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Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons

Q: Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Terminale, année du Baccalauréat. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Q: Que faut-il savoir sur Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons ?

Programme de spécialité de terminale (2019), sous-thème Combinatoire et dénombrement : principes additif et multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, factorielle, combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal. Les notions à maîtriser sont : dénombrement, combinatoire, k-uplet, permutation, factorielle, combinaison.

Q: Où télécharger la fiche PDF de Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 10 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Q: Le corrigé de Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Q: Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons peut-il tomber au Baccalauréat ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Terminale, il entre donc dans le périmètre du Baccalauréat. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Q: Comment réviser Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Q: Faut-il un compte pour s'entraîner sur Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Programme en vigueur — arrêtés du 19 juillet 2019, applicable en Terminale depuis la rentrée 2020. Voir le texte

La règle d'or

Une liste où l'ordre compte se dénombre avec des produits, une partie où l'ordre ne compte pas avec des coefficients binomiaux.

L'erreur que tout le monde fait

Compter les codes à 4 caractères contenant au moins un chiffre par 4 × 10 × 36³.

Ce calcul compte plusieurs fois les codes qui contiennent deux chiffres ou plus.

Devant « au moins un », passer au complémentaire : 36⁴ − 26⁴.

Télécharger la fiche A4 — Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons Version à trous, pour se testerSans compte, sans adresse e-mail · exercices et corrigé plus bas.

Notions à maîtriser

dénombrement
combinatoire
k-uplet
permutation
factorielle
combinaison
coefficient binomial
triangle de Pascal

Réviser

Combien de codes à quatre chiffres, de podiums, de mains de cinq cartes ? Dénombrer, c'est compter sans tout écrire, en reconnaissant d'abord l'objet compté. Si l'ordre compte, on compte des $k$ -uplets : $n^{k}$ avec répétitions, $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ sans répétition ; si l'ordre ne compte pas, on compte des parties à $k$ éléments : $(k n)$ .

1Ensembles, k-uplets et principes de comptage

Définition

ensembles, k-uplets, produit cartésien — Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ est son cardinal, $card (E)$ . Une partie $A$ de $E$ ( $A \subset E$ ) est un ensemble dont tous les éléments sont dans $E$  ; $\emptyset$ et $E$ en sont deux. La réunion $A \cup B$ , l'intersection $A \cap B$ et le complémentaire $\overline{A} = E ∖ A$ s'emploient comme en probabilités ; $A$ et $B$ sont disjoints si $A \cap B = \emptyset$ . Pour des ensembles quelconques $A$ et $B$ , un couple $(a, b)$ est formé d'un élément $a$ de $A$ puis d'un élément $b$ de $B$ : l'ordre compte, $(1, 2) \neq = (2, 1)$ , et les répétitions sont permises, $(1, 1)$ est un couple. Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble de ces couples. De même, $A \times B \times C$ est l'ensemble des triplets, $A_{1} \times \dots \times A_{k}$ celui des $k$ -uplets (ou $k$ -listes), et $A^{k}$ celui des $k$ -uplets d'éléments de $A$ : $R^{2}$ est l'ensemble des couples de réels.

Propriété

Principes additif et multiplicatif (admis). Si $A_{1}, \dots, A_{p}$ sont finis et deux à deux disjoints, le cardinal de leur réunion est la somme de leurs cardinaux ; ainsi $card (\overline{A}) = card (E) - card (A)$ . Le cardinal d'un produit cartésien est le produit des cardinaux ; en particulier, si $card (E) = n$ , il y a $n^{k}$ $k$ -uplets d'éléments de $E$ . Ce principe vaut pour des choix successifs : si le 1^er choix offre $n_{1}$ possibilités, puis le 2^e $n_{2}$ quel que soit le premier, etc., il y a $n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$ résultats.

card (A \times B) = card (A) \times card (B) card (E^{k}) = n^{k}

$A \times B$ avec $A = \{a, b, c\}$ et $B = \{1, 2\}$ : un chemin de l'arbre, un couple.

