Nombres et calculs — fractions, racines et puissances

Classer un nombre dans les ensembles usuels

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce qu’un nombre décimal ?

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   Un nombre qui peut s’écrire comme un entier relatif divisé par une puissance de 10.

   Autrement dit : son écriture décimale s’arrête.

2. 2.Quel critère décide qu’une fraction est décimale ?

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   Une fois la fraction rendue irréductible, son dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5.

   Un 3, un 7 ou un 11 au dénominateur, et l’écriture ne s’arrête jamais.

3. 3.$\frac{6}{3}$ est-il un entier ? Justifie.

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   Oui : $6÷3=2$.

   L’écriture ressemble à une fraction, mais on classe après simplification.

4. 4.La calculatrice affiche $0,285714285\dots$ pour $\frac{2}{7}$ : ce nombre est-il rationnel ?

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   Oui : c’est un quotient de deux entiers.

   Son développement ne s’arrête pas, mais le motif 285714 se répète sans fin.

Traduire une inégalité en intervalle et opérer

Réponds à chaque question.

1. 1.Traduis $x⩾2$ par un intervalle.

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   $[2;+\infty [$

   Le crochet se ferme sur 2, qui est atteint, et s’ouvre sur l’infini, qui ne l’est jamais.

2. 2.Pourquoi le crochet qui borde $+\infty$ est-il toujours ouvert ?

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   Parce que $+\infty$ n’est pas un nombre : aucun réel ne l’atteint.

   Un crochet ne se ferme que sur une valeur atteinte.

3. 3.Quel mot de l’énoncé commande une intersection, et lequel une réunion ?

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   « Et » commande l’intersection, « ou » la réunion.

   Le « ou » est inclusif : être dans les deux suffit largement.

4. 4.Soit $I=[-3;8]$ et $J=]-\infty ;5[$. Le nombre 5 appartient-il à $I\cap J$ ?

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   Non : il est dans $I$ mais pas dans $J$.

   Une borne litigieuse se tranche en y mettant le nombre, pas en regardant le dessin.

5. 5.Peut-on écrire $]-1;3[\cup [4;9]=]-1;9]$ ?

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   Non : $3,5$ appartiendrait au résultat sans appartenir à aucun des deux ensembles.

   Quand un trou sépare les deux, le symbole d’union fait partie de la réponse.

Mettre une racine sous la forme a√b

Réponds à chaque question. Les valeurs demandées sont exactes.

1. 1.Écris $\sqrt{200}$ sous la forme $a\sqrt{b}$.

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   $10\sqrt{2}$

   $200=100\times 2$, et $\sqrt{100}=10$ sort du radical.

2. 2.Pourquoi $\sqrt{72}=2\sqrt{18}$ est-il juste mais inachevé ?

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   Parce que 18 contient encore le carré 9 : la forme attendue est $6\sqrt{2}$.

   On sort le plus grand carré parfait, pas le premier qu’on voit.

3. 3.Rends le dénominateur entier dans $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

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   $\frac{\sqrt{5}}{5}$

   On multiplie haut et bas par $\sqrt{5}$ : la valeur ne bouge pas, on a multiplié par 1.

4. 4.Réduis $5\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}$.

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   $2\sqrt{2}$

   C’est une réduction de termes semblables : $5-6+3=2$.

Calculer avec les puissances entières

Réponds à chaque question.

1. 1.Calcule $2^3\times 2^5$.

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   $2^8=256$

   Même base : les exposants s’additionnent, $3+5=8$.

2. 2.Calcule $2^3\times 3^3$.

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   $6^3=216$

   Même exposant : ce sont les bases qui se multiplient, $2\times 3=6$.

3. 3.Que valent $a^0$ et $a^{-n}$, pour $a$ non nul ?

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   $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

   Ce sont les deux valeurs qu’on oublie, et elles font perdre des points à elles seules.

4. 4.Écris $58300$ en notation scientifique.

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   $5,83\times 10^4$

   Un seul chiffre non nul avant la virgule, multiplié par une puissance de 10.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque écriture est fausse. Écris ce qu’il fallait écrire.

1. 1.« $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ »

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   $9+16=25$ et $\sqrt{25}=5$.

   La racine traverse les produits et les quotients, jamais les sommes.

2. 2.« $\frac{3+x}{3}=x$ »

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   On ne simplifie que des facteurs : l’expression ne se réduit pas ainsi.

   Avec $x=3$, elle vaut $\frac{6}{3}=2$ quand la prétendue simplification donne 3.

3. 3.« $x⩾2⟺x\in [2;+\infty ]$ »

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   L’écriture correcte est $[2;+\infty [$.

   Aucun réel n’atteint l’infini : le crochet qui le borde ne peut pas se fermer.