📐 Mathématiques2deSecondeSans inscription

Nombres et calculs — fractions, racines et puissances

Name: Nombres et calculs (2nde) : racines, intervalles, puissances + exercices corrigés
Uploaded: 2026-10-05T00:00:00+02:00
Duration: 7 min 41 s
Description: Nombres et calculs en seconde (maths 2nde) : valeur exacte ou approchée, racines carrées, intervalles, intersection et réunion, puissances de 10, avec le piège √(a + b) et un exercice corrigé.

Programme en vigueur — arrêté du 26 février 2026, applicable en Seconde depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Les cinq ensembles de nombres et le critère qui reconnaît un décimal, le calcul fractionnaire, les intervalles avec leur intersection et leur réunion, les racines carrées écrites sous la forme a√b et sans radical au dénominateur, les puissances entières et la notation scientifique.

La règle d'or

En seconde une réponse n'est juste que si elle est exacte : fraction irréductible, plus grand carré sorti du radical, dénominateur sans racine — la calculatrice ne répond que si l'énoncé écrit « environ ».

L'erreur que tout le monde fait

Écrire que la racine de 9 + 16 vaut 3 + 4, donc 7.

La racine se distribue sur un produit et sur un quotient, jamais sur une somme. Ici 9 + 16 font 25, et la racine de 25 vaut 5, pas 7. Rien dans le résultat ne dénonce l'erreur — 7 ressemble à une longueur — et elle se rejoue à chaque calcul de distance en géométrie repérée.

Devant une somme sous le radical, calculer la somme d'abord et n'ouvrir la racine qu'ensuite : un seul contre-exemple, retenu une fois, suffit à ne plus se tromper.

Le chapitre en vidéo

S'abonner Voir sur YouTube

Chapitres de la vidéo (9)

Nombres et calculs en seconde (maths 2nde) : valeur exacte ou approchée, racines carrées, intervalles, intersection et réunion, puissances de 10, avec le piège √(a + b) et un exercice corrigé.

Notre chaîne vient d'être lancée : abonne-toi pour la soutenir, et dis-nous en commentaire ce que tu penses de cette vidéo.

Chapitre suivant : Généralités sur les fonctions

Télécharger la fiche A4 — Nombres et calculs — fractions, racines et puissances Version à trous, pour se testerSans compte, sans adresse e-mail · exercices et corrigé plus bas.

Notions à maîtriser

fraction
intervalle
réunion
intersection
racine carrée
puissance
nombre décimal
rationnel
valeur exacte

Réviser

La seconde ne demande pas de nouveaux calculs : elle demande les mêmes, exacts. Au collège, 14,1 passait pour une réponse ; ici la réponse est $102$ , et 14,1 n'en est une que si l'énoncé écrit « au dixième ». Six outils — fraction, ensemble, intervalle, racine, puissance, réunion — et un seul réflexe : nettoyer l'écriture avant de calculer.

Reconnaître en dix secondes

Le signal. Regardez le symbole, pas l'énoncé : une barre de fraction, un radical, un exposant, un crochet. Chacun appelle un geste différent, et le nommer à voix basse suffit à ne pas se tromper de chapitre.
La première question à se poser : l'énoncé veut-il une valeur exacte ou une valeur approchée ? « Donner la valeur exacte », « écrire sous la forme $a b$ » interdisent le résultat de la calculatrice ; « au dixième », « à $1 0^{- 2}$ près » l'exigent. Une réponse juste dans le mauvais registre ne vaut rien.
Le contre-signal. Le mot « et » commande une intersection, le mot « ou » une réunion — c'est le français qui décide du symbole, jamais l'inverse. Et une réponse n'est pas finie tant qu'il reste une racine au dénominateur ou un facteur commun dans une fraction.
Le réflexe qui économise l'exercice. Avant le premier calcul, ramener chaque écriture à sa forme la plus simple : fraction irréductible, plus grand carré parfait sorti du radical, toutes les puissances sur une seule base. La plupart des calculs de ce chapitre deviennent courts une fois les écritures nettoyées — et longs si on ne le fait pas.

