Programme en vigueur — arrêté du 2023, applicable en Première depuis la rentrée 2023. Voir le texte
Maille, motif, réseau. Structures cubiques et compacité. Masse volumique déduite de la maille. Cristaux des roches, cristaux du vivant, matière amorphe.
La règle d'or
Un cristal se définit par la répétition régulière d'un motif, pas par sa beauté ni par sa dureté : le verre est dur et n'est pas un cristal.
L'erreur que tout le monde fait
Compter les atomes d'une maille comme s'ils lui appartenaient tous en entier.
Un atome placé à un sommet est partagé entre huit mailles voisines, un atome sur une face entre deux. Compter huit atomes pour un cube à sommets occupés donne un résultat huit fois trop grand, et fausse aussitôt la compacité comme la masse volumique. Le partage n'est pas une subtilité : c'est le calcul lui-même.
Attribuer un huitième par sommet, une moitié par face, un entier au centre.
Le verre d'une fenêtre est dur, transparent et cassant — et ce n'est pas un cristal. Le sel de table, lui, en est un, sans être ni beau ni rare. Ce qui fait un cristal n'est ni l'aspect ni la dureté : c'est la répétition régulière d'un motif dans les trois directions de l'espace.
1Maille, motif, réseau
Définition
Maille et motif — Le motif est le groupe d'atomes qui se répète ; la maille est le plus petit volume dont la répétition par translation engendre tout le cristal. Le réseau est l'ensemble des positions ainsi obtenues. Décrire un cristal, c'est donc décrire une maille et un motif — le reste s'en déduit par répétition, sans autre information.
Règle
Un cristal se définit par la répétition régulière d'un motif, non par sa beauté ni par sa dureté. Une matière dépourvue de cet ordre à grande distance est dite amorphe : c'est le cas du verre, dont les atomes sont figés sans arrangement périodique.
cristal=ordrepeˊriodique⋅amorphe=deˊsordrefigeˊ
Piège
Compter les atomes d'une maille comme s'ils lui appartenaient tous en entier.
Pourquoi — Un atome placé à un sommet est partagé entre huit mailles voisines, un atome sur une face entre deux. Compter huit atomes pour un cube à sommets occupés donne un résultat huit fois trop grand, et fausse aussitôt la compacité comme la masse volumique. Le partage n'est pas une subtilité : c'est le calcul lui-même.
Le réflexe — Attribuer un huitième par sommet, une moitié par face, un entier au centre.
Exemple
Combien d'atomes une maille cubique à faces centrées contient-elle réellement ?
Huit sommets, chacun comptant pour un huitième :8×0,125=1
Six faces, chacune comptant pour une moitié :6×0,5=3
On additionne :1+3=4
Quatre atomes par maille, et non quatorze comme le suggère le dessin.
2Compacité
Définition
Compacité — La compacité est la fraction du volume de la maille réellement occupée par les atomes, ceux-ci étant assimilés à des sphères. C'est un rapport de volumes : sans unité, toujours inférieur à 1. Elle mesure l'efficacité de l'empilement, et deux structures du même élément peuvent avoir des compacités très différentes.
compaciteˊ=VmailleVatomes
Propriété
Dans une structure cubique simple, les atomes se touchent le long de l'arête : l'arête vaut deux rayons, la maille contient un atome, et la compacité vaut environ 0,52. Dans une structure cubique à faces centrées, les atomes se touchent le long de la diagonale d'une face : la maille en contient quatre, et la compacité monte à environ 0,74 — l'empilement le plus dense possible pour des sphères identiques.
3Des cristaux partout
Propriété
Un minéral est un solide naturel, de composition chimique définie et d'organisation cristalline : c'est un cristal au sens de ce chapitre. Une roche est un assemblage de tels minéraux. La taille de ces cristaux renseigne sur l'histoire de la roche : un refroidissement lent en profondeur laisse le temps aux cristaux de grossir, un refroidissement rapide en surface donne de très petits cristaux, voire un verre volcanique amorphe. Le vivant cristallise également — les coquilles et les squelettes calcaires sont bâtis sur des cristaux de carbonate de calcium.
Calculer une compacité ou une masse volumique
Dénombrer les atomes réellement contenus dans la maille, partages compris.
Exprimer l'arête de la maille en fonction du rayon des atomes.
Calculer le volume occupé par les atomes, puis celui de la maille.La compacité est le rapport des deux : sans unité, et inférieure à 1.
Diviser la masse contenue dans la maille par son volume pour obtenir une masse volumique.
Vérifier l'ordre de grandeur du résultat avant de conclure.
▢Ai-je défini le cristal par la périodicité, non par l'apparence ?
▢Ai-je compté les atomes en tenant compte des partages ?
▢Ai-je exprimé l'arête en fonction du rayon avant de calculer ?
▢Ai-je vérifié que la compacité est inférieure à 1 ?
▢Ai-je relié la taille des cristaux à la vitesse de refroidissement ?
L'essentiel en 8 points
·Cristal = répétition périodique d'un motif. Ni beauté ni dureté.
·Amorphe : pas d'ordre à grande distance. Exemple : le verre.
·Atome de sommet = 1/8 ; atome de face = 1/2 ; centre = 1.
·Cubique simple : 1 atome par maille, compacité ≈ 0,52.
·Cubique à faces centrées : 4 atomes, compacité ≈ 0,74.
