Probabilités — Variables aléatoires et loi normale

Comprendre une loi continue

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce qu’une variable aléatoire continue ?

   1 pt
   Voir la correction

   Une variable qui prend toutes les valeurs d’un intervalle.

   Sa loi n’est plus donnée par un tableau mais par une fonction de densité.

2. 2.Comment calcule-t-on $P(a⩽X⩽b)$ ?

   1 pt
   Voir la correction

   Par l’aire sous la courbe de densité entre $a$ et $b$, c’est-à-dire une intégrale.

   C’est ce qui relie la loi normale au calcul intégral.

3. 3.Que vaut l’aire totale sous une densité ?

   1 pt
   Voir la correction

   1

   C’est la traduction du fait que la variable prend forcément une valeur.

4. 4.Pourquoi $P(X=1,70)=0$ ne signifie-t-il pas que cette taille est impossible ?

   1 pt
   Voir la correction

   Parce que l’aire au-dessus d’un point unique est toujours nulle.

   Probabilité nulle et impossibilité diffèrent dès qu’on quitte le discret.

Lire les paramètres d'une loi normale

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment note-t-on la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$ ?

   1 pt
   Voir la correction

   $\mathcal{N}(\mu ;{\sigma }^2)$

   La notation porte la variance, mais c’est l’écart-type qu’on emploie ensuite.

2. 2.Que représente $\mu$ sur la cloche ?

   1 pt
   Voir la correction

   L’espérance, c’est-à-dire l’axe de symétrie.

   La courbe est symétrique par rapport à la verticale d’abscisse $\mu$.

3. 3.Que représente $\sigma$ ?

   1 pt
   Voir la correction

   L’écart-type, qui mesure l’étalement de la cloche.

   Un $\sigma$ petit donne une cloche resserrée et haute.

4. 4.Que vaut $P(X⩽\mu )$, et pourquoi ?

   1 pt
   Voir la correction

   0,5, par symétrie de la cloche.

   La moitié de l’aire est de chaque côté de l’axe.

Employer la règle 68-95-99,7

Les scores à un test suivent la loi normale d’espérance 100 et d’écart-type 15.

1. 1.Énonce la règle 68-95-99,7.

   1 pt
   Voir la correction

   Environ 68 % des valeurs entre $\mu \pm \sigma$, 95 % entre $\mu \pm 2\sigma$, 99,7 % entre $\mu \pm 3\sigma$.

   Ce sont les trois valeurs à connaître par cœur.

2. 2.Quelle proportion obtient un score entre 85 et 115 ?

   1 pt
   Voir la correction

   Environ 68 %.

   $85=100-15$ et $115=100+15$ : ce sont exactement $\mu \pm \sigma$.

3. 3.À combien d’écarts-types de la moyenne se situe le score 130 ?

   1 pt
   Voir la correction

   Deux.

   $130=100+2\times 15$ : l’écart de 30 vaut deux écarts-types.

4. 4.Quelle proportion dépasse 130 ?

   1 pt
   Voir la correction

   Environ 2,5 %.

   Hors de $\mu \pm 2\sigma$ il reste 5 %, répartis également des deux côtés.

5. 5.Pourquoi divise-t-on par deux ce qui reste ?

   1 pt
   Voir la correction

   Parce que la cloche est symétrique : ce qui dépasse d’un côté vaut ce qui dépasse de l’autre.

   Oublier ce partage double la réponse.

Calculer et interpréter un score réduit

Un élève obtient 130 à un test de moyenne 100 et d’écart-type 15, et 62 à un autre de moyenne 50 et d’écart-type 8.

1. 1.Écris le changement de variable qui ramène à la loi centrée réduite.

   1 pt
   Voir la correction

   $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

   On retranche la moyenne, puis on divise par l’écart-type.

2. 2.Que dit le score réduit ?

   1 pt
   Voir la correction

   À combien d’écarts-types de la moyenne se situe la valeur.

   C’est cette information, et non la valeur brute, qui mesure le caractère exceptionnel.

3. 3.Calcule les deux scores réduits.

   1 pt
   Voir la correction

   $\frac{130-100}{15}=2$ et $\frac{62-50}{8}=1,5$.

   On calcule l’écart, puis on le divise par l’écart-type.

4. 4.Laquelle des deux performances est la plus rare ?

   1 pt
   Voir la correction

   La première, dont le score réduit est le plus élevé.

   Les notes brutes ne sont pas comparables : les échelles diffèrent.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« $P(X=50)=0$ : cette valeur ne peut donc pas se produire. »

   1 pt
   Voir la correction

   Pour une variable continue, toute valeur isolée a une probabilité nulle.

   Elle reste parfaitement atteignable.

2. 2.« Hors de $\mu \pm 2\sigma$ il reste 5 % : donc 5 % dépassent $\mu +2\sigma$. »

   1 pt
   Voir la correction

   2,5 % seulement, l’autre moitié étant en dessous de $\mu -2\sigma$.

   La symétrie partage ce qui reste en deux parts égales.

3. 3.« Il a eu 62 à l’un et 130 à l’autre : la seconde note est bien meilleure. »

   1 pt
   Voir la correction

   Il faut calculer les scores réduits pour comparer deux échelles différentes.

   Les moyennes et les écarts-types des deux tests ne sont pas les mêmes.