Dérivation avancée — Composition et applications

Appliquer la règle de dérivation d'une composée

Réponds à chaque question.

1. 1.Énonce la règle de dérivation de $x\mapsto u(v(x))$.

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   Sa dérivée vaut $v^{\prime }(x)\times u^{\prime }(v(x))$.

   On dérive l’extérieur en laissant l’intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur.

2. 2.Quel est le premier geste avant toute dérivation d’une composée ?

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   Poser $u$ explicitement sur une ligne à part, et calculer $u^{\prime }$.

   Substituer directement est ce qui fait perdre le facteur.

3. 3.Comment vérifier une formule composée sur un cas trivial ?

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   En prenant $u=x$, donc $u^{\prime }=1$ : chaque ligne redonne la dérivée usuelle.

   C’est un contrôle immédiat qui ne coûte rien.

4. 4.Dérive ${\mathrm{e}}^{3x}$.

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   $3{\mathrm{e}}^{3x}$

   La dérivée de l’intérieur vaut 3, et elle vient en facteur.

Dériver des fonctions emboîtées

Réponds à chaque question.

1. 1.Pour $f(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$, pose $u$ et calcule $u^{\prime }$.

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   $u=-x^2$, donc $u^{\prime }=-2x$.

   C’est la ligne à écrire avant tout autre calcul.

2. 2.Donne $f^{\prime }(x)$ et son signe.

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   $f^{\prime }(x)=-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$, du signe de $-2x$.

   L’exponentielle est toujours strictement positive.

3. 3.Pour $g(x)=\ln (3x+1)$, donne $g^{\prime }(x)$.

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   $g^{\prime }(x)=\frac{3}{3x+1}$

   La forme est $\ln u$, de dérivée $\frac{u^{\prime }}{u}$, avec $u^{\prime }=3$.

4. 4.Sur quel ensemble $\sqrt{u}$ est-elle définie, et sur lequel est-elle dérivable ?

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   Définie quand $u⩾0$, dérivable seulement quand $u>0$.

   La dérivée n’existe pas partout où la fonction existe.

5. 5.Quelle condition $\ln u$ impose-t-elle ?

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   $u>0$

   C’est la même condition que pour le logarithme simple, appliquée à l’intérieur.

Mener un problème d'optimisation

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle est la première étape d’un problème d’optimisation ?

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   Choisir la variable et la nommer clairement, avec son unité.

   Une variable non nommée rend tout le reste illisible.

2. 2.Que faut-il déterminer en même temps que l’expression à optimiser ?

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   L’intervalle dans lequel la variable peut varier.

   Les contraintes géométriques ou physiques le fixent.

3. 3.Quelles opérations mène-t-on ensuite sur la dérivée ?

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   On dérive, on factorise, puis on étudie son signe sur cet intervalle.

   La factorisation précède toujours l’étude du signe.

4. 4.Que doit contenir la réponse finale ?

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   La valeur optimale et la grandeur optimisée, avec leurs unités.

   La question demande souvent les deux, et n’en donner qu’une coûte un point.

Distinguer extremum local et global

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle différence y a-t-il entre un maximum local et un maximum global ?

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   Le local n’est pas dépassé au voisinage d’un point ; le global ne l’est nulle part sur l’intervalle.

   Un maximum global est toujours local, l’inverse est faux.

2. 2.À quelle condition un extremum local se produit-il ?

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   En un point où la dérivée change de signe.

   L’annulation seule ne suffit pas.

3. 3.Quel exemple montre que l’annulation ne suffit pas ?

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   $x\mapsto x^3$ en 0 : la dérivée s’annule, la fonction reste strictement croissante.

   Sa dérivée $3x^2$ est positive de part et d’autre.

4. 4.Sur un intervalle fermé, que faut-il comparer en plus ?

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   Les valeurs aux bornes.

   Le maximum global peut y être atteint, là où la dérivée ne s’annule pas.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« La dérivée de $\ln (5x)$ est $\frac{1}{5x}$. »

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   C’est $\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}$.

   Le facteur $u^{\prime }=5$ manque, et l’erreur ne produit aucune absurdité visible.

2. 2.« $\sqrt{x}$ est définie sur $[0;+\infty [$, donc dérivable sur $[0;+\infty [$. »

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   Elle n’est dérivable que sur $]0;+\infty [$.

   En 0, la tangente est verticale : le nombre dérivé n’existe pas.

3. 3.« La dérivée s’annule en ce point de l’intervalle fermé : c’est donc le maximum global. »

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   Il faut encore comparer aux valeurs des bornes.

   Le maximum global peut être atteint en une borne, où la dérivée ne s’annule pas.