Fonction logarithme népérien

Définir le logarithme népérien

Réponds à chaque question.

1. 1.Écris l’équivalence qui définit le logarithme.

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   $\ln x=y⟺{\mathrm{e}}^y=x$, pour $x>0$.

   C’est la fonction réciproque de l’exponentielle.

2. 2.Sur quel ensemble est-il défini, et pourquoi pas ailleurs ?

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   Sur $]0;+\infty [$ : aucune puissance de $e$ ne donne un nombre négatif ou nul.

   C’est la première vérification de tout exercice.

3. 3.Que valent $\ln 1$ et $\ln \mathrm{e}$ ?

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   0 et 1.

   Parce que ${\mathrm{e}}^0=1$ et ${\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}$.

4. 4.Quel est le signe de $\ln x$ selon $x$, et quelle est sa dérivée ?

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   Positif si $x>1$, négatif si $0<x<1$ ; sa dérivée est $\frac{1}{x}$.

   La dérivée étant positive, la fonction est strictement croissante.

Appliquer les propriétés algébriques du logarithme

Réponds à chaque question.

1. 1.Que devient un produit, un quotient et une puissance sous un logarithme ?

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   Une somme, une différence et un produit.

   Le logarithme abaisse chaque opération d’un cran.

2. 2.Quelle condition ces règles exigent-elles ?

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   Que les nombres soient strictement positifs.

   C’est la première chose à vérifier avant de les appliquer.

3. 3.Que valent $\ln \frac{1}{a}$ et $\ln \sqrt{a}$ ?

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   $-\ln a$ et $\frac{1}{2}\ln a$.

   Ce sont deux cas de la règle de la puissance, avec $n=-1$ et $n=\frac{1}{2}$.

4. 4.Pourquoi $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$ est-il faux ?

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   La règle transforme un produit en somme, jamais une somme en somme.

   Avec $a=b=1$ : $\ln 2\approx 0,69$ à gauche, 0 à droite.

Simplifier une expression logarithmique

On cherche à écrire $A=\ln 8-2\ln 4+\ln 32$ sous la forme $k\ln 2$.

1. 1.Écris 8, 4 et 32 comme puissances de 2.

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   $8=2^3$, $4=2^2$, $32=2^5$.

   C’est le geste qui rend la simplification possible.

2. 2.Réécris $A$ en faisant descendre les exposants.

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   $A=3\ln 2-2\times 2\ln 2+5\ln 2$

   La règle de la puissance fait descendre chaque exposant en facteur.

3. 3.Calcule le coefficient final.

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   $3-4+5=4$

   Les trois termes portent tous le même facteur $\ln 2$.

4. 4.Donne $A$.

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   $A=4\ln 2$

   C’est la forme demandée, avec $k=4$.

Résoudre une équation logarithmique

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle est la toute première étape d’une résolution ?

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   Poser la condition d’existence : chaque expression sous un logarithme doit être strictement positive.

   Elle se pose d’abord, pas à la fin pour vérifier.

2. 2.À quoi se ramène l’équation $\ln A=\ln B$ ?

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   À $A=B$.

   La fonction étant strictement croissante, elle est injective.

3. 3.À quoi équivaut $\ln x=k$ ?

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   À $x={\mathrm{e}}^k$.

   On revient à l’exponentielle quand un seul membre porte un logarithme.

4. 4.Une inéquation $\ln A<\ln B$ change-t-elle de sens ?

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   Non : elle équivaut à $A<B$.

   Le logarithme est croissant, donc il conserve l’ordre.

5. 5.Une population double chaque année. Au bout de combien d’années est-elle multipliée par plus de 1 000 ?

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   Au bout de 10 ans.

   $2^{10}=1024>1000$ alors que $2^9=512<1000$.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« $\ln (x+3)=\ln x+\ln 3$ »

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   Une somme sous un logarithme ne se décompose pas.

   Il faudrait un produit : $\ln (3x)=\ln x+\ln 3$.

2. 2.« J’ai trouvé $x=-2$ comme solution de $\ln (x)=\ln (x^2-2)$, je la garde. »

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   La condition d’existence impose $x>0$ : cette solution est à écarter.

   Une solution négative peut apparaître au calcul sans être recevable.

3. 3.« ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=+\infty$, puisque $\ln x\to +\infty$. »

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   Cette limite vaut 0.

   Dans un affrontement entre logarithme et puissance, la puissance gagne toujours.