Quiz — Limites de fonctions et continuité

Question 1

Pour son stage en pâtisserie, Emma doit préparer une pâte à tarte dont l'épaisseur $e(x)$ (en mm) varie en fonction de la distance $x$ (en cm) depuis le bord. La fonction $e(x)$ est définie par $e(x) = \frac{1}{x-3} + 2$ pour $x 
eq 3$. Emma remarque que l'épaisseur devient très grande lorsque $x$ s'approche de 3. Elle se demande : 'Peut-on dire que la droite d'équation $x = 3$ est une asymptote verticale à la courbe de $e(x)$ ?' Que lui répondriez-vous ?

Accepted Answer

Oui, car $\lim_{x 	o 3} e(x) = +\infty$, donc $x = 3$ est une asymptote verticale.

Answer

Non, car une asymptote verticale doit être de la forme $y = k$, pas $x = k$.

Answer

Oui, car la fonction n'est pas définie en $x = 3$, donc $x = 3$ est une asymptote verticale.

Answer

Non, car $\lim_{x 	o 3} e(x) = +\infty$, mais cela ne définit pas une asymptote verticale.

Question 2

La famille Dubois organise une fête dans leur jardin rectangulaire de 15 m de long sur 8 m de large. Pour éclairer l'espace, ils installent une guirlande lumineuse accrochée à une hauteur variable le long d'un mur vertical. La hauteur $h(x)$ (en mètres) de la guirlande au point d'abscisse $x$ (en mètres, $0 \leq x \leq 15$) est donnée par $h(x) = \frac{2x^2 + 5x + 3}{x + 1}$. Leur fils, Lucas, affirme : 'La guirlande atteindra une hauteur limite lorsque $x$ devient très grand, et cette hauteur limite sera de 2 mètres.' Lucas a-t-il raison ?

Accepted Answer

Non, car $\lim_{x 	o +\infty} h(x) = +\infty$.

Answer

Oui, car $\lim_{x 	o +\infty} h(x) = 2$.

Answer

Non, car $\lim_{x 	o +\infty} h(x) = x$, donc la hauteur n'est pas bornée.

Answer

Oui, car $h(15) = 2$, donc c'est la limite atteignable.

Question 3

Pour son projet de décoration, Clara utilise une fonction $p(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 9}$ pour estimer la longueur (en cm) d'une guirlande en fonction de la distance $x$ (en cm) entre deux points. Elle affirme que la longueur de la guirlande tend vers $x + 3$ lorsque $x$ devient très grand. A-t-elle raison ?

Accepted Answer

Oui, car $p(x) = |x + 3|$ et $\lim_{x 	o +\infty} |x + 3| = x + 3$.

Answer

Oui, car $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = x + 3$ pour tout $x$.

Answer

Non, car $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = |x + 3|$ et $\lim_{x 	o +\infty} |x + 3| = +\infty$.

Answer

Non, car $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = x - 3$ pour $x > 0$.

Question 4

Lors d'un marathon, la vitesse d'un coureur est modélisée par $v(t) = \frac{2t + 3}{t + 1}$ pour $t \geq 0$. Que vaut $\lim\limits_{t 	o 0^+} v(t)$ ?

Accepted Answer

$3$

Answer

$0$

Answer

$2$

Answer

$1$

Question 5

Lors d'un match de tennis, la vitesse $v(t)$ (en m/s) d'un service est modélisée par $v(t) = \frac{3t^2 + 2}{t^2 + 1}$ pour $t \geq 0$. Que vaut $\lim\limits_{t 	o +\infty} v(t)$ ?

Accepted Answer

$3$

Answer

$1$

Answer

$+\infty$

Answer

$0$

Limites de fonctions et continuité

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