Probabilités — Modèles et calculs

Employer le vocabulaire des probabilités

Réponds à chaque question.

1. 1.Qu’est-ce que l’univers d’une expérience aléatoire ?

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   L’ensemble de toutes les issues possibles.

   Pour un dé : $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$.

2. 2.Qu’est-ce qu’un événement, et comment calcule-t-on sa probabilité ?

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   Un sous-ensemble de l’univers ; sa probabilité est la somme des probabilités des issues qui le composent.

   « Obtenir un nombre pair » est l’événement $\{2;4;6\}$.

3. 3.Quand peut-on calculer une probabilité en comptant les issues favorables ?

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   Uniquement en cas d’équiprobabilité.

   L’énoncé doit le garantir : dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables.

4. 4.Cite les trois règles qui gouvernent tous les calculs.

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   Toute probabilité est entre 0 et 1 ; la somme des probabilités des issues vaut 1 ; $P(\bar{A})=1-P(A)$.

   La troisième est la plus rentable des trois.

5. 5.Quel mot d’un énoncé annonce qu’il faut passer par l’événement contraire ?

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   « Au moins un ».

   Le contraire de « au moins un » se calcule presque toujours plus vite.

Calculer avec réunion et intersection

On lance un dé équilibré. $A$ : « obtenir un nombre pair ». $B$ : « obtenir un multiple de 3 ».

1. 1.Écris $A$ et $B$ en extension, puis leur intersection.

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   $A=\{2;4;6\}$, $B=\{3;6\}$, $A\cap B=\{6\}$.

   Le 6 est à la fois pair et multiple de 3.

2. 2.Calcule $P(A)$ et $P(B)$.

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   $P(A)=\frac{3}{6}$ et $P(B)=\frac{2}{6}$.

   Le dé est équilibré : on compte les issues favorables.

3. 3.Calcule $P(A\cup B)$.

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   $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}$

   On additionne, puis on retire ce qu’on a compté deux fois.

4. 4.Dans quel cas l’addition simple est-elle licite ?

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   Quand les événements sont incompatibles, c’est-à-dire d’intersection vide.

   Ici elle donnerait $\frac{5}{6}$ : le 6 compté deux fois explique l’écart.

Construire et lire un arbre de probabilité

Réponds à chaque question.

1. 1.Que vaut la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud ?

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   Elle vaut 1.

   C’est le premier contrôle, et il attrape la plupart des erreurs.

2. 2.Quelle opération fait-on le long d’un chemin ?

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   On multiplie.

   Les deux conditions doivent être remplies ensemble.

3. 3.Quelle opération fait-on entre plusieurs chemins qui conviennent ?

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   On additionne.

   Et la somme de tous les chemins doit valoir 1.

4. 4.Quelle différence y a-t-il entre un tirage avec remise et sans remise ?

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   Avec remise, les étapes sont indépendantes ; sans remise, les probabilités du second niveau changent.

   Sans remise, elles deviennent des probabilités conditionnelles.

Mener un calcul d'arbre

Dans un lycée, 60 % des élèves sont externes. Parmi les externes, 40 % font du sport en club ; parmi les internes, 70 %.

1. 1.Quelle proportion d’élèves sont internes ?

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   40 %

   Le complément des 60 % d’externes.

2. 2.Calcule la probabilité d’être externe et sportif.

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   $0,6\times 0,4=0,24$

   On multiplie le long du chemin.

3. 3.Calcule la probabilité d’être interne et sportif.

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   $0,4\times 0,7=0,28$

   C’est le second chemin qui mène au sport.

4. 4.Quelle est la probabilité qu’un élève pris au hasard fasse du sport en club ?

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   $0,24+0,28=0,52$

   Deux chemins mènent au sport : on les additionne.

Repérer une erreur et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.

1. 1.« Après cinq piles d’affilée, face devient plus probable. »

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   La probabilité reste $\frac{1}{2}$ : la pièce n’a pas de mémoire.

   La loi des grands nombres ne compense pas le passé, elle le noie.

2. 2.« $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, toujours. »

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   Il faut retrancher $P(A\cap B)$, sauf si l’intersection est vide.

   Sans cette correction, ce qui appartient aux deux est compté deux fois.

3. 3.« Ce dé est pipé, mais il a six faces : chaque issue vaut donc $\frac{1}{6}$. »

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   La formule de comptage suppose l’équiprobabilité, que l’énoncé exclut ici.

   Un dé pipé n’a pas des issues de même probabilité.