Fonctions du second degré

Choisir la forme adaptée d'un trinôme

Réponds à chaque question.

1. 1.Écris la forme développée d’un trinôme, et la condition sur $a$.

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   $f(x)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.

   Sans cette condition, la fonction serait du premier degré.

2. 2.Que donne la forme développée immédiatement ?

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   L’ordonnée à l’origine $f(0)=c$, et le sens de la parabole par le signe de $a$.

   Ce sont les deux lectures gratuites de cette écriture.

3. 3.À quelle question répond la forme canonique ?

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   Elle donne le sommet, donc l’extrémum et l’axe de symétrie.

   Elle s’écrit $a(x-\alpha {)}^2+\beta$.

4. 4.À quelle question répond la forme factorisée, et quand existe-t-elle ?

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   Elle donne les racines, et n’existe que si $\Delta ⩾0$.

   Elle s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Mettre un trinôme sous forme canonique

On étudie $f(x)=2x^2-8x+5$.

1. 1.Écris les formules donnant $\alpha$ et $\beta$.

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   $\alpha =\frac{-b}{2a}$ et $\beta =f(\alpha )$.

   Le second se calcule à partir du premier, jamais indépendamment.

2. 2.Calcule $\alpha$ pour cette fonction.

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   $\frac{-(-8)}{2\times 2}=2$

   Le signe de $b$ fait partie du coefficient : $b=-8$.

3. 3.Calcule $\beta$.

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   $2\times 4-8\times 2+5=-3$

   On évalue $f$ en $\alpha =2$.

4. 4.Écris la forme canonique et conclus sur l’extrémum.

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   $f(x)=2(x-2{)}^2-3$ : minimum $-3$, atteint en $x=2$.

   Le carré est nul en 2 et positif ailleurs ; comme $a>0$, c’est un minimum.

Calculer un discriminant et des racines

On résout $2x^2+3x-2=0$.

1. 1.Que décide le signe de $\Delta$ ?

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   Deux racines distinctes si $\Delta >0$, une racine double si $\Delta =0$, aucune racine réelle si $\Delta <0$.

   Chercher des racines quand $\Delta <0$ est une faute de raisonnement, pas une maladresse.

2. 2.Calcule $4ac$ à part, avec son signe.

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   $4\times 2\times (-2)=-16$

   Calculer ce produit à part évite l’erreur de signe la plus fréquente.

3. 3.Calcule $\Delta$.

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   $9-(-16)=25$

   $c$ étant négatif, $-4ac$ ajoute 16 au lieu de retrancher.

4. 4.Donne les deux racines.

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   $\frac{-3-5}{4}=-2$ et $\frac{-3+5}{4}=0,5$.

   On garde $2a$ au dénominateur des deux racines.

5. 5.Vérifie par la somme des racines.

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   $-2+0,5=-1,5$, ce qui est bien $\frac{-b}{a}=\frac{-3}{2}$.

   Deux additions mentales attrapent presque toutes les erreurs de calcul.

Utiliser somme, produit et signe du trinôme

Réponds à chaque question.

1. 1.Que valent la somme et le produit des racines ?

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   $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ et $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

   C’est d’abord une vérification gratuite après tout calcul.

2. 2.Deux nombres ont pour somme 7 et pour produit 12. De quelle équation sont-ils les racines ?

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   $x^2-7x+12=0$

   Deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de $x^2-Sx+P=0$.

3. 3.Résous cette équation.

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   $\Delta =49-48=1$, d’où les racines 3 et 4.

   On vérifie sur l’énoncé : $3+4=7$ et $3\times 4=12$.

4. 4.Énonce la règle du signe d’un trinôme.

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   Il est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines lorsqu’il en a deux.

   Une inéquation se résout par ce tableau, jamais en divisant par une expression contenant $x$.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« $\Delta =3^2-4\times 2\times (-2)=9-16=-7$, donc pas de racine. »

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   $\Delta =9+16=25$ : il y a deux racines.

   Le produit $4ac$ vaut $-16$, et le soustraire revient à ajouter 16.

2. 2.« $2x^2+3x-2$ se factorise en $(x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right)$. »

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   Il faut garder le facteur 2 : $2(x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right)$.

   Sans lui, le coefficient dominant vaudrait 1 au lieu de 2.

3. 3.« Pour résoudre $x^2>3x$, je divise les deux membres par $x$. »

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   Il faut ramener tout dans un membre et faire un tableau de signe.

   On ignore le signe de $x$, donc le sens de l’inégalité après division.