Mathématiques · Seconde · Contrôle n°1
Statistiques à une variable — Dispersion
Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur les statistiques en seconde : pourquoi une seule valeur ne suffit jamais à résumer une série, la médiane qu'une valeur extrême ne tire pas, la variance qui s'exprime en unités au carré, l'écart-type qui se compare à la moyenne, et la comparaison en deux temps qui seule répond à la question. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.
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Avant de commencer
- Résumer une série par une seule valeur, c’est toujours mentir un peu.
- La moyenne se laisse tirer par une valeur extrême ; la médiane, non.
- On ordonne la série avant de chercher médiane et quartiles.
- La variance est une moyenne de carrés : elle ne se compare pas à la moyenne.
- On conclut toujours sur l’écart-type, qui partage l’unité des données.
- Une comparaison se fait en deux temps : la position, puis la dispersion.
Exercice 1 — Deux façons de résumer
4 pts · 10 minDistinguer moyenne et médiane
Réponds à chaque question.
1.Comment se calcule la moyenne ?
1 ptVoir la correction
En divisant la somme des valeurs par leur nombre.
Elle répartit équitablement le total entre toutes les valeurs.
2.Que fait la médiane ?
1 ptVoir la correction
Elle partage la série ordonnée en deux effectifs égaux.
Autant de valeurs au-dessous qu’au-dessus.
3.Laquelle des deux se laisse tirer par une valeur extrême ?
1 ptVoir la correction
La moyenne.
La médiane ne dépend que du rang des valeurs, pas de leur amplitude.
4.Pourquoi parle-t-on du salaire médian plutôt que du salaire moyen ?
1 ptVoir la correction
Parce que la médiane n’est pas tirée par les très hauts salaires.
C’est l’application directe de la différence de nature entre les deux.
Exercice 2 — Quartiles
4 pts · 11 minDéterminer et interpréter les quartiles
Réponds à chaque question.
1.Que font les quartiles ?
1 ptVoir la correction
Ils partagent la série ordonnée en quatre parts d’effectifs égaux.
Il faut avoir ordonné la série avant de les chercher.
2.Définis .
1 ptVoir la correction
La plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales.
joue le même rôle pour 75 %.
3.Qu’est-ce que l’écart interquartile, et que mesure-t-il ?
1 ptVoir la correction
La différence : l’étendue de la moitié centrale.
Elle est débarrassée des valeurs extrêmes.
4.Sur une série contenant une valeur aberrante, lequel des deux