Dénombrer avec les deux principes

Reconnaître l'objet — liste ordonnée (un code, un classement) ou ensemble (une main, un groupe) ? répétitions permises ? — puis découper en cas disjoints et ajouter ; devant « au moins un », passer au complémentaire.
Décomposer en choix successifs et multiplier, en vérifiant que le nombre de possibilités d'une étape ne dépend pas des choix précédents ; contrôler sur un petit cas, par un arbre ou une liste.

Exemple

Un mot de passe compte 4 caractères, chacun une lettre minuscule (26 possibles) ou un chiffre (10 possibles). Combien y en a-t-il ? Combien contiennent au moins un chiffre ?

Un mot de passe est un 4-uplet des 36 caractères : il y en a $3 6^{4} = 1679616$ . « Au moins un chiffre » est le contraire de « que des lettres », qui en compte $2 6^{4}$ : $3 6^{4} - 2 6^{4} = 1679616 - 456976 = 1222640$

1 679 616 mots de passe, dont 1 222 640 avec au moins un chiffre.

Piège

« Au moins un chiffre : 4 places pour le chiffre, 10 chiffres, puis $3 6^{3}$ pour le reste, soit $4 \times 10 \times 3 6^{3} = 1866240$ . »

Pourquoi — 7a3b est compté deux fois, avec le 7 puis avec le 3 « choisi » : le résultat dépasse même le total.

Ce que ça coûte — toute la question, et la probabilité calculée ensuite

Le réflexe — devant « au moins un », passer au complémentaire, ou découper en cas disjoints : exactement 1, 2, 3 ou 4 chiffres.

2Les parties d'un ensemble

Propriété

Nombre de parties (démontré). Un ensemble $E = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ à $n$ éléments possède $2^{n}$ parties. Preuve : à une partie $P$ , on associe le $n$ -uplet $(ε_{1}, \dots, ε_{n})$ de ${0, 1}^{n}$ , où $ε_{i} = 1$ si $x_{i} \in P$ et $ε_{i} = 0$ sinon. Chaque $n$ -uplet code une seule partie et réciproquement : c'est une bijection, donc il y a autant de parties que de $n$ -uplets, soit $2^{n}$ . Ce nombre compte aussi les mots de longueur $n$ sur un alphabet à deux lettres, les chemins d'un arbre à $n$ niveaux de deux branches, et les issues de $n$ épreuves de Bernoulli : l'issue SSES (S succès, E échec) est associée à la partie ${1, 2, 4}$ des rangs des succès.

Les $2^3 = 8$ parties de $\{a, b, c\}$ : un chemin, un mot de 0 et de 1, une partie. En rouge, 101 code $\{a, c\}$.

Exemple

Une pizzeria propose 6 garnitures, à choisir librement. Combien de pizzas différentes ? Combien avec au moins une garniture ?

Une pizza est une partie de l'ensemble des 6 garnitures ; seule $\emptyset$ n'a aucune garniture : $2^{6} - 1 = 64 - 1 = 63$

64 pizzas, dont 63 avec au moins une garniture.

Piège

« Un ensemble à 6 éléments a $2 \times 6 = 12$ parties », ou oublier $\emptyset$ et $E$ .

Pourquoi — chaque élément est dans la partie ou non : on multiplie par 2 à chaque élément, d'où $2^{6} = 64$ , $\emptyset$ et $E$ compris.

Ce que ça coûte — le dénombrement, et toute probabilité qui en dépend

Le réflexe — contrôler sur ${a, b}$ : $\emptyset$ , ${a}$ , ${b}$ , ${a, b}$ , soit $2^{2} = 4$ parties.

3Listes d'éléments distincts, permutations, factorielle

Définition

factorielle — Pour tout entier $n ⩾ 1$ , factorielle $n$ est le produit $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ , et l'on pose $0! = 1$ . Ainsi $(n + 1)! = (n + 1) \times n!$  ; les valeurs croissent très vite : $10! = 3628800$ .

