Intégration — Primitive et intégrale définie

Déterminer une primitive

On cherche la primitive $F$ de $f(x)=3x^2-4x+5$ vérifiant $F(1)=0$.

1. 1.Qu’est-ce qu’une primitive de $f$ sur un intervalle ?

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   Une fonction $F$ dérivable telle que $F^{\prime }=f$.

   Toute fonction continue sur un intervalle en admet.

2. 2.Pourquoi n’y en a-t-il jamais une seule ?

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   Parce que $F+C$ convient aussi pour toute constante $C$.

   La dérivée d’une constante est nulle.

3. 3.Donne la forme générale des primitives de $f$.

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   $F(x)=x^3-2x^2+5x+C$

   On remonte terme à terme : $3x^2$ vient de $x^3$, $-4x$ de $-2x^2$.

4. 4.Détermine $C$ avec la condition donnée.

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   $F(1)=1-2+5+C=4+C$, donc $C=-4$.

   La condition fixe la constante et donne la primitive cherchée.

Reconnaître une primitive composée

Réponds à chaque question.

1. 1.Quelle est une primitive de $u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$ ?

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   ${\mathrm{e}}^u$

   La dérivée de l’intérieur est déjà là, en facteur.

2. 2.Quelle est une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u}$ ?

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   $\ln |u|$

   La valeur absolue permet de couvrir les intervalles où $u$ est négative.

3. 3.Quelle est une primitive de $u^{\prime }{u}^n$ ?

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   $\frac{u^{n+1}}{n+1}$

   C’est la règle des puissances, appliquée à une composée.

4. 4.Donne une primitive de $2x{\mathrm{e}}^{x^2}$.

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   ${\mathrm{e}}^{x^2}$

   La dérivée de $x^2$ est $2x$, et elle est bien en facteur.

Employer le théorème fondamental

Réponds à chaque question.

1. 1.Énonce le théorème fondamental du calcul.

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   Si $F$ est une primitive de $f$ continue sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$.

   On note cette quantité entre crochets.

2. 2.Pourquoi n’écrit-on pas de constante dans une intégrale définie ?

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   Parce qu’elle disparaît dans la soustraction.

   $F(b)+C-(F(a)+C)$ ne dépend pas de $C$.

3. 3.Une intégrale définie est-elle un nombre ou une fonction ?

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   Un nombre.

   Confondre une intégrale définie et une primitive fausse toute la rédaction.

4. 4.Énonce la relation de Chasles pour les intégrales.

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   ${\int }_a^{c}f={\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f$

   Elle permet de couper un intervalle là où la fonction change de signe.

5. 5.Qu’est-ce que la linéarité permet de faire ?

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   Découper une somme et sortir les constantes.

   $\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$.

Calculer une aire et intégrer par parties

Réponds à chaque question.

1. 1.À quelle condition l’intégrale donne-t-elle l’aire du domaine ?

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   Lorsque la fonction est positive sur tout l’intervalle.

   Sinon, l’intégrale est un bilan algébrique où les parties se compensent.

2. 2.Calcule l’aire sous $f(x)=3x^2+2x$ entre 0 et 2.

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   $F(x)=x^3+x^2$, et $F(2)-F(0)=12-0=12$ unités d’aire.

   La fonction est positive sur $[0;2]$ : l’intégrale donne bien l’aire.

3. 3.Comment choisit-on $u$ dans une intégration par parties ?

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   On pose $u$ la partie qui se simplifie en dérivant.

   Un polynôme perd un degré, un logarithme devient une fraction rationnelle.

4. 4.Que faire si la nouvelle intégrale est plus compliquée que la première ?

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   Recommencer en échangeant $u$ et $v^{\prime }$.

   Le choix était inversé, et rien d’autre n’est à corriger.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« L’intégrale vaut $-2$, donc l’aire du domaine vaut $-2$. »

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   Une aire est toujours positive : il faut couper l’intervalle et prendre la valeur absolue de chaque morceau.

   L’intégrale compte négativement ce qui est sous l’axe.

2. 2.« ${\int }_0^{1}2x\mathrm{d}x=[x^2+C{]}_0^1=1+C$ »

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   La constante disparaît dans la soustraction : l’intégrale vaut 1.

   On n’écrit pas de constante dans une intégrale définie.

3. 3.« Une primitive de $\frac{1}{u}$ est $\ln |u|$. »

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   C’est une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u}$ : il faut la dérivée de l’intérieur en facteur.

   Sans elle, la dérivation de $\ln |u|$ redonnerait $\frac{u^{\prime }}{u}$ et non $\frac{1}{u}$.