Programme en vigueur — arrêté du 2023, applicable en Terminale depuis la rentrée 2024. Voir le texte
Croissance exponentielle et temps de doublement. Modèle logistique et capacité d'accueil. Ce qu'une projection démographique suppose.
La règle d'or
Un modèle ne prédit pas l'avenir : il dit ce qui arriverait si ses hypothèses tenaient, et c'est en le prenant en défaut qu'on apprend quelque chose.
L'erreur que tout le monde fait
Prolonger une courbe de croissance en admettant que le taux reste constant, sans dire que c'est une hypothèse.
Une croissance à taux constant est exponentielle, donc sans limite : appliquée assez loin, elle donne toujours des résultats absurdes. Le modèle logistique existe précisément parce que les ressources d'un milieu sont finies. Prolonger sans nommer l'hypothèse, c'est présenter comme un résultat ce qui n'est que la conséquence de ce qu'on a supposé.
Après chaque extrapolation, écrire « si le taux reste constant », puis chercher ce qui l'empêcherait.
Prolongez n'importe quelle croissance à taux constant assez loin, et vous obtiendrez un résultat absurde. Ce n'est pas la faute du calcul : c'est que l'hypothèse « le taux reste constant » a été gardée au-delà de son domaine. Un modèle ne se juge pas à ce qu'il annonce, mais à l'endroit où il cesse de tenir.
1La croissance exponentielle
Propriété
Une population croît de façon exponentielle quand son effectif est multiplié par un même facteur à chaque intervalle. La démographie parle alors d'un taux constant : l'augmentation absolue, elle, grandit sans cesse, puisqu'elle s'applique à un effectif de plus en plus grand. C'est ce qui rend ce type de croissance trompeur — longtemps discret, puis brutal, sans que le mécanisme ait changé.
N(t)=N0×(1+r)t
Un repère commode : à taux constant, le temps de doublement s'approche en divisant 70 par le taux exprimé en pourcentage. Un pour cent par an donne environ 70 ans, deux pour cent environ 35. L'approximation ne vaut que pour les petits taux, et elle suffit à sentir ce que le mot exponentiel engage : doubler, puis redoubler, à intervalles réguliers.
2Le modèle logistique
Définition
Modèle logistique et capacité d'accueil — Le modèle logistique corrige l'hypothèse irréaliste du taux constant : la croissance y ralentit à mesure que l'effectif approche une capacité d'accueil, notée K, au-delà de laquelle le milieu ne peut plus subvenir. La courbe prend une forme en S — croissance quasi exponentielle au début, inflexion vers la moitié de K, puis palier. Le taux n'est plus une donnée : il devient une fonction de l'effectif déjà atteint.
La capacité d'accueil n'est pas une constante de la nature. Elle dépend des techniques, des rendements agricoles, de la façon dont les ressources sont réparties — elle a donc une histoire, et les valeurs avancées pour l'humanité varient largement d'une étude à l'autre selon les hypothèses retenues. Employer K oblige à dire de quoi il dépend, sinon on remplace une hypothèse cachée par une autre.
Règle
Un modèle ne prédit pas l'avenir : il dit ce qui arriverait si ses hypothèses tenaient, et c'est en le prenant en défaut qu'on apprend quelque chose. Une projection démographique n'est donc pas une annonce — c'est une conséquence, et elle vaut ce que valent ses hypothèses.
hypotheˋses→modeˋle→projectionconditionnelle
Piège
Prolonger une courbe de croissance en admettant que le taux reste constant, sans dire que c'est une hypothèse.
Pourquoi — Une croissance à taux constant est exponentielle, donc sans limite : appliquée assez loin, elle donne toujours des résultats absurdes. Le modèle logistique existe précisément parce que les ressources d'un milieu sont finies. Prolonger sans nommer l'hypothèse, c'est présenter comme un résultat ce qui n'est que la conséquence de ce qu'on a supposé.
Le réflexe — Après chaque extrapolation, écrire « si le taux reste constant », puis chercher ce qui l'empêcherait.
Discuter un modèle démographique
Énoncer les hypothèses du modèle avant d'utiliser ses résultats.
L'appliquer à une période connue pour voir s'il la retrouve.
Chercher le domaine où il cesse d'être valable, et le dire.Un modèle exponentiel décrit bien un début de croissance et très mal la suite.
Distinguer le taux de croissance de l'augmentation en nombre d'individus.
Conclure en séparant ce que le modèle établit de ce qu'il suppose.
▢Ai-je nommé l'hypothèse avant d'extrapoler ?
▢Ai-je distingué exponentiel et modèle logistique ?
▢Ai-je dit de quoi dépend la capacité d'accueil ?
▢Ai-je distingué le taux de l'augmentation absolue ?
▢Ai-je présenté la projection comme conditionnelle ?
L'essentiel en 8 points
·Exponentielle : même facteur à chaque intervalle, taux constant.
·L'augmentation absolue croît, même à taux constant.
·Temps de doublement ≈ 70 ÷ taux en pourcentage.
·Modèle logistique : le taux diminue quand l'effectif approche K.
·Courbe en S : exponentielle, inflexion vers K ÷ 2, puis palier.
·La capacité d'accueil dépend des techniques et de la répartition.
·Toute extrapolation suppose « si le taux reste constant ».