Propriété

$k$ -uplets d'éléments distincts, permutations (démontré). Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $1 ⩽ k ⩽ n$ . Pour un $k$ -uplet d'éléments distincts, on a $n$ choix pour le 1^er terme, $n - 1$ pour le 2^e, …, $n - k + 1$ pour le $k$ -ième. Par le principe multiplicatif, leur nombre est le produit de ces $k$ facteurs ; en le complétant par $(n - k)!$ , on obtient $n!$ , d'où la seconde écriture (pour $k > n$ , il n'y en a aucun). Permutations : une permutation de $E$ est un $n$ -uplet formé de ses $n$ éléments, chacun une fois, c'est-à-dire une façon de les ranger ; avec $k = n$ , $E$ possède $n!$ permutations.

n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}

Les permutations de $\{a, b, c\}$ : à chaque niveau, un choix de moins.

Tirer k objets parmi n, un par un

Avec remise : l'ordre compte et un objet peut revenir ; on compte des $k$ -uplets, $n^{k}$ .
Sans remise : l'ordre compte, sans répétition ; $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , que l'on calcule en simplifiant : $\frac{10 !}{7 !} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ , sans jamais calculer $10!$ .un tirage simultané ne donne pas une liste mais une partie : voir la partie 4.

Exemple

Huit nageurs disputent une finale. Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ? De combien de façons peut-on attribuer les 8 couloirs aux 8 nageurs ?

Un podium est un triplet de nageurs distincts, dans l'ordre or, argent, bronze : $8 \times 7 \times 6 = 336$ . Attribuer les couloirs, c'est ranger les 8 nageurs, une permutation : $8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

336 podiums et 40 320 répartitions des couloirs.

Piège

« Codes de 4 chiffres tous différents : $1 0^{4} = 10000$ . »

Pourquoi — $1 0^{4}$ compte tous les 4-uplets, répétitions comprises, comme 7701. Sans répétition, le nombre de choix baisse d'un à chaque rang : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ .

Ce que ça coûte — le résultat, et la probabilité qui en dépend

Le réflexe — à chaque rang, se demander combien de choix restent.

4Combinaisons et coefficients binomiaux

Définition

combinaison — Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $0 ⩽ k ⩽ n$ . Une combinaison de $k$ éléments de $E$ est une partie de $E$ à $k$ éléments : l'ordre ne compte pas et il n'y a pas de répétition. Leur nombre se note $(k n)$ , lu « $k$ parmi $n$ » : c'est un coefficient binomial. Il compte aussi les mots de longueur $n$ formés de $k$ lettres H et $n - k$ lettres D (on choisit les places des H), les chemins d'un quadrillage faits de $k$ pas vers le haut et $n - k$ vers la droite, et les issues de $n$ épreuves de Bernoulli qui comptent exactement $k$ succès.

3 pas D et 2 pas H : $\binom{5}{2} = 10$ chemins de O à B. En bleu, le nombre de chemins qui mènent à chaque point.

Propriété

Formules, cas particuliers, symétrie (démontrés). Pour $k ⩾ 1$ , ranger de toutes les façons ( $k!$ ) chaque partie à $k$ éléments donne chaque $k$ -uplet d'éléments distincts une fois : $(k n) \times k! = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , et l'on divise par $k!$ . Pour $k = 0$ , les deux membres valent 1. Cas particuliers : $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = n$ , $(2 n) = n (n - 1) /2$ . Symétrie : $A \mapsto \overline{A}$ est une bijection des parties à $k$ éléments sur celles à $n - k$ éléments, donc $(n - k n) = (k n)$ .

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Exemple

Dans une classe de 12 filles et 10 garçons, on choisit 3 élèves pour un conseil, sans fonction distincte. Combien de choix ? Combien avec exactement 2 filles ?

Un choix est une partie à 3 éléments des 22 élèves : $(3 22) = (22 \times 21 \times 20) \div 6 = 1540$ . Avec 2 filles parmi 12, puis 1 garçon parmi 10 : $(2 12) \times (1 10) = 66 \times 10 = 660$

1 540 choix, dont 660 avec exactement 2 filles.

Dénombrer un tirage simultané

Test de l'échange : si échanger deux objets ne change rien, l'ordre ne compte pas : on compte des parties.
Traduire les contraintes : « exactement 2 filles » : choix successifs, on multiplie ; « au moins une » : complémentaire.

