Dérivation — Nombre dérivé et fonctions dérivées

Définir le nombre dérivé

Réponds à chaque question.

1. 1.Écris le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$.

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   $\tau (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

   C’est le coefficient directeur de la sécante joignant les deux points.

2. 2.S’agit-il d’une pente en un point ?

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   Non : c’est une pente moyenne sur un intervalle.

   La distinction entre un point et un intervalle commande tout le reste.

3. 3.Que devient ce taux lorsque $h$ tend vers 0 ?

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   Il tend vers le nombre dérivé $f^{\prime }(a)$.

   La sécante bascule alors vers la tangente.

4. 4.Que représente géométriquement $f^{\prime }(a)$ ?

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   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.

   C’est une vitesse instantanée, et non plus moyenne.

Déterminer l'équation d'une tangente

On travaille avec $f(x)=x^2$, au point d’abscisse 2.

1. 1.Écris l’équation générale de la tangente au point d’abscisse $a$.

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   $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

   $f^{\prime }(a)$ donne la pente, $f(a)$ ancre la droite au bon point.

2. 2.Calcule $f^{\prime }(2)$.

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   $f^{\prime }(x)=2x$, donc $f^{\prime }(2)=4$.

   C’est la pente de la tangente cherchée.

3. 3.Calcule $f(2)$.

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   $2^2=4$

   C’est l’ordonnée du point de contact.

4. 4.Donne l’équation réduite de la tangente.

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   $y=4x-4$

   En développant $4(x-2)+4$, la constante vaut $-4$.

Appliquer les règles de dérivation

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment se dérive une somme, et un produit par une constante ?

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   $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ et $(kf{)}^{\prime }=k{f}^{\prime }$.

   Ce sont les deux règles qui se comportent comme on l’attend.

2. 2.Écris la règle du produit.

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   $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

   La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.

3. 3.Écris la règle du quotient.

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   ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

   L’ordre du numérateur compte : l’inverser change le signe du résultat.

4. 4.Dérive $f(x)=x^2(3x+1)$ en développant d’abord.

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   $f(x)=3x^3+x^2$, donc $f^{\prime }(x)=9x^2+2x$.

   Développer avant de dériver est plus court et moins risqué.

5. 5.Pourquoi $f^{\prime }(x)=6x$ est-il faux pour cette fonction ?

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   Parce que ce serait le produit des dérivées, qui n’est pas la dérivée du produit.

   Le développement le montre immédiatement.

Étudier les variations par la dérivée

Réponds à chaque question.

1. 1.Que conclut-on du signe de $f^{\prime }$ sur un intervalle ?

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   $f$ est strictement croissante si $f^{\prime }>0$, strictement décroissante si $f^{\prime }<0$, constante si $f^{\prime }$ est nulle partout.

   Étudier les variations revient donc à étudier un signe.

2. 2.Pourquoi faut-il factoriser $f^{\prime }$ avant d’en chercher le signe ?

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   Parce qu’on ne peut étudier le signe que d’un produit ou d’un quotient, jamais d’une somme.

   Réduire au même dénominateur joue le même rôle.

3. 3.Avec quelle fonction remplit-on les valeurs d’un tableau de variations ?

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   Avec $f$, jamais avec $f^{\prime }$.

   C’est une confusion fréquente en fin de tableau.

4. 4.La dérivée de $x\mapsto x^3$ s’annule en 0. Y a-t-il un extrémum ?

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   Non : la fonction reste strictement croissante.

   Sa dérivée $3x^2$ est positive de part et d’autre : il n’y a pas de changement de signe.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$ »

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   $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

   Il faut deux termes, chacun dérivant l’un des deux facteurs.

2. 2.« La dérivée s’annule en ce point : il y a donc un extrémum. »

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   Il faut que la dérivée change de signe.

   Une dérivée peut s’annuler sans changer de signe, et la fonction reste alors monotone.

3. 3.« J’ai calculé la pente $f^{\prime }(a)$, l’équation de la tangente est donc $y=f^{\prime }(a)x$. »

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   C’est $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.

   Sans le point d’ancrage, on obtient une parallèle à la tangente.