·La compacité est sans unité et toujours inférieure à 1.
·Refroidissement lent → gros cristaux ; rapide → petits ou verre.
·Un minéral est un cristal naturel ; une roche en assemble plusieurs.
2
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Fiche PDF — Des édifices ordonnés : les cristaux
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3
Exercices corrigés
1
Notions. Répondre en une phrase précise.
Connaître
a.Différencier maille et motif.
b.Qu'est-ce qu'une matière amorphe ? Donner un exemple.
c.Que vaut la contribution d'un atome de sommet ? d'un atome de face ?
d.Définir la compacité.
e.Que dit la taille des cristaux d'une roche ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Le motif est le groupe d'atomes qui se répète ; la maille est le plus petit volume dont la répétition engendre tout le cristal.
b. Une matière sans ordre périodique à grande distance : les atomes y sont figés sans arrangement régulier. Le verre en est l'exemple.
c. Un huitième pour un sommet, une moitié pour une face.
d. La fraction du volume de la maille réellement occupée par les atomes, assimilés à des sphères. Sans unité, inférieure à 1.
e. La vitesse de refroidissement : lent en profondeur, les cristaux grossissent ; rapide en surface, ils restent petits ou la roche est amorphe.
2
Compacité d'une structure cubique simple. Les atomes, de rayon r, se touchent le long de l'arête. On prend r = 1 et on donne le volume d'une sphère de rayon 1 : environ 4,19.
Calculer
a.Combien d'atomes la maille contient-elle ?
b.Que vaut l'arête a ?
c.Calculer le volume de la maille.
d.En déduire la compacité.
e.Le résultat est-il plausible ? Justifier.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Huit sommets, un huitième chacun :8×0,125=1
Soit un atome par maille.
b. Les atomes se touchent le long de l'arête, donc l'arête vaut deux rayons :2×1=2
c. Volume de la maille :2×2×2=8
d. Compacité :4,19÷8≈0,52
e. Oui : elle est comprise entre 0 et 1, et environ la moitié du volume est vide — ce qui est cohérent pour un empilement peu dense.
3
Cubique à faces centrées. Les atomes de rayon 1 se touchent le long de la diagonale d'une face ; on donne l'arête a ≈ 2,83 et le volume d'une sphère de rayon 1 ≈ 4,19.
Calculer
a.Combien d'atomes la maille contient-elle ?
b.Calculer le volume occupé par les atomes.
c.Calculer le volume de la maille.
d.En déduire la compacité.
e.Comparer à la structure cubique simple et commenter.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Huit sommets et six faces :1+3=4
Soit quatre atomes par maille.
b. Volume occupé :4×4,19=16,76
c. Volume de la maille :2,83×2,83×2,83≈22,67
d. Compacité :16,76÷22,67≈0,74
e. Contre environ 0,52 pour la cubique simple : le même élément occupe beaucoup mieux l'espace. C'est l'empilement le plus dense possible pour des sphères identiques, et cela se traduit par une masse volumique plus élevée.
Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte
Définir le cristal par la périodicité4 ptsPerdu si : Le définir par l'apparence
Compter les atomes avec les partages5 ptsPerdu si : Compter huit atomes aux sommets
Relier l'arête au rayon4 ptsPerdu si : Prendre l'arête pour un diamètre au hasard
Calculer une compacité et la contrôler4 ptsPerdu si : Annoncer une valeur supérieure à 1
Relier taille des cristaux et refroidissement3 ptsPerdu si : Décrire sans interpréter
4
La méthode
Calculer une compacité ou une masse volumique
1
Dénombrer les atomes réellement contenus dans la maille, en tenant compte des partages.
2
Exprimer l'arête de la maille en fonction du rayon des atomes.
3
Calculer le volume occupé par les atomes, puis celui de la maille.
La compacité est le rapport des deux : elle n'a pas d'unité et reste inférieure à 1.
4
Diviser la masse contenue dans la maille par son volume pour obtenir une masse volumique.
5
Vérifier l'ordre de grandeur du résultat avant de conclure.
5
Se tester
Touches 1 à 4
Les questions de ce chapitre ne sont pas encore disponibles. Voici un échantillon pour patienter.
Mathématiques4ème
Question 1
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté 5 cm. Combien mesure le troisième côté ?
Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.
Des édifices ordonnés : les cristaux : c'est en quelle classe ?+
Ce chapitre est au programme de Enseignement scientifique au lycée, en classe de Première, année du Bac de français. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Que faut-il savoir sur Des édifices ordonnés : les cristaux ?+
Maille, motif, réseau. Structures cubiques et compacité. Masse volumique déduite de la maille. Cristaux des roches, cristaux du vivant, matière amorphe. Les notions à maîtriser sont : cristal, maille, compacité, masse volumique, minéral, amorphe.
Où télécharger la fiche PDF de Des édifices ordonnés : les cristaux ?+
Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.
Le corrigé de Des édifices ordonnés : les cristaux est-il fourni ?+
Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.
Des édifices ordonnés : les cristaux peut-il tomber au Bac de français ?+
Ce chapitre fait partie du programme officiel de Première, il entre donc dans le périmètre du Bac de français. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.
Comment réviser Des édifices ordonnés : les cristaux efficacement ?+
Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.
Faut-il un compte pour s'entraîner sur Des édifices ordonnés : les cristaux ?+
Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.