Piège

« Mains de 3 cartes d'un jeu de 32 : $32 \times 31 \times 30 = 29760$ . »

Pourquoi — une main est un ensemble : le produit compte chacune dans ses $3! = 6$ ordres, et il y a $29760 \div 6 = 4960$ mains.

Ce que ça coûte — un résultat multiplié par $k!$ , et la probabilité qui en dépend

Le réflexe — un tirage simultané se compte avec $(k n)$ .

5Relation et triangle de Pascal

Propriété

Relation de Pascal (démontrée de deux façons). Pour $n ⩾ 1$ et $0 ⩽ k ⩽ n - 1$ : $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ . Par le calcul : on réduit au dénominateur $(k + 1)! (n - k)!$ , ci-dessous. Par dénombrement : dans un ensemble à $n + 1$ éléments, fixons $a$ . Parmi les parties à $k + 1$ éléments, $(k n)$ contiennent $a$ (on choisit les $k$ autres parmi les $n$ restants) et $(k + 1 n)$ ne le contiennent pas. Ces deux ensembles sont disjoints : on ajoute.

(k n) + (k + 1 n) = \frac{n ! ( k + 1 ) + n ! ( n - k )}{( k + 1 )! ( n - k )!} = \frac{( n + 1 )!}{( k + 1 )! ( n - k )!} = (k + 1 n + 1)

Triangle de Pascal : $\binom{5}{2} + \binom{5}{3} = 10 + 10 = 20 = \binom{6}{3}$, sous le second terme. À droite, la somme de chaque ligne.

Propriété

Somme d'une ligne (démontrée par dénombrement). Selon leur nombre d'éléments $k = 0, 1, \dots, n$ , les parties d'un ensemble $E$ à $n$ éléments se répartissent en $n + 1$ ensembles deux à deux disjoints, de cardinaux $(0 n), (1 n), \dots, (n n)$ . Par le principe additif, leur somme est le nombre total de parties de $E$ : $2^{n}$ .

(0 n) + (1 n) + \dots + (n n) = k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}

Construire le triangle de Pascal

Bords puis intérieur : chaque ligne commence et finit par 1 ; dans le triangle aligné à gauche, chaque autre coefficient est la somme de celui qui est juste au-dessus et du voisin de gauche de ce dernier.
Contrôler : chaque ligne est symétrique, et sa somme vaut $2^{n}$ .

Exemple

La ligne 6 du triangle est 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Écrire la ligne 7, puis donner le nombre de parties à 3 éléments d'un ensemble à 7 éléments.

On ajoute les voisins de la ligne 6 : $1 + 6 = 7$ , $6 + 15 = 21$ , $15 + 20 = 35$ , puis la symétrie complète la ligne. Contrôle : $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^{7}$

ligne 7 : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, donc $(3 7) = 35$ .

À gauche, chaque ligne vient de la précédente par la relation de Pascal. À droite, la condition x < y écrit chaque partie une seule fois, $\binom{4}{2} = 6$ et $\binom{4}{3} = 4$ ; melange offre $n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 = n!$ suites de tirages, une par permutation : toutes ont la même chance de sortir.

Piège

Écrire $(k n) + (k + 1 n) = (k n + 1)$ , ou ajouter deux coefficients de lignes différentes.

Pourquoi — les deux termes ajoutés sont voisins sur la ligne $n$  ; leur somme est sur la ligne $n + 1$ , au rang du second, $k + 1$ .

Ce que ça coûte — la démonstration, ou toute la ligne du triangle

Le réflexe — tester sur le triangle : $(0 2) + (1 2) = 1 + 2 = 3 = (1 3)$ .

▢L'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles permises ?
▢« Au moins un » : complémentaire, ou cas disjoints ?
▢Le même nombre de choix à chaque étape, quels que soient les précédents ?
▢Un contrôle sur un petit cas, par un arbre ou une liste ?

L'essentiel en 4 points

·Disjoints : on ajoute ; produit cartésien : on multiplie.
· $k$ -uplets : $n^{k}$  ; parties : $2^{n}$  ; $k$ -uplets d'éléments distincts : $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$  ; permutations : $n!$ , et $0! = 1$ .
·Parties à $k$ éléments : $(k n) = n! / (k! (n - k)!)$  ; $(n - k n) = (k n)$ .
·Pascal : $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$  ; ligne $n$ : somme $2^{n}$ .

