Limites de fonctions et continuité

Reconnaître une forme indéterminée

Réponds à chaque question.

1. 1.Cite les quatre formes indéterminées.

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   $\infty -\infty$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\times \infty$ et $\frac{0}{0}$.

   Aucune ne permet de conclure à partir des seules limites des morceaux.

2. 2.Que signifie exactement « forme indéterminée » ?

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   Que la forme ne suffit pas à décider, et qu’il faut réécrire l’expression.

   Cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas de limite.

3. 3.Quelle est la limite d’un produit, tant qu’aucune indétermination n’apparaît ?

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   Le produit des limites.

   Il en va de même pour la somme, et pour le quotient si le dénominateur ne tend pas vers 0.

4. 4.Donne la limite de $\ln x$ en $+\infty$ et en $0^{+}$.

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   $+\infty$ en $+\infty$, et $-\infty$ en $0^{+}$.

   Ce sont deux des limites usuelles qui se lisent sur les courbes connues.

Lever une indétermination par factorisation

On cherche ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2-5x+1}{x^2+4}$.

1. 1.Quelle forme obtient-on en l’état ?

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   $\frac{\infty }{\infty }$, indéterminée.

   Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$.

2. 2.Par quoi factorise-t-on, en haut comme en bas ?

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   Par $x^2$, terme de plus haut degré des deux.

   C’est la technique standard pour un quotient de polynômes.

3. 3.Que deviennent les autres termes après simplification ?

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   Ils tendent tous vers 0.

   Chacun s’écrit comme une puissance de $\frac{1}{x}$.

4. 4.Quelle est la limite cherchée ?

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   3

   Il reste le rapport des coefficients dominants, $\frac{3}{1}$.

Employer gendarmes et croissances comparées

Réponds à chaque question.

1. 1.Énonce le théorème des gendarmes.

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   Si $g⩽f⩽h$ et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$, alors $f$ tend aussi vers $\ell$.

   C’est la seule méthode disponible quand l’expression contient un sinus ou un cosinus.

2. 2.Pourquoi ne peut-on pas calculer directement ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x+\cos x}{x}$ ?

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   Parce que $\cos x$ n’a pas de limite en $+\infty$.

   Aucune opération sur les limites ne s’applique.

3. 3.Encadre $2x+\cos x$, puis divise par $x>0$.

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   $2x-1⩽2x+\cos x⩽2x+1$, d’où $2-\frac{1}{x}⩽\frac{2x+\cos x}{x}⩽2+\frac{1}{x}$.

   La division par un nombre positif conserve le sens des inégalités.

4. 4.Conclus.

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   La limite vaut 2.

   Les deux encadrants tendent vers 2 : le théorème des gendarmes s’applique.

5. 5.Énonce la règle des croissances comparées.

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   L’exponentielle l’emporte sur toute puissance, qui l’emporte sur le logarithme.

   D’où $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}\to +\infty$ et $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ en $+\infty$.

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Réponds à chaque question.

1. 1.Quand une fonction est-elle continue en $a$ ?

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   Lorsque ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

   Intuitivement : la courbe se trace sans lever le crayon.

2. 2.Une fonction continue est-elle toujours dérivable ? Et l’inverse ?

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   Non ; en revanche toute fonction dérivable est continue.

   La valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable.

3. 3.Énonce le théorème des valeurs intermédiaires.

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   Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a au moins une solution dans $[a;b]$.

   Le théorème démontre une existence, il ne donne jamais la valeur.

4. 4.Qu’est-ce qui donne l’unicité de la solution ?

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   La stricte monotonie de $f$ sur l’intervalle.

   Elle s’établit par le signe de la dérivée, et elle seule donne l’unicité.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« ${\lim }_{x\to +\infty }(x^2-x)=0$, puisque $\infty -\infty =0$. »

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   La limite vaut $+\infty$ : $x^2-x=x(x-1)$.

   Deux quantités qui tendent vers l’infini peuvent avoir une différence infinie ou finie.

2. 2.« ${\lim }_{x\to +\infty }\sin x=0$, puisque le sinus oscille autour de 0. »

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   Le sinus n’a pas de limite en $+\infty$.

   Osciller n’est pas tendre vers une valeur : il faut encadrer l’expression entière.

3. 3.« $f$ est continue et $f(a)<0<f(b)$ : l’équation $f(x)=0$ a donc une unique solution. »

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   Elle en a au moins une ; l’unicité demande la stricte monotonie.

   Sans monotonie, la courbe peut traverser l’axe plusieurs fois.