Fonctions trigonométriques — sin, cos et tan

Lire les propriétés sur le cercle trigonométrique

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment $\cos x$ et $\sin x$ se définissent-ils pour un réel $x$ quelconque ?

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   En enroulant la droite des réels sur le cercle de rayon 1 : $\cos x$ est l’abscisse du point image, $\sin x$ son ordonnée.

   Cette définition vaut pour tout réel, et plus seulement pour un angle aigu.

2. 2.Écris l’identité fondamentale et dis d’où elle vient.

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   ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, par le théorème de Pythagore appliqué au rayon.

   Elle est vraie pour tout réel, sans exception.

3. 3.Qu’est-ce que la périodicité, et quelle en est la période ?

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   Ajouter un tour complet ramène au même point : $\cos (x+2\pi )=\cos x$ et $\sin (x+2\pi )=\sin x$.

   La période est donc $2\pi$, et il suffit d’étudier un intervalle de cette longueur.

4. 4.Laquelle des deux fonctions est paire, et laquelle impaire ?

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   Le cosinus est pair, le sinus est impair.

   $-x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l’axe des abscisses.

5. 5.Combien de solutions a l’équation $\cos x=2$ ?

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   Aucune : un cosinus est toujours compris entre $-1$ et 1.

   Le dire suffit à résoudre l’équation.

Employer les formules d'addition

Réponds à chaque question.

1. 1.Pourquoi $\cos (a+b)=\cos a+\cos b$ est-il faux ? Donne un contre-exemple.

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   Avec $a=b=\frac{\pi }{2}$ : le membre de gauche vaut $\cos \pi =-1$, le membre de droite vaut 0.

   Aucune fonction trigonométrique n’est linéaire.

2. 2.Qu’est-ce qui distingue la formule du cosinus de celle du sinus ?

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   Le cosinus inverse le signe entre les deux produits ; le sinus le conserve.

   C’est le seul détail à surveiller dans les deux formules.

3. 3.Qu’obtient-on en posant $b=a$ dans ces formules ?

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   Les formules de duplication.

   Elles donnent le cosinus et le sinus de $2a$.

4. 4.Écris les deux formes utiles à la linéarisation.

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   ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$ et ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

   Elles abaissent un carré en un cosinus de degré un.

Calculer une valeur exacte par les formules d'addition

On cherche la valeur exacte de $\cos \frac{\pi }{12}$.

1. 1.Décompose $\frac{\pi }{12}$ en différence de deux angles remarquables.

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   $\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$

   Parce que $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.

2. 2.Quelle formule appliques-tu ?

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   $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

   C’est la formule de différence pour le cosinus.

3. 3.Calcule le premier produit.

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   $\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

   Avec $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ et $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. 4.Calcule le second produit.

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   $\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

   Parce que $\sqrt{3}\times \sqrt{2}=\sqrt{6}$.

Dériver et résoudre en trigonométrie

Réponds à chaque question.

1. 1.Donne les dérivées du sinus et du cosinus.

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   $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ et $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

   Le signe moins est la seule chose à ne pas oublier.

2. 2.Pour résoudre $\cos x=a$, quelle est la toute première vérification ?

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   Vérifier que $a$ appartient à $[-1;1]$.

   Sinon il n’y a aucune solution, et c’est la réponse complète.

3. 3.Une solution $\alpha$ étant trouvée, quelle est la seconde du tour pour un cosinus ? Et pour un sinus ?

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   $-\alpha$ pour un cosinus, $\pi -\alpha$ pour un sinus.

   C’est là que se perdent les points : une seule des deux est donnée.

4. 4.Résous $\cos x=\frac{1}{2}$ sur $[0;2\pi ]$.

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   $x=\frac{\pi }{3}$ ou $x=\frac{5\pi }{3}$.

   La seconde solution $-\frac{\pi }{3}$ se ramène dans l’intervalle en ajoutant $2\pi$.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$ »

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   Il faut la formule d’addition, qui fait intervenir un produit croisé.

   Un test en $0$ et en $\frac{\pi }{2}$ réfute l’égalité en trois secondes.

2. 2.« $(\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ »

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   $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

   Le signe moins vient du sens de rotation, et c’est l’oubli le plus fréquent.

3. 3.« $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : la seconde solution du tour est $-\frac{\pi }{4}$. »

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   Pour un sinus, la seconde solution est $\pi -\alpha$, soit $\frac{3\pi }{4}$.

   C’est $-\alpha$ pour un cosinus, jamais pour un sinus : les deux symétries diffèrent.