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Fiche PDF — Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons

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Trois documents à imprimer, 10 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.

Au sommaire du cours

1. Ensembles, k-uplets et principes de comptage
2. Les parties d'un ensemble
3. Listes d'éléments distincts, permutations, factorielle
4. Combinaisons et coefficients binomiaux
5. Relation et triangle de Pascal

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Calculer sans calculatrice, en simplifiant d'abord.

Calculer

a. $6!$
b. $\frac{10 !}{8 !}$
c. $(2 7)$ , puis $(5 7)$
d. $(3 10)$
e. $(0 5) + (1 5) + (2 5) + (3 5) + (4 5) + (5 5)$

›Voir le corrigé

a. Par définition : $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$
b. $10! = 10 \times 9 \times 8!$ , donc : $\frac{10 !}{8 !} = 10 \times 9 = 90$
c. Avec la formule pour $k = 2$ : $(2 7) = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ par symétrie, $(5 7) = (2 7) = 21$ .
d. Trois facteurs au numérateur, $3!$ au dénominateur : $(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$
e. C'est la somme de la ligne 5 du triangle de Pascal, qui vaut $2^{5}$ : $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$
Conclusion : $6! = 720$ , $\frac{10 !}{8 !} = 90$ , $(2 7) = (5 7) = 21$ , $(3 10) = 120$ , et la somme vaut 32.

Pour chaque situation, dire si l'ordre compte et si les répétitions sont possibles, nommer l'objet compté, puis dénombrer.

Modéliser

a.Les codes de 3 lettres de l'alphabet (26 lettres), comme ZAZ.
b.Les bureaux (un président, un trésorier, un secrétaire) élus parmi les 12 membres d'une association.
c.Les matchs d'un tournoi où chacune des 8 équipes rencontre une fois chacune des autres.
d.Les façons de ranger 6 livres différents sur une étagère.

›Voir le corrigé

a. L'ordre compte et les répétitions sont permises : des 3-uplets d'un ensemble à 26 éléments. $2 6^{3} = 17576$
b. L'ordre compte (les postes sont différents), sans répétition : des triplets de membres distincts. $12 \times 11 \times 10 = 1320$
c. Un match est une paire d'équipes, sans ordre : une partie à 2 éléments. $(2 8) = \frac{8 \times 7}{2} = 28$
d. Un rangement est une permutation des 6 livres, $6!$ : $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
Conclusion : 17 576 codes, 1 320 bureaux, 28 matchs et 720 rangements.

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

Raisonner

a.Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $(1 n) = n$ .
b.Pour tous ensembles $A$ et $B$ , $A \times B = B \times A$ .
c.Un ensemble à 5 éléments possède 10 parties.
d. $(9 12) = 220$ .
e. $0! = 0$ .
f.Pour tout entier $n ⩾ 0$ , $\frac{( n + 1 )!}{n !} = n + 1$ .

›Voir le corrigé

a. Vrai. Une partie à 1 élément est un singleton ${x}$ : il y en a un par élément de l'ensemble, soit $n$ .
b. Faux. Avec $A = {1}$ et $B = {2}$ , $A \times B = {(1, 2)}$ et $B \times A = {(2, 1)}$ , or $(1, 2) \neq = (2, 1)$ . Les deux ensembles ont seulement le même cardinal.
c. Faux. Il en possède $2^{5}$ : $2^{5} = 32$ 10 est le nombre de ses parties à 2 éléments, ou à 3 éléments.
d. Vrai. Par symétrie, $(9 12) = (3 12)$ : $\frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$
e. Faux. Par convention, $0! = 1$  ; c'est ce qui donne $(0 n) = \frac{n !}{0 ! n !} = 1$ , le nombre de parties vides.
f. Vrai. $(n + 1)! = (n + 1) \times n!$ et $n! \neq = 0$ , donc le quotient vaut $n + 1$ , y compris pour $n = 0$ : $\frac{1 !}{0 !} = 1$ .

