Suites numériques — Arithmétiques et géométriques

Définir suites arithmétiques et géométriques

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce qu’une suite arithmétique de raison $r$ ?

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   Une suite où l’on passe de chaque terme au suivant en ajoutant $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$.

   C’est la définition par récurrence : elle donne le suivant, pas le centième.

2. 2.Quel est son terme général, la suite commençant à $u_0$ ?

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   $u_n=u_0+nr$

   On a ajouté $r$ exactement $n$ fois depuis $u_0$.

3. 3.Qu’est-ce qu’une suite géométrique de raison $q$ ?

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   Une suite où l’on passe de chaque terme au suivant en multipliant par $q$.

   La relation s’écrit $u_{n+1}=q\times u_n$.

4. 4.Quel est son terme général, la suite commençant à $u_0$ ?

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   $u_n=u_0\times q^n$

   On a multiplié par $q$ exactement $n$ fois.

5. 5.Comment reconnaît-on la nature d’une suite, et sur combien de valeurs conclut-on ?

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   On calcule les différences, puis les quotients ; on ne conclut jamais sur deux valeurs seulement.

   L’énoncé attend une démonstration pour un $n$ quelconque, pas une constatation.

Traduire un énoncé en suite

Réponds à chaque question.

1. 1.Une suite arithmétique commence à $u_1$. Quel est son terme général ?

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   $u_n=u_1+(n-1)r$

   Entre $u_1$ et $u_n$, on n’ajoute $r$ que $n-1$ fois.

2. 2.Comment vérifier qu’un terme général a le bon indice ?

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   En le testant sur le premier terme : avec $n=1$, il doit redonner $u_1$.

   S’il donne $u_1+r$, l’indice est décalé d’un cran.

3. 3.Quelle est la raison d’une suite modélisant une hausse de 4 % par an ?

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   $1,04$

   La raison est le coefficient multiplicateur $1+\frac{t}{100}$, pas le pourcentage.

4. 4.Et pour une baisse de 3 % par an ?

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   $0,97$

   Une baisse donne un coefficient inférieur à 1, jamais un nombre négatif.

Déterminer le sens de variation d'une suite

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce qui décide du sens de variation d’une suite arithmétique ?

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   Le signe de $r$ : croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$, constante si $r=0$.

   Rien d’autre n’entre en jeu : ni le premier terme, ni le rang.

2. 2.Et pour une suite géométrique à termes strictement positifs ?

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   La position de $q$ par rapport à 1 : croissante si $q>1$, décroissante si $0<q<1$.

   C’est 1, et non 0, qui sert de frontière.

3. 3.Que se passe-t-il si $q$ est négatif ?

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   Les termes changent de signe à chaque pas : la suite alterne.

   Elle n’est alors ni croissante ni décroissante.

4. 4.Quelle différence y a-t-il entre intérêts simples et intérêts composés ?

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   Les premiers suivent une suite arithmétique, les seconds une suite géométrique.

   Une suite géométrique fait porter les intérêts sur les intérêts.

Chercher un seuil et sommer des termes

Réponds à chaque question.

1. 1.Une population de 5 000 bactéries augmente de 20 % par heure. Quelle est la raison de la suite ?

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   $1,20$

   Une hausse de 20 % donne le coefficient $1+0,2$.

2. 2.Calcule les populations après une, deux et trois heures.

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   $5000\times 1,2=6000$, puis $6000\times 1,2=7200$, puis $7200\times 1,2=8640$.

   On avance de proche en proche avec la relation de récurrence.

3. 3.Au bout de combien d’heures la population dépasse-t-elle 10 000 ? Justifie des deux côtés.

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   Au bout de 4 heures : $8640\times 1,2=10368>10000$, alors que la troisième heure donnait $8640<10000$.

   Le double contrôle prouve qu’on a bien le premier rang, et pas seulement un rang qui marche.

4. 4.Comment se calcule la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ?

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   Nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.

   Elle se redémontre en appariant les termes des deux extrémités.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« Une hausse annuelle de 3 % donne une suite géométrique de raison $0,03$. »

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   La raison vaut $1,03$.

   Multiplier par $0,03$ diviserait le capital par trente-trois au lieu de l’augmenter.

2. 2.« La suite commence à $u_1$, donc $u_n=u_1+nr$. »

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   $u_n=u_1+(n-1)r$.

   Testée en $n=1$, la formule fausse donne $u_1+r$ au lieu de $u_1$.

3. 3.« J’ai calculé trois quotients égaux : la suite est donc géométrique. »

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   Il faut le démontrer pour un $n$ quelconque.

   Trois exemples sont une constatation, pas une démonstration.