vient la division par 2

1. La hauteur $[AH]$ coupe $ABC$ en deux triangles rectangles, les pièces 1 et 2. Chacune est la moitié d'un rectangle, coupé par sa diagonale.
2. Réunis, les deux rectangles forment un rectangle de côtés $BC$ et $AH$ : le triangle en occupe la moitié.${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{BC\times AH}{2}$

$ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=6$ cm, $AC=8$ cm et $BC=10$ cm. Calculer son aire, puis la hauteur relative à l'hypoténuse $[BC]$.

1. $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : l'un est la hauteur relative à l'autre.$\frac{6\times 8}{2}=24$l'aire vaut 24 cm²
2. Avec la base $[BC]$ : $\frac{10\times h}{2}=24$, donc $10\times h=48$.$h=48÷10=4,8$

aire 24 cm² ; hauteur relative à [BC] : 4,8 cm

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (on le constate, et on l'admet) : elles passent par un même point, l'orthocentre. Si un angle est obtus, ce sont les droites prolongées qui se coupent, hors du triangle.

médiane — La médiane issue de $A$ joint le sommet $A$ au milieu $I$ du côté opposé $[BC]$ : placer $I$ à la règle graduée, coder $BI=IC$, joindre $A$. Les trois médianes se coupent en un même point, le centre de gravité (on l'observe).

Démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire : si $I$ est le milieu de $[BC]$, les triangles $ABI$ et $AIC$ ont la même aire.

1. La hauteur $[AH]$ issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$, qui porte $[BI]$ et $[IC]$ : c'est la hauteur relative à $[BI]$ dans $ABI$, et à $[IC]$ dans $AIC$.
2. $I$ est le milieu de $[BC]$, donc $BI=IC$ : les deux aires se calculent avec les mêmes nombres.${\mathcal{A}}_{ABI}=\frac{BI\times AH}{2}=\frac{IC\times AH}{2}={\mathcal{A}}_{AIC}$

ABI et AIC ont la même aire, la moitié de celle de ABC — dans tout triangle

$ABC$ est isocèle en $A$, $I$ est le milieu de $[BC]$. Démontrer que $(AI)$ est la médiatrice de $[BC]$, la médiane et la hauteur issues de $A$.

1. $AB=AC$, donc $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$ ; le milieu $I$ aussi. Cette médiatrice est donc $(AI)$.
2. $(AI)$ joint $A$ au milieu de $[BC]$ : c'est la médiane. Elle est perpendiculaire à $(BC)$ : c'est la hauteur.

isocèle en A : ces trois droites sont confondues, c'est l'axe de symétrie

Équilatéral : c'est vrai pour les trois sommets. Rectangle en $A$ : $[AB]$ et $[AC]$ sont deux hauteurs, l'orthocentre est $A$ et l'aire vaut $AB\times AC÷2$ ; la médiane issue de $A$ aboutit au centre du cercle circonscrit et mesure la moitié de l'hypoténuse.