Limites de fonctions et continuité

Les limites se calculent d'abord par opérations : la limite d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit le produit des limites, et de même pour le quotient tant que le dénominateur ne tend pas vers 0. Les limites usuelles se lisent sur les courbes connues : $x^n\to +\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$ en $\pm \infty$, ${\mathrm{e}}^x\to +\infty$ en $+\infty$ et $\to 0$ en $-\infty$, $\ln x\to +\infty$ en $+\infty$ et $\to -\infty$ en $0^{+}$.

forme indéterminée — Quatre combinaisons ne permettent aucune conclusion à partir des seules limites des morceaux : $\infty -\infty$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\times \infty$ et $\frac{0}{0}$. Le mot indéterminée ne signifie pas « pas de limite » : il signifie que la forme ne suffit pas à décider, et qu'il faut réécrire l'expression. Écrire « forme indéterminée » sans lever l'indétermination ne vaut rien ; l'écrire puis la lever vaut le point, car cela prouve qu'on a vu le problème.

Lever une indétermination

1. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $\pm \infty$ : factoriser par le terme de plus haut degré, au numérateur comme au dénominateur. Tout le reste tend alors vers 0, et il ne reste que le rapport des termes dominants.
2. Pour une forme $\frac{0}{0}$ en un point $a$ : le numérateur et le dénominateur s'annulent tous deux en $a$, donc tous deux se factorisent par $(x-a)$. On simplifie, et l'indétermination disparaît.
3. Quand $\ln$ ou ${\mathrm{e}}^x$ affrontent une puissance : invoquer les croissances comparées. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme.$\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}\to +\infty$ et $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ en $+\infty$.
4. En dernier recours : encadrer, et appliquer le théorème des gendarmes — c'est la seule technique qui marche quand l'expression contient un sinus ou un cosinus.

Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-5x+1}{x^2+4}$.

1. En l'état, numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme $\frac{\infty }{\infty }$, indéterminée.
2. On factorise haut et bas par $x^2$, terme dominant des deux.$2-2=0$
3. Il vient $\frac{x^2\left(3-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}$, et les $x^2$ se simplifient.
4. Chaque terme en $\frac{1}{x}$ tend vers 0 : il reste $\frac{3}{1}$.$3÷1=3$c'est le rapport des coefficients dominants — un raccourci qu'on peut citer, à condition d'avoir montré la factorisation.

La limite vaut 3.

Théorème des gendarmes. Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ au voisinage de l'infini, et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$, alors $f$ tend aussi vers $\ell$. C'est la seule méthode disponible pour une expression contenant un sinus ou un cosinus, dont on ne connaît pas la limite mais dont on sait qu'ils restent entre $-1$ et 1. Le même énoncé avec des inégalités simples donne les théorèmes de comparaison : minorée par une fonction qui tend vers $+\infty$, une fonction y tend aussi.

Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+\cos x}{x}$.

1. On ne connaît pas la limite de $\cos x$ — elle n'existe pas. Aucune opération ne s'applique : il faut encadrer.$1-1=0$
2. Pour tout réel, $-1\le \cos x\le 1$, donc $2x-1\le 2x+\cos x\le 2x+1$.
3. On divise par $x>0$, ce qui conserve le sens : $\frac{2x-1}{x}\le \frac{2x+\cos x}{x}\le \frac{2x+1}{x}$.$2\times 1=2$
4. Les deux encadrants s'écrivent $2-\frac{1}{x}$ et $2+\frac{1}{x}$, et tendent tous deux vers 2.$2-0=2$le théorème des gendarmes donne la limite.

La limite vaut 2.

continuité — Une fonction est continue en $a$ lorsque $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ : la limite existe, et elle vaut la valeur. Intuitivement, la courbe se trace sans lever le crayon. Toutes les fonctions usuelles du programme — polynômes, $\ln$, ${\mathrm{e}}^x$, $\sin$, $\cos$, racine — sont continues sur leur ensemble de définition, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées. Une fonction dérivable est toujours continue ; la réciproque est fausse, comme le montre $|x|$ en 0.

Théorème des valeurs intermédiaires. Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution est unique. Le théorème ne donne jamais la valeur de la solution : il en démontre l'existence, ce qui suffit à répondre à la question posée, et la calculatrice fournit ensuite un encadrement.

Montrer qu'une équation a une unique solution

1. Nommer la fonction et l'intervalle : ramener l'équation à la forme $f(x)=k$, souvent $f(x)=0$.
2. Justifier la continuité, en une phrase : somme, produit ou composée de fonctions continues.
3. Établir la stricte monotonie par le signe de $f^{\prime }$ — c'est elle qui donne l'unicité, et elle seule.
4. Calculer les valeurs aux bornes et vérifier que $k$ est entre les deux. Un changement de signe de $f$ suffit lorsque $k=0$.
5. Conclure en citant le théorème, puis encadrer la solution à la calculatrice si l'énoncé le demande.les quatre justifications comptent séparément au barème : en omettre une coûte le point même si la conclusion est juste.

Montrer que l'équation $x^3+x-3=0$ admet une unique solution réelle, puis en donner un encadrement à l'unité.

1. On pose $f(x)=x^3+x-3$, polynôme donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Sa dérivée $f^{\prime }(x)=3x^2+1$ est strictement positive : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.$0+1=1$
3. On évalue aux bornes d'un intervalle bien choisi.$1+1-3=-1$$f(1)=-1<0$.
4. Puis en 2.$8+2-3=7$$f(2)=7>0$.
5. $f$ étant continue et strictement croissante sur $[1;2]$, et 0 étant compris entre $-1$ et 7, le théorème donne une unique solution dans cet intervalle — et l'unicité sur $\mathbb{R}$ vient de la stricte croissance globale.$2-1=1$

Une unique solution $\alpha$, avec $1<\alpha <2$.

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment. Trois cas, et chacun se lit sur une limite. Si $f(x)\to \ell$ quand $x\to \pm \infty$, la droite $y=\ell$ est asymptote horizontale. Si $f(x)\to \pm \infty$ quand $x\to a$, la droite $x=a$ est asymptote verticale — c'est ce qui arrive aux bornes exclues du domaine. Si $f(x)-(ax+b)\to 0$ en $\pm \infty$, la droite $y=ax+b$ est asymptote oblique ; le signe de cette différence dit de quel côté la courbe passe.

Trouver une asymptote oblique

1. Effectuer la division du numérateur par le dénominateur, ou vérifier une forme donnée par l'énoncé : toute fraction rationnelle dont le degré du haut dépasse d'exactement un celui du bas s'écrit $ax+b+\frac{r(x)}{q(x)}$.
2. Identifier la partie affine $ax+b$ : c'est l'équation de l'asymptote, et le reste est ce qui tend vers 0.
3. Vérifier la limite : montrer que $f(x)-(ax+b)\to 0$ en $+\infty$. C'est cette ligne qui démontre l'asymptote ; la division, seule, ne prouve rien.
4. Étudier le signe du reste pour placer la courbe : positif, elle passe au-dessus de son asymptote ; négatif, en dessous.une question sur la position relative attend exactement ce signe, et rien d'autre.