Probabilités — Loi binomiale

Reconnaître un schéma de Bernoulli

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce qu’une épreuve de Bernoulli ?

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   Une expérience à deux issues seulement, appelées succès et échec.

   Le succès a une probabilité $p$, l’échec $1-p$.

2. 2.Dans un contrôle qualité, qu’appelle-t-on succès ?

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   La pièce défectueuse, puisque c’est elle qu’on compte.

   Le mot n’a rien d’élogieux : c’est l’énoncé qui décide.

3. 3.Quelles sont les deux conditions d’un schéma de Bernoulli ?

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   Les épreuves sont identiques et indépendantes.

   Ce sont deux conditions à vérifier, pas à supposer.

4. 4.Un tirage sans remise respecte-t-il ces conditions ?

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   Non : la composition change à chaque tirage.

   Un tirage avec remise, lui, les respecte.

Écrire et employer la loi binomiale

Réponds à chaque question.

1. 1.Que compte la variable $X$, et quelle loi suit-elle ?

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   Elle compte le nombre de succès, et suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.

   Elle prend ses valeurs de 0 à $n$.

2. 2.Écris la formule donnant $P(X=k)$.

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   $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$

   C’est la probabilité d’un chemin, multipliée par le nombre de chemins.

3. 3.Que représente le coefficient binomial ?

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   Le nombre de chemins de l’arbre comportant exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves.

   Il se lit sur le triangle de Pascal, ou se calcule à la calculatrice.

4. 4.Que valent $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)$ ?

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   1 et $n$.

   Il n’y a qu’un seul chemin sans aucun succès.

5. 5.Que vérifient toujours les deux exposants de la formule ?

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   Leur somme vaut $n$.

   C’est un contrôle immédiat sur toute écriture.

Calculer une probabilité binomiale

Un dé équilibré est lancé 5 fois. On cherche la probabilité d’obtenir exactement deux fois un 6.

1. 1.Nomme le succès et donne sa probabilité.

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   Le succès est « obtenir un 6 », de probabilité $\frac{1}{6}$.

   C’est le premier geste : sans succès nommé, aucun calcul n’est possible.

2. 2.Quelle loi suit $X$ ?

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   $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\frac{1}{6}$.

   Les lancers sont identiques et indépendants.

3. 3.Que vaut $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$ ?

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   Il y a dix façons de placer les deux 6 parmi cinq lancers.

4. 4.Pourquoi écrire seulement ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^3$ serait-il faux ?

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   Parce que ce produit est la probabilité d’un seul chemin précis.

   Oublier le coefficient divise la réponse par dix sans rien signaler.

Calculer une espérance et employer le contraire

Une chaîne produit 2 % de pièces défectueuses ; on prélève 20 pièces dans une production très nombreuse.

1. 1.Quelle est l’espérance d’une variable suivant $\mathcal{B}(n;p)$ ?

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   $E(X)=np$

   C’est le nombre moyen de succès sur un très grand nombre de répétitions.

2. 2.Calcule l’espérance ici, et interprète-la.

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   $20\times 0,02=0,4$ : en moyenne, 0,4 pièce défectueuse par lot.

   Le résultat n’a aucune raison d’être entier.

3. 3.Comment traduit-on « au moins une pièce défectueuse » ?

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   $P(X⩾1)=1-P(X=0)$

   Passer par le contraire évite d’additionner vingt termes.

4. 4.Pourquoi peut-on assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise ?

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   Parce que la production est très nombreuse : retirer 20 pièces ne change pas la proportion.

   C’est ce qui rend les épreuves identiques et indépendantes.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« $P(X=3)=p^3(1-p{)}^{n-3}$ »

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   Il manque le coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$ devant.

   Le produit seul ne donne la probabilité que d’un chemin précis.

2. 2.« On tire 5 boules sans remise dans une urne de 10 : $X$ suit une loi binomiale. »

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   Les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes : la loi ne s’applique pas.

   La composition de l’urne change à chaque tirage.

3. 3.« L’espérance vaut 0,4 pièce, donc on arrondit à 0 pièce défectueuse. »

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   L’espérance n’a pas à être entière : elle vaut 0,4 en moyenne par lot.

   C’est une moyenne sur beaucoup de lots, pas une prévision pour un lot.