Génétique. Un brin d'ADN est une suite de bases, chacune choisie parmi A, C, G et T. Un codon est une suite de 3 bases.

Modéliser

a.Combien de codons différents existe-t-il ?
b.Combien de codons sont formés de 3 bases distinctes ?
c.Combien de suites de 10 bases contiennent exactement 3 fois la base A ?
d.Combien de suites de 10 bases contiennent au moins une fois la base A ?

›Voir le corrigé

a. Un codon est un 3-uplet de l'ensemble des 4 bases : $4^{3} = 64$
b. Ce sont les 3-uplets d'éléments distincts : $4 \times 3 \times 2 = 24$
c. On choisit les 3 places des A parmi les 10, soit $(3 10) = 120$ choix, puis une base parmi C, G et T pour chacune des 7 autres places : $120 \times 3^{7} = 120 \times 2187 = 262440$
d. Le contraire de « au moins un A » est « aucun A », soit $3^{10}$ suites parmi les $4^{10}$ : $4^{10} - 3^{10} = 1048576 - 59049 = 989527$
Conclusion : 64 codons, dont 24 à bases distinctes ; 262 440 suites de 10 bases avec exactement 3 A, et 989 527 avec au moins un A.

On va de O à B en suivant les lignes du quadrillage, par des pas d'une case vers la droite (D) ou vers le haut (H). B est 4 cases à droite et 3 cases au-dessus de O ; C est 2 cases à droite et 1 case au-dessus de O.

Représenter

a.Écrire le mot qui code le chemin rouge. Combien de lettres D et de lettres H compte tout chemin de O à B ?
b.En déduire le nombre de chemins de O à B.
c.Combien de chemins de O à B passent par C ?
d.Combien de chemins de O à B ne passent pas par C ?

Un chemin de O à B.

›Voir le corrigé

a. Le chemin rouge s'écrit DDDHHDH. Tout chemin de O à B compte 4 lettres D et 3 lettres H, soit 7 lettres.
b. Un chemin est un mot de 7 lettres, déterminé par la partie formée des 3 places de ses H : $(3 7) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
c. De O à C : 3 lettres dont 1 H, soit $(1 3) = 3$ chemins ; de C à B : 4 lettres dont 2 H, soit $(2 4) = 6$ chemins. On enchaîne les deux choix : $3 \times 6 = 18$
d. Passer par C ou non : deux cas disjoints qui réunissent tous les chemins, donc par complémentaire : $35 - 18 = 17$
Conclusion : 35 chemins de O à B, dont 18 passent par C et 17 l'évitent.

Repérer l'erreur. On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes, qui compte 8 cœurs. Lina dénombre les mains qui contiennent au moins un cœur : « je choisis un cœur (8 choix), puis 2 cartes parmi les 31 restantes, soit $8 \times \binom{31}{2} = 3\,720$ mains ».

Communiquer

a.Calculer le nombre total de mains, puis le nombre de mains sans cœur.
b.En déduire le nombre de mains avec au moins un cœur. Le résultat de Lina est-il juste ?
c.Expliquer son erreur, en indiquant combien de fois elle compte une main à 2 cœurs, et une main à 3 cœurs.
d.Les mains étant équiprobables, calculer la probabilité d'obtenir au moins un cœur, arrondie au centième.

›Voir le corrigé

a. Une main est une partie à 3 éléments du jeu : $(3 32) = \frac{32 \times 31 \times 30}{6} = 4960$
Une main sans cœur est formée de 3 cartes parmi les 24 autres : $(3 24) = \frac{24 \times 23 \times 22}{6} = 2024$
b. Par complémentaire : $4960 - 2024 = 2936$ Lina trouve 3 720 : son résultat est faux.
c. Il y a $8 \times (2 24) = 8 \times 276 = 2208$ mains à 1 cœur, $(2 8) \times 24 = 28 \times 24 = 672$ mains à 2 cœurs et $(3 8) = 56$ mains à 3 cœurs, soit 2 936 en tout. Lina compte une main à 2 cœurs deux fois, une pour chaque cœur « choisi », et une main à 3 cœurs trois fois : $2208 + 2 \times 672 + 3 \times 56 = 3720$
d. Nombre de mains favorables sur nombre de mains possibles : $\frac{2 936}{4 960} \approx 0, 59$
Conclusion : 2 936 mains contiennent au moins un cœur, et non 3 720 ; la probabilité d'au moins un cœur vaut environ 0,59.