1Les ensembles de nombres, et le mot « exact »

Définition

Nombre décimal — Un nombre est décimal lorsqu'il peut s'écrire comme un entier relatif divisé par une puissance de 10 — autrement dit lorsque son écriture décimale s'arrête.

x \in D ⟺ x = \frac{a}{1 0 ^{n}}, a \in Z, n \in N

Règle

Le critère qui décide en trois secondes. On rend la fraction irréductible, puis on regarde son dénominateur : il est décimal si et seulement si ce dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5. Un 3, un 7, un 11 au dénominateur, et l'écriture ne s'arrête jamais.

\frac{7}{8} = \frac{7}{2 ^{3}} \in D \frac{7}{12} = \frac{7}{2 ^{2} \times 3} \in / D

$\mathbb{N}$ les entiers naturels, $\mathbb{Z}$ les relatifs, $\mathbb{D}$ les décimaux, $\mathbb{Q}$ les rationnels, $\mathbb{R}$ tous les réels — chacun contient le précédent.

L'écriture n'est pas le nombre. $16$ a l'air irrationnel et vaut 4 ; $\frac{6}{3}$ a l'air d'une fraction et vaut 2 ; $0, 5$ a l'air décimal et l'est, tout comme $\frac{1}{2}$ qui est le même nombre. On classe un nombre après l'avoir simplifié, jamais sur sa première écriture.

2Fractions : quatre gestes

Les quatre gestes, dans l'ordre où on en a besoin

Additionner ou soustraire : même dénominateur obligatoire. On prend le plus petit multiple commun, on multiplie chaque fraction par ce qui lui manque, puis on additionne les numérateurs seulement. $\frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{5}{30} + \frac{2}{30} = \frac{7}{30}$ .
Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux — mais simplifier en croix d'abord. C'est la seule façon de ne jamais manipuler de grands nombres. $\frac{12}{18} \times \frac{35}{21}$ se simplifie en $\frac{2}{3} \times \frac{5}{3}$ avant tout calcul.
Diviser : on multiplie par l'inverse. Diviser par $\frac{9}{4}$ , c'est multiplier par $\frac{4}{9}$ — et jamais par $- \frac{9}{4}$ : l'inverse n'est pas l'opposé.
Une fraction étagée est une division déguisée. On calcule le numérateur, on calcule le dénominateur, et seulement alors on divise l'un par l'autre. Trois lignes, jamais une.

Exemple

Calculer $C = \frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{5}{4} + 1}$ .

Le numérateur, seul. $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Le dénominateur, seul. $\frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$
La grande barre est une division : on multiplie par l'inverse. $\frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{27}$ 4 et 27 n'ont aucun diviseur commun : la fraction est irréductible.

$C = \frac{4}{27}$

Le signe se porte une seule fois. $\frac{- 3}{8}$ , $\frac{3}{- 8}$ et $- \frac{3}{8}$ sont le même nombre ; écrivez toujours la troisième forme. Deux signes moins qui se promènent dans une même expression finissent toujours par se perdre.

3Intervalles : traduire une inégalité

Définition

Intervalle — Un intervalle est l'ensemble de tous les réels compris entre deux bornes. Le crochet tourné vers l'intérieur ferme l'intervalle : la borne appartient à l'ensemble. Tourné vers l'extérieur, il l'ouvre : la borne est exclue.

[a; b] = {x \in R ∣ a \leq x \leq b}

Règle

Le crochet qui borde l'infini est toujours ouvert. $+ \infty$ et $- \infty$ ne sont pas des nombres : aucun réel ne les atteint, donc aucune borne ne peut être fermée sur eux.

x \geq 2 ⟺ x \in [2; + \infty [

Les quatre formes, et l'inégalité que chacune traduit. Le sens du crochet se lit sur le dessin avant de s'écrire.

Deux ensembles n'ont pas de bornes et reviennent tout le temps : l'ensemble vide $\emptyset$ , quand aucun réel ne convient, et $R$ tout entier, qui s'écrit aussi $] - \infty; + \infty [$ . Répondre $\emptyset$ est une réponse, pas un aveu d'échec.