·Une projection est conditionnelle, jamais une annonce.
2
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Fiche PDF — Les modèles démographiques
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3
Exercices corrigés
1
Notions. Répondre en une phrase précise.
Connaître
a.Qu'est-ce qu'une croissance exponentielle ?
b.Qu'ajoute le modèle logistique ?
c.Que désigne la capacité d'accueil ?
d.Comment approcher un temps de doublement ?
e.Une projection est-elle une prédiction ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Une croissance où l'effectif est multiplié par un même facteur à chaque intervalle : le taux est constant, l'augmentation absolue grandit.
b. Une limite : le taux diminue à mesure que l'effectif approche la capacité d'accueil, et la courbe prend une forme en S.
c. L'effectif au-delà duquel le milieu ne peut plus subvenir. Elle dépend des techniques et de la répartition des ressources.
d. En divisant 70 par le taux exprimé en pourcentage — approximation valable pour les petits taux.
e. Non : c'est une conséquence conditionnelle — si les hypothèses tiennent, alors l'effectif évolue ainsi.
2
Croissance. Une population de 50 millions croît de 2 % par an. On donne 1,02 puissance 10 ≈ 1,219.
Calculer
a.Quel effectif après 10 ans ?
b.Estimer le temps de doublement.
c.Le taux tombe à 1 %. Que devient ce temps ?
d.L'augmentation annuelle en habitants est-elle constante ?
e.Que vérifier avant d'appliquer ce calcul sur un siècle ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Effectif après 10 ans, en millions :50×1,219≈60,95
Soit environ 61 millions.
b. Temps de doublement approché, en années :70÷2=35
c. Avec un taux de 1 % :70÷1=70
Diviser le taux par deux double le délai.
d. Non. Le taux s'applique à un effectif croissant : l'augmentation absolue croît elle aussi, d'année en année.
e. Que l'hypothèse d'un taux constant garde un sens sur un siècle — ce qui est douteux. Au-delà d'un certain horizon, le modèle logistique est plus honnête.
3
Modèle logistique. Une population suit un modèle logistique de capacité d'accueil K = 11 milliards.
Raisonner
a.Décrire la courbe en trois phases.
b.Pour quel effectif la croissance annuelle est-elle maximale ?
c.Que vaut cet effectif ici ?
d.Le modèle prévoit-il un effondrement au-delà de K ?
e.Pourquoi la valeur de K est-elle discutée ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Une croissance quasi exponentielle tant que l'effectif est petit devant K ; une inflexion où la croissance atteint son maximum ; un palier au voisinage de K.
b. À l'inflexion, c'est-à-dire pour un effectif voisin de la moitié de la capacité d'accueil.
c. Effectif à l'inflexion, en milliards :11÷2=5,5
d. Non : il fait tendre l'effectif vers K, la croissance s'annulant en K. D'autres modèles décrivent des effondrements — ce qui rappelle qu'aucun ne dit tout.
e. Parce que la capacité d'accueil dépend des rendements, des techniques et de la répartition des ressources. Les valeurs avancées varient largement : citer un K sans dire ses hypothèses ne dit rien.
Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte
Nommer l'hypothèse avant d'extrapoler5 ptsPerdu si : Prolonger sans réserve
Distinguer exponentiel et logistique4 ptsPerdu si : Employer l'un pour l'autre
Mener un calcul de croissance4 ptsPerdu si : Confondre taux et augmentation absolue
Dire de quoi dépend K4 ptsPerdu si : Citer un K comme une constante
Présenter la projection comme conditionnelle3 ptsPerdu si : En faire une prédiction
4
La méthode
Discuter un modèle démographique
1
Énoncer les hypothèses du modèle avant d'utiliser ses résultats.
2
Appliquer le modèle à une période connue pour voir s'il la retrouve.
3
Chercher le domaine où il cesse d'être valable, et le dire.
Un modèle exponentiel décrit bien un début de croissance et très mal la suite.
4
Distinguer le taux de croissance de l'augmentation en nombre d'individus.
5
Conclure en séparant ce que le modèle établit de ce qu'il suppose.
5
Se tester
Touches 1 à 4
Les questions de ce chapitre ne sont pas encore disponibles. Voici un échantillon pour patienter.
Mathématiques4ème
Question 1
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté 5 cm. Combien mesure le troisième côté ?
Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.
Les modèles démographiques : c'est en quelle classe ?+
Ce chapitre est au programme de Enseignement scientifique au lycée, en classe de Terminale, année du Baccalauréat. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Que faut-il savoir sur Les modèles démographiques ?+
Croissance exponentielle et temps de doublement. Modèle logistique et capacité d'accueil. Ce qu'une projection démographique suppose. Les notions à maîtriser sont : démographie, exponentiel, modèle logistique, capacité d'accueil, taux, projection.
Où télécharger la fiche PDF de Les modèles démographiques ?+
Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 5 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.
Le corrigé de Les modèles démographiques est-il fourni ?+
Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.
Les modèles démographiques peut-il tomber au Baccalauréat ?+
Ce chapitre fait partie du programme officiel de Terminale, il entre donc dans le périmètre du Baccalauréat. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.
Comment réviser Les modèles démographiques efficacement ?+
Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.
Faut-il un compte pour s'entraîner sur Les modèles démographiques ?+
Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.
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