Algorithmique. On reprend la fonction `pascal` et la liste `P2` du cours, avec `E = ["a", "b", "c", "d"]`.

Chercher

a.Quelles valeurs la variable L prend-elle successivement lors de l'appel pascal(4) ? Que renvoie cet appel ?
b.Écrire la liste P2. Combien d'éléments compte-t-elle ? Quel coefficient binomial retrouve-t-on ?
c.On remplace la condition x < y par x != y. Combien d'éléments la nouvelle liste compte-t-elle ? Expliquer.
d.Si E compte 6 éléments, prévoir la longueur de P3 sans exécuter le programme.

›Voir le corrigé

a. L vaut successivement [1], [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1] et [1, 4, 6, 4, 1] : chaque nouvelle ligne ajoute deux à deux les voisins de la précédente, par la relation de Pascal, et l'appel renvoie la ligne 4 du triangle.
b. P2 vaut [("a", "b"), ("a", "c"), ("a", "d"), ("b", "c"), ("b", "d"), ("c", "d")] : un couple par partie à 2 éléments, écrite dans l’ordre alphabétique. $(2 4) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
c. Avec x != y, on obtient tous les couples d'éléments distincts : chaque partie ${x, y}$ apparaît deux fois, comme $(x, y)$ et comme $(y, x)$ . $4 \times 3 = 12 = 2 \times 6$
d. P3 contient un triplet $(x, y, z)$ avec $x < y < z$ par partie à 3 éléments : $(3 6) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
Conclusion : pascal(4) renvoie [1, 4, 6, 4, 1] ; P2 a 6 éléments, 12 avec x != y ; P3 en aurait 20.

Soit $n$ et $k$ deux entiers tels que $1 \leqslant k \leqslant n$. On veut démontrer de deux façons que $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$.

Raisonner

a.Démontrer l'égalité par le calcul, à l'aide des factorielles.
b.Un club compte $n$ membres. On forme un comité de $k$ membres, dont l'un est président. En comptant ces comités de deux façons (le comité d'abord, ou le président d'abord), retrouver l'égalité.
c.Application : un club de 10 membres forme un comité de 4 membres dont un président. Calculer le nombre de possibilités des deux façons.

›Voir le corrigé

a. Comme $k! = k \times (k - 1)!$ , on a $k (k n) = \frac{k \times n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!}$ .
De même, comme $(n - 1) - (k - 1) = n - k$ et $n \times (n - 1)! = n!$ , on a $n (k - 1 n - 1) = \frac{n \times ( n - 1 )!}{( k - 1 )! ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k )!}$ : les deux membres sont égaux.
b. Le comité d'abord : $(k n)$ choix du comité, puis $k$ choix du président parmi ses membres, soit $k (k n)$ possibilités.
Le président d'abord : $n$ choix, puis les $k - 1$ autres membres parmi les $n - 1$ restants, soit $n (k - 1 n - 1)$ . On a dénombré deux fois le même ensemble, d'où l'égalité.
c. Le comité d'abord, avec $(4 10) = 210$ : $4 \times 210 = 840$
Le président d'abord, avec $(3 9) = 84$ : $10 \times 84 = 840$
Conclusion : $k (k n) = n (k - 1 n - 1)$ , et le club peut former son comité de 840 façons.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Identifier l'objet compté : $k$-uplet, $k$-uplet d'éléments distincts, permutation, partie4 ptsPerdu si : L'ordre pris en compte pour une main ou un groupe (résultat multiplié par $k!$) ; $n^k$ pour des tirages sans remise
Appliquer les principes additif et multiplicatif4 ptsPerdu si : Ajouter des cas qui se chevauchent ; « au moins un » compté par un produit qui compte certains cas plusieurs fois
Calculer factorielles et coefficients binomiaux4 ptsPerdu si : Une grande factorielle calculée au lieu d'être simplifiée ; $0! = 0$ ; la symétrie ignorée
Démontrer : nombre de parties, relation de Pascal, somme d'une ligne5 ptsPerdu si : Un exemple numérique présenté comme une preuve ; des ensembles ajoutés sans dire qu'ils sont disjoints
Algorithme : triangle de Pascal, parties, permutations3 ptsPerdu si : Indices décalés dans la boucle ; `x != y` au lieu de `x < y` pour écrire des parties

