Géométrie vectorielle dans l'espace

Calculer un produit scalaire dans l'espace

On donne $\vec{u}(1;2;-1)$ et $\vec{v}(3;-1;1)$, dans un repère orthonormé.

1. 1.Écris la formule du produit scalaire dans l’espace.

   1 pt
   Voir la correction

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$

   Elle suppose un repère orthonormé.

2. 2.Calcule $\vec{u}\cdot \vec{v}$ et conclus.

   1 pt
   Voir la correction

   $3-2-1=0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

   Le produit scalaire est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.

3. 3.Écris la formule de la norme et calcule $\Vert \vec{u}\Vert$.

   1 pt
   Voir la correction

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{6}$

   $1+4+1=6$, et l’on garde la valeur exacte.

4. 4.Que dit le signe du produit scalaire sur l’angle ?

   1 pt
   Voir la correction

   Positif, l’angle est aigu ; nul, il est droit ; négatif, obtus.

   C’est l’orthogonalité lue sous un autre jour.

Distinguer colinéarité et coplanarité

Réponds à chaque question.

1. 1.Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

   1 pt
   Voir la correction

   Lorsque l’un est un multiple de l’autre : $\vec{v}=k\vec{u}$.

   C’est la même définition que dans le plan.

2. 2.Quand trois vecteurs sont-ils coplanaires ?

   1 pt
   Voir la correction

   Lorsque l’un s’écrit comme combinaison des deux autres.

   Cela revient à dire qu’ils tiennent tous trois dans un même plan.

3. 3.À quoi sert la coplanarité ?

   1 pt
   Voir la correction

   À décider si quatre points de l’espace sont dans un même plan.

   C’est une question que la géométrie plane ne pouvait pas poser.

4. 4.Écris la formule donnant le cosinus de l’angle entre deux vecteurs.

   1 pt
   Voir la correction

   $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert }$

   On en tire l’angle à la calculatrice.

Employer le vecteur normal d'un plan

Réponds à chaque question.

1. 1.Quand un vecteur non nul est-il normal à un plan ?

   1 pt
   Voir la correction

   Lorsqu’il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

   En pratique, il suffit qu’il le soit à deux vecteurs non colinéaires du plan.

2. 2.Combien un plan a-t-il de vecteurs normaux ?

   1 pt
   Voir la correction

   Une infinité, tous colinéaires entre eux.

   C’est la direction qui compte, pas la longueur.

3. 3.Quelle est la forme d’une équation cartésienne de plan ?

   1 pt
   Voir la correction

   $ax+by+cz+d=0$

   Dans l’espace, une équation décrit un plan et non une droite.

4. 4.Comment lit-on un vecteur normal dans cette équation ?

   1 pt
   Voir la correction

   Ce sont les trois premiers coefficients : $\vec{n}(a;b;c)$.

   La lecture se fait sans aucun calcul.

5. 5.Comment trouve-t-on un vecteur normal quand l’énoncé ne le donne pas ?

   1 pt
   Voir la correction

   On l’écrit orthogonal à deux vecteurs du plan, ce qui donne deux équations, et l’on fixe arbitrairement une coordonnée.

   Fixer une coordonnée est licite puisque seule la direction compte.

Déterminer l'équation d'un plan

On cherche le plan passant par $A(1;2;3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2;1;2)$.

1. 1.Écris l’équation avec sa constante inconnue.

   1 pt
   Voir la correction

   $2x+y+2z+d=0$

   Les coefficients sont les coordonnées du vecteur normal.

2. 2.Remplace par les coordonnées de $A$.

   1 pt
   Voir la correction

   $2+2+6=10$

   On substitue $x=1$, $y=2$, $z=3$.

3. 3.Détermine $d$ et donne l’équation.

   1 pt
   Voir la correction

   $10+d=0$, donc $d=-10$ : le plan a pour équation $2x+y+2z-10=0$.

   La constante se déduit de l’appartenance du point au plan.

4. 4.Pourquoi vérifier l’équation sur un second point connu ?

   1 pt
   Voir la correction

   Parce qu’une erreur de signe sur la constante est invisible autrement.

   Elle fausserait toutes les distances calculées ensuite.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« L’équation $2x+y+2z-10=0$ est celle d’une droite de l’espace. »

   1 pt
   Voir la correction

   C’est l’équation d’un plan.

   L’intuition trompeuse vient de la géométrie plane, où une telle équation décrit une droite.

2. 2.« Pour trouver un vecteur normal à ce plan, je pose un système de deux équations. »

   1 pt
   Voir la correction

   Il se lit directement : ce sont les trois premiers coefficients de l’équation.

   Le système ne sert que lorsque l’équation n’est pas donnée.

3. 3.« Ces trois vecteurs ne sont pas colinéaires, donc ils ne sont pas coplanaires. »

   1 pt
   Voir la correction

   Trois vecteurs peuvent être coplanaires sans être colinéaires deux à deux.

   La coplanarité demande qu’un vecteur soit combinaison des deux autres.