4Intersection et réunion

Définition

Intersection et réunion — $A \cap B$ — lire « A inter B » — rassemble les réels qui sont dans A et dans B. $A \cup B$ — « A union B » — rassemble ceux qui sont dans A ou dans B, le « ou » étant inclusif : être dans les deux suffit largement.

x \in A \cap B ⟺ (x \in A et x \in B)

La droite à deux étages

Tracer les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre, sur une seule droite graduée, avec les mêmes repères verticaux. Tout le reste se lit ; rien ne se calcule.
L'intersection est la zone couverte deux fois. On descend un trait vertical à chaque borne : la zone commune saute aux yeux, et les bornes de l'intersection sont les bornes intérieures.
La réunion est la zone couverte au moins une fois. Si les deux zones se touchent ou se chevauchent, la réunion est un intervalle. Si elles sont séparées par un trou, la réunion garde le symbole $\cup$ et reste en deux morceaux.
Vérifier une borne litigieuse en y mettant le nombre. Pour $I = [- 3; 8]$ et $J =] - \infty; 5 [$ : le nombre 5 est-il dans les deux ? Il est dans $I$ , pas dans $J$ — donc hors de l'intersection, dont le crochet se ferme juste avant.

Les deux traits rouges marquent les bornes qui décident. L'intersection s'arrête avant 5, la réunion va jusqu'à 8.

Une réunion n'est pas toujours un intervalle. $] - 1; 3 [\cup [4; 9]$ ne peut pas s'écrire $] - 1; 9]$ : le nombre $3, 5$ appartiendrait à la seconde écriture et à aucun des deux ensembles de départ. Quand un trou sépare les deux, le symbole $\cup$ fait partie de la réponse.

5Racines carrées : sortir ce qui peut sortir

Propriété

Pour tous réels $a \geq 0$ et $b \geq 0$ (et $b > 0$ pour le quotient), la racine traverse les produits et les quotients — et elle seulement eux.

ab = a b \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a)^{2} = a

Écrire sous la forme a√b

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre. Les seuls à connaître par cœur : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
Découper, puis sortir. $200 = 100 \times 2 = 100 \times 2 = 102$ . Le carré sort en prenant sa racine ; le reste demeure sous le radical.
Contrôler qu'on ne peut plus rien sortir. $72 = 218$ est juste mais inachevé : 18 contient encore le carré 9. La forme attendue est $62$ .en cas de doute, décomposer en facteurs premiers et sortir les paires.

Faire disparaître la racine du dénominateur

Simplifier la racine d'abord, si elle peut l'être : $\frac{6}{12}$ devient $\frac{6}{2 3} = \frac{3}{3}$ , ce qui raccourcit tout ce qui suit.
Multiplier haut et bas par la racine du dénominateur. Elle se transforme en entier, puisque $a \times a = a$ , et la valeur du quotient n'a pas bougé : on a multiplié par 1. $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{5 \times 5} = \frac{5}{5}$ .
Simplifier la fraction obtenue. $\frac{3}{3} = \frac{3 3}{3} = 3$ : la fraction disparaît complètement, et c'est souvent le signe qu'on a bien travaillé.

On additionne des racines comme on additionne des $x$ . $52 - 62 + 32 = 22$ : c'est une réduction de termes semblables, rien de plus. Mais $2 + 3$ ne se réduit pas — les radicandes diffèrent, comme $x$ et $y$ .

6Puissances : une seule base, un seul exposant

Propriété

Pour $a \neq = 0$ et des exposants entiers relatifs $n$ et $p$ . Les trois premières règles ne valent qu'entre puissances de même base ; la dernière, au contraire, exige le même exposant.

a^{n} \times a^{p} = a^{n + p} \frac{a ^{n}}{a ^{p}} = a^{n - p} (a^{n})^{p} = a^{n p} a^{n} \times b^{n} = (ab)^{n}

Propriété

Les trois valeurs qu'on oublie, et qui font perdre des points à elles seules.

a^{0} = 1 a^{1} = a a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Exemple

Simplifier $F = \frac{2 ^{- 3} \times 16 \times 2 ^{5}}{4 ^{2} \times 2 ^{- 1}}$ .

Tout ramener à la base 2 : $16 = 2^{4}$ et $4^{2} = (2^{2})^{2} = 2^{4}$ .tant que deux bases différentes cohabitent, aucune règle ne s'applique.
Le numérateur : on additionne les exposants. $- 3 + 4 + 5 = 6$
Le dénominateur, de même. $4 - 1 = 3$
Le quotient : on soustrait. $6 - 3 = 3$

$F = 2^{3} = 8$

La notation scientifique est la même règle, appliquée à 10 : un seul chiffre non nul avant la virgule, multiplié par une puissance de 10. $58300 = 5, 83 \times 1 0^{4}$ . Elle sert à comparer : entre $9 \times 1 0^{4}$ et $2 \times 1 0^{5}$ , c'est l'exposant qui tranche en premier, et le nombre de devant seulement en cas d'égalité.

7Les pièges qui coûtent des points

Piège

Écrire $9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7$ .

Pourquoi — la racine traverse les produits et les quotients, jamais les sommes. Ici $9 + 16 = 25$ et $25 = 5$ , pas 7. C'est l'erreur la plus fréquente de la seconde, et elle revient à chaque calcul de distance.

Ce que ça coûte — la question, et derrière elle toutes les distances et toutes les normes du chapitre de géométrie repérée.

Le réflexe — devant une somme sous le radical, on calcule d'abord la somme, et on n'ouvre la racine qu'ensuite. Un seul contre-exemple, retenu une fois, suffit à ne plus jamais se tromper.

Piège

Simplifier $\frac{3 + x}{3}$ en $x$ .

Pourquoi — on ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d'une somme. Avec $x = 3$ , l'expression de départ vaut $\frac{6}{3} = 2$ quand la prétendue simplification en donne 3.

Ce que ça coûte — la question entière, et le correcteur voit l'erreur à la ligne où elle est écrite.

Le réflexe — avant de barrer quoi que ce soit, vérifier qu'on voit un produit en haut et en bas. Pas de produit, pas de simplification — il faut d'abord factoriser.

Piège

Écrire $x \geq 2 ⟺ x \in [2; + \infty]$ .

Pourquoi — $+ \infty$ n'est pas un nombre : aucun réel ne l'atteint, donc le crochet qui le borde ne peut pas se fermer. L'écriture correcte est $[2; + \infty [$ .

Ce que ça coûte — un point de notation, retiré à chaque occurrence : sur un exercice à huit questions, l'addition est lourde.

Le réflexe — un crochet se ferme sur une valeur atteinte. L'infini n'en est pas une — jamais, dans aucun exercice.

Piège

Écrire $] - 1; 3 [\cup [4; 9] =] - 1; 9]$ .

Pourquoi — le nombre $3, 5$ appartiendrait au résultat sans appartenir à aucun des deux ensembles de départ. Deux intervalles séparés par un trou se réunissent en une écriture à deux morceaux, qui n'est pas un intervalle.

Ce que ça coûte — la question, et la suivante si elle s'appuie sur l'ensemble trouvé.

Le réflexe — tracer les deux sur la même droite graduée. S'il reste un espace entre eux, le symbole $\cup$ fait partie de la réponse et n'a pas à disparaître.

Piège

Écrire $2^{3} \times 2^{5} = 2^{15}$ , ou $2^{3} \times 3^{3} = 6^{9}$ .

Pourquoi — deux erreurs symétriques. Même base, les exposants s'additionnent : $2^{3} \times 2^{5} = 2^{8} = 256$ , quand $2^{15} = 32768$ . Même exposant, ce sont les bases qui se multiplient : $2^{3} \times 3^{3} = 6^{3} = 216$ .

Ce que ça coûte — la question, et l'erreur se reproduit mécaniquement sur toutes les lignes du même type.

Le réflexe — chercher ce qui est commun avant de choisir la règle. Base commune, on touche aux exposants ; exposant commun, on touche aux bases. Jamais les deux à la fois.

Piège

Conclure que $\frac{2}{7}$ n'est pas rationnel parce que l'écran affiche $0, 285714285 \dots$

Pourquoi — un rationnel a un développement décimal qui s'arrête ou se répète : ici le motif 285714 revient sans fin. Et $\frac{2}{7}$ est un quotient de deux entiers — rationnel avant même qu'on l'affiche.

Ce que ça coûte — la justification, qui est la totalité du point sur ce type de question — la réponse seule n'en rapporte aucun.

Le réflexe — la nature d'un nombre se lit sur son écriture fractionnaire, pas sur un écran. Une calculatrice affiche toujours douze décimales, pour $\frac{2}{7}$ comme pour $π$ .

▢L'énoncé demande-t-il une valeur exacte ou une valeur approchée ? Il le dit, et il ne dit jamais les deux.
▢Ma fraction est-elle irréductible, et son signe écrit une seule fois, devant la barre ?
▢Avant de multiplier deux fractions, ai-je simplifié en croix ?
▢Le crochet qui borde $+ \infty$ ou $- \infty$ est-il bien ouvert ?
▢« Et » donne une intersection, « ou » une réunion : ai-je pris le symbole que la phrase commande ?
▢Ai-je sorti du radical le plus grand carré parfait — $62$ et non $218$ ?
▢Reste-t-il une racine au dénominateur ? Tant qu'il y en a une, la réponse n'est pas finie.
▢Même base, j'additionne les exposants ; même exposant, je multiplie les bases. Et $a^{- n}$ inverse, il ne rend pas négatif.

L'essentiel en 10 points

·Décimal : fraction irréductible dont le dénominateur ne contient que des 2 et des 5.
·Une fraction étagée est une division : numérateur, dénominateur, puis on divise.
·Simplifier avant de multiplier deux fractions — jamais après.
·Le crochet qui borde $+ \infty$ ou $- \infty$ est toujours ouvert.
·« Et » $\to$ intersection $\cap$ . « Ou » $\to$ réunion $\cup$ .
· $ab = a b$ , mais $a + b \neq = a + b$ — jamais sur une somme.
·Sortir du radical le plus grand carré parfait : $72 = 62$ .
·Pas de racine au dénominateur : on multiplie haut et bas par cette racine.
·Même base $\to$ on additionne les exposants. Même exposant $\to$ on multiplie les bases.
· $a^{0} = 1$ et $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ : l'exposant négatif inverse, il ne rend pas négatif.

Imprimer

Fiche PDF — Nombres et calculs — fractions, racines et puissances

Gratuit · sans compte

Trois documents à imprimer, 13 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.

Au sommaire du cours

1. Les ensembles de nombres, et le mot « exact »
2. Fractions : quatre gestes
3. Intervalles : traduire une inégalité
4. Intersection et réunion
5. Racines carrées : sortir ce qui peut sortir
6. Puissances : une seule base, un seul exposant
7. Les pièges qui coûtent des points

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible

Calculer

a. $A = - \frac{1}{6} - \frac{4}{15}$
b. $B = \frac{12}{18} \times (- \frac{35}{21})$
c. $C = \frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{5}{4} + 1}$
d. $D = - \frac{3}{8} \div \frac{9}{4}$

›Voir le corrigé

a. 30 est le plus petit multiple commun de 6 et de 15. $- \frac{5}{30} - \frac{8}{30} = - \frac{13}{30}$ 13 est premier et ne divise pas 30 : la fraction est irréductible.
b. On simplifie avant de multiplier : $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ et $\frac{35}{21} = \frac{5}{3}$ . $\frac{2}{3} \times \frac{5}{3} = \frac{10}{9}$ le produit est négatif : $B = - \frac{10}{9}$ . Sans simplifier d'abord, il aurait fallu réduire $\frac{420}{378}$ .
c. Le numérateur, seul. $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Le dénominateur, seul. $\frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$
La grande barre est une division : on multiplie par l'inverse. $\frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{27}$ $C = \frac{4}{27}$ .
d. Diviser par $\frac{9}{4}$ , c'est multiplier par $\frac{4}{9}$ . $\frac{3}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ $D = - \frac{1}{6}$ — l'inverse de $\frac{9}{4}$ est $\frac{4}{9}$ , et non $- \frac{9}{4}$ .

Rappeler la définition d'un nombre décimal, puis dire si chacun en est un — en justifiant

Raisonner

a. $- \frac{3}{8}$
b. $\frac{7}{12}$
c. $\frac{π}{4}$
d. $\frac{16}{5}$
e. $\frac{5}{1 0 ^{3}}$

›Voir le corrigé

Définition. Un décimal s'écrit $\frac{a}{1 0 ^{n}}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel : son écriture décimale s'arrête.
Le critère. Une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5.
a. $8 = 2^{3}$ : rien d'autre que des 2. $\frac{3}{8} = 0, 375$ décimal.
b. $12 = 2^{2} \times 3$ : le facteur 3 empêche l'écriture de s'arrêter. $\frac{7}{12} = 0, 58333 \dots$ — rationnel, mais pas décimal.
c. $π$ est irrationnel, et le diviser par 4 n'y change rien.ni décimal, ni même rationnel.
d. L'écriture trompe : $16 = 4$ , donc le nombre vaut $\frac{4}{5}$ . $\frac{4}{5} = 0, 8$ décimal — on classe un nombre après l'avoir simplifié.
e. C'est exactement la forme de la définition. $\frac{5}{1000} = 0, 005$ décimal.

Traduire — de l'inégalité vers l'intervalle, ou de l'intervalle vers l'inégalité

Calculer

a. $- 2 \leq x \leq 6$
b. $x \in] - 3; + \infty [$
c. $- 5 < x < 0$
d. $x \in] - \infty; 4]$
e. $1 \leq x < 7$
f. $x \in [0; + \infty [$
g. $x > - \frac{1}{2}$
h. $x \in] - 6; 2]$

›Voir le corrigé

a. $x \in [- 2; 6]$ · b. $x > - 3$ en a, les deux bornes sont atteintes : deux crochets fermés. En b, le crochet ouvert donne une inégalité stricte.
c. $x \in] - 5; 0 [$ · d. $x \leq 4$ aucune borne atteinte en c ; en d, fermé sur 4 et ouvert sur l'infini — comme toujours.
e. $x \in [1; 7 [$ · f. $x \geq 0$ un crochet de chaque sorte en e, dans l'ordre où les inégalités se lisent ; en f, 0 est atteint, $+ \infty$ jamais.
g. $x \in] - \frac{1}{2}; + \infty [$ · h. $- 6 < x \leq 2$ une borne n'a aucune raison d'être entière ; et le crochet ouvert donne le strict, le fermé le large.

Déterminer l'intersection et la réunion de chaque paire d'intervalles

Raisonner

a. $I = [- 3; 8]$ et $J =] - \infty; 5 [$
b. $K =] 2; + \infty [$ et $L =] - \infty; 2]$
c. $M =] - 1; 3 [$ et $N = [4; 9]$
d. $P = [0; 10]$ et $Q = [2; 6]$

›Voir le corrigé

On trace les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre : l'intersection est la zone couverte deux fois, la réunion celle qui l'est au moins une fois.
a. $I \cap J = [- 3; 5 [$ et $I \cup J =] - \infty; 8]$ 5 appartient à $I$ mais pas à $J$ : il sort de l'intersection, dont le crochet s'ouvre.
b. $K \cap L = \emptyset$ et $K \cup L = R$ 2 est dans $L$ seul ; et aucun réel n'échappe aux deux à la fois.
c. $M \cap N = \emptyset$ et $M \cup N =] - 1; 3 [\cup [4; 9]$ entre 3 et 4 il n'y a personne : la réunion garde son symbole et n'est pas un intervalle.
d. $P \cap Q = [2; 6] = Q$ et $P \cup Q = [0; 10] = P$ $Q$ est inclus dans $P$ : l'intersection est le petit, la réunion le grand.

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible

Calculer

a. $32$
b. $75$
c. $48$
d. $98$
e. $200$
f. $72$

›Voir le corrigé

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
a. $32 = 16 \times 2$ · b. $75 = 25 \times 3$ $32 = 4275 = 53$
c. $48 = 16 \times 3$ · d. $98 = 49 \times 2$ $48 = 4398 = 72$ s'arrêter à $212$ en c serait juste, mais pas simplifié.
e. $200 = 100 \times 2$ · f. $72 = 36 \times 2$ $200 = 10272 = 62$ en f, $72 = 4 \times 18$ fonctionne aussi mais laisse du travail : 18 contient encore le carré 9.

Écrire sans racine au dénominateur

Calculer

a. $\frac{1}{3}$
b. $\frac{5}{2}$
c. $\frac{3}{7}$
d. $\frac{6}{12}$
e. $\frac{2 5}{10}$

›Voir le corrigé

On multiplie haut et bas par la racine du dénominateur : $a \times a = a$ , et la valeur ne change pas puisqu'on multiplie par 1.
a. $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$
b. $\frac{5}{2} = \frac{5 2}{2}$
c. Au numérateur, $3 \times 7 = 21$ . $\frac{3}{7} = \frac{21}{7}$
d. On simplifie la racine d'abord : $12 = 23$ . $\frac{6}{2 3} = \frac{3}{3} = 3$ simplifier avant de rationaliser fait ici disparaître la fraction entière.
e. $10 = 5 \times 2$ , donc $5$ se simplifie. $\frac{2 5}{10} = \frac{2}{2} = 2$ $\frac{2}{2} = \frac{2 2}{2} = 2$ .

Simplifier sous la forme d'une seule puissance de $a$ (avec $a \ne 0$)

Calculer

a. $A = a^{- 4} \times a^{7}$
b. $B = \frac{a ^{5}}{a ^{- 2}}$
c. $C = \frac{a ^{- 3} \times ( a ^{2} ) ^{- 2}}{a ^{- 4} \times a}$
d. $D = (a^{3})^{- 2} \times a^{5} \times a^{- 1}$

›Voir le corrigé

a. Produit de même base : les exposants s'additionnent. $- 4 + 7 = 3$ $A = a^{3}$ .
b. Quotient : les exposants se soustraient — et soustraire $- 2$ , c'est ajouter 2. $5 - (- 2) = 7$ $B = a^{7}$ .
c. Le numérateur : $(a^{2})^{- 2} = a^{- 4}$ , donc on additionne. $- 3 + (- 4) = - 7$
Le dénominateur, en se souvenant que $a = a^{1}$ . $- 4 + 1 = - 3$
Enfin le quotient. $- 7 - (- 3) = - 4$ $C = a^{- 4} = \frac{1}{a ^{4}}$ .
d. $(a^{3})^{- 2} = a^{- 6}$ , et $a^{5} \times a^{- 1} = a^{4}$ . $- 6 + 4 = - 2$ $D = a^{- 2} = \frac{1}{a ^{2}}$ .

Donner la valeur exacte de chaque nombre

Calculer

a. $E = 3^{3} \times 3^{- 5} \times (3^{2})^{2}$
b. $F = \frac{2 ^{- 3} \times 16 \times 2 ^{5}}{4 ^{2} \times 2 ^{- 1}}$
c. $G = \frac{1 0 ^{7} \times 1 0 ^{- 3}}{100 \times 1 0 ^{- 4}}$
d. $H = \frac{5 ^{- 2} \times 5 ^{4}}{5 ^{3}}$

›Voir le corrigé

a. $(3^{2})^{2} = 3^{4}$ : une puissance de puissance multiplie les exposants. $3 - 5 + 4 = 2$ $E = 3^{2} = 9$ .
b. Tout se ramène à la base 2 : $16 = 2^{4}$ et $4^{2} = 2^{4}$ .
Numérateur, puis dénominateur. $- 3 + 4 + 5 = 6$
Le dénominateur. $4 - 1 = 3$ $F = 2^{6 - 3} = 2^{3} = 8$ .
c. $100 = 1 0^{2}$ ; on soustrait l'exposant du dénominateur à celui du numérateur. $(7 - 3) - (2 - 4) = 6$ $G = 1 0^{6}$ .
d. $- 2 + 4 - 3 = - 1$ $H = 5^{- 1} = \frac{1}{5}$ — l'exposant négatif inverse, il ne rend pas négatif.

Une seule de ces quatre égalités est vraie. Laquelle, et pourquoi les trois autres sont-elles fausses ?

Raisonner

a. $30 \times \frac{1}{3 0 ^{3}} = 3 0^{3}$
b. $(3^{- 2})^{4} = 3^{- 6}$
c. $\frac{1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{7}} = 1 0^{- 11}$
d. $2^{- 5} \times 7^{- 5} = 1 4^{- 10}$

›Voir le corrigé

La seule vraie est la c. Un quotient soustrait les exposants. $- 4 - 7 = - 11$
a est fausse. $\frac{1}{3 0 ^{3}} = 3 0^{- 3}$ , donc le produit vaut $3 0^{1 + (- 3)}$ . $1 - 3 = - 2$ $3 0^{- 2}$ , et non $3 0^{3}$ .
b est fausse. Une puissance de puissance multiplie les exposants. $- 2 \times 4 = - 8$ $3^{- 8}$ , et non $3^{- 6}$ .
d est fausse. Bases différentes, exposant commun : ce sont les bases qui se multiplient, et l'exposant ne bouge pas. $2 \times 7 = 14$ $1 4^{- 5}$ , et non $1 4^{- 10}$ .
Trois règles, trois pièges : additionner, multiplier, regrouper les bases. Ce qui est évalué ici, c'est le choix de la règle, pas le calcul.

Un carré A a pour aire 200 cm², un carré B pour aire 50 cm²

Modéliser

a.Donner la longueur exacte du côté de chaque carré, sous la forme $a b$ .
b.Le côté de A est-il exactement le double de celui de B ? Justifier.
c.Calculer le rapport des aires, et le comparer au rapport des côtés.
d.Donner une valeur approchée au dixième de centimètre du côté de A.

›Voir le corrigé

a. Le côté d'un carré est la racine carrée de son aire. $200 = 102$
Pour le carré B. $50 = 52$ côtés exacts : $102$ cm et $52$ cm.
b. Oui, et c'est la forme exacte qui le montre d'un seul coup d'œil. $102 = 2 \times 52$ avec les valeurs approchées 14,1 et 7,1 on n'aurait qu'une forte présomption, pas une démonstration.
c. Le rapport des aires. $\frac{200}{50} = 4$ le côté double, l'aire est multipliée par $2^{2} = 4$ : c'est la règle des agrandissements.
d. $2 \approx 1, 414$ . $10 \times 1, 414 = 14, 14$ environ 14,1 cm — une valeur approchée, à ne donner que parce que la question la réclame.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Donner la forme exacte quand elle est demandée3 ptsPerdu si : Une valeur de calculatrice là où l'énoncé écrit « exacte »
Rendre chaque fraction irréductible, signe compris3 ptsPerdu si : Un résultat juste laissé sous la forme $\frac{12}{72}$
Écrire les intervalles avec le bon crochet4 ptsPerdu si : Un crochet fermé sur l'infini, ou une réunion disjointe écrite comme un intervalle
Extraire le plus grand carré parfait et rationaliser4 ptsPerdu si : $2\sqrt{18}$ rendu tel quel, ou une racine laissée au dénominateur
Choisir la bonne règle de puissance3 ptsPerdu si : Des exposants multipliés dans un produit de même base
Justifier, et pas seulement répondre3 ptsPerdu si : « oui » ou « non » sans la raison, sur les questions de nature de nombre

La méthode

Écrire un nombre sous sa forme exacte

1
Rendre la fraction irréductible, et porter son signe une seule fois, devant la barre.
Simplifier avant de multiplier deux fractions, jamais après : on ne manipule alors que de petits nombres.
2
Sortir du radical le plus grand carré parfait qui divise le nombre.
Les carrés à reconnaître : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
3
Faire disparaître toute racine restée au dénominateur, en multipliant le quotient en haut et en bas par cette racine.
Une racine multipliée par elle-même redonne le nombre placé sous le radical.
4
Ramener toutes les puissances à une seule base avant d'appliquer la moindre règle sur les exposants.
Même base, les exposants s'additionnent ; même exposant, ce sont les bases qui se multiplient.
5
Donner une valeur approchée seulement si l'énoncé la réclame, et au format qu'il précise.
« Valeur exacte » ou « sous la forme a racine de b » interdisent le résultat de la calculatrice.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesSeconde

Question 1

Que vaut

-\dfrac{1}{6} - \dfrac{4}{15}

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

Signaler une erreur

Se tester en conditions de contrôle

1 contrôle sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse.

Contrôle n°155 min · /20

Garder ta progression ?

Tes réponses sont déjà comptées dans ce navigateur. Un compte gratuit les conserve d'un appareil à l'autre et débloque le suivi de tes points faibles.

Créer un compte gratuit Continuer sans compte

Questions fréquentes

Nombres et calculs — fractions, racines et puissances : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Nombres et calculs — fractions, racines et puissances ?

Où télécharger la fiche PDF de Nombres et calculs — fractions, racines et puissances ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 13 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Nombres et calculs — fractions, racines et puissances est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Nombres et calculs — fractions, racines et puissances efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Nombres et calculs — fractions, racines et puissances ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Cahier de vacances

Ce chapitre se révise aussi pendant les vacances, dans un livret à imprimer avec son corrigé.

vacances de la Toussaint

L’essentiel du début d’année — maths 2de

Séances 1 et 2 · livret et corrigé en PDF

Notions voisines

Les chapitres qui traitent des mêmes notions, ici ou dans une autre année.

Nombres entiers, décimaux et fractions

Fractions — Multiplication, division et calculs avancés

Divisibilité et nombres premiers