La méthode

Choisir le bon outil de dénombrement

1
Déterminer si l'ordre compte.
2
Vérifier si les répétitions sont permises.
3
Ordre et répétitions : nᵏ ; ordre sans répétition : n × (n − 1) × … ; ni ordre ni répétition : un coefficient binomial.
4
Compter le contraire et soustraire, devant « au moins un ».

Se tester

Touches 1 à 4

Les questions spécifiques à ce chapitre arrivent. En attendant, voici des questions de Mathématiques Terminale.

MathématiquesTerminale

Question 1

En tennis, la hauteur

h

d'une balle en mètres après un service est modélisée par

h(t) = 1 + 10\ln\left(1 + \frac{t}{2}\right) - 4.9t^2

pour

t \geq 0

. À quel instant

t

la balle atteint-elle sa hauteur maximale ?

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Questions fréquentes

Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Terminale, année du Baccalauréat. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons ?

Programme de spécialité de terminale (2019), sous-thème Combinatoire et dénombrement : principes additif et multiplicatif, k-uplets, arrangements, permutations, factorielle, combinaisons, coefficients binomiaux et triangle de Pascal. Les notions à maîtriser sont : dénombrement, combinatoire, k-uplet, permutation, factorielle, combinaison.

Où télécharger la fiche PDF de Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 10 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons peut-il tomber au Baccalauréat ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Terminale, il entre donc dans le périmètre du Baccalauréat. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Comment réviser Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Notions voisines

Les chapitres qui traitent des mêmes notions, ici ou dans une autre année.

1re

Probabilités — Loi binomiale

Tle

Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli

La calculatrice du lycée, avec mode examen

Au lycée, la calculatrice des examens doit avoir le mode examen. Vérifiez le modèle conseillé par le professeur de mathématiques.

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Pour réviser le bac

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Notions à maîtriser

Réviser

1Ensembles, k-uplets et principes de comptage

Dénombrer avec les deux principes

2Les parties d'un ensemble

3Listes d'éléments distincts, permutations, factorielle

Tirer k objets parmi n, un par un

4Combinaisons et coefficients binomiaux

Dénombrer un tirage simultané

5Relation et triangle de Pascal

Construire le triangle de Pascal

Imprimer

Fiche PDF — Dénombrement — k-uplets, permutations, combinaisons

Exercices corrigés

Calculer sans calculatrice, en simplifiant d'abord.

Pour chaque situation, dire si l'ordre compte et si les répétitions sont possibles, nommer l'objet compté, puis dénombrer.

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

Génétique. Un brin d'ADN est une suite de bases, chacune choisie parmi A, C, G et T. Un **codon** est une suite de 3 bases.

On va de O à B en suivant les lignes du quadrillage, par des pas d'une case vers la droite (D) ou vers le haut (H). B est 4 cases à droite et 3 cases au-dessus de O ; C est 2 cases à droite et 1 case au-dessus de O.

Repérer l'erreur. On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes, qui compte 8 cœurs. Lina dénombre les mains qui contiennent au moins un cœur : « je choisis un cœur (8 choix), puis 2 cartes parmi les 31 restantes, soit $8 \times \binom{31}{2} = 3\,720$ mains ».

Algorithmique. On reprend la fonction `pascal` et la liste `P2` du cours, avec `E = ["a", "b", "c", "d"]`.

Soit $n$ et $k$ deux entiers tels que $1 \leqslant k \leqslant n$. On veut démontrer de deux façons que $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$.

La méthode

Se tester

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On va de O à B en suivant les lignes du quadrillage, par des pas d'une case vers la droite (D) ou vers le haut (H). B est 4 cases à droite et 3 cases au-dessus de O ; C est 2 cases à droite et 1 case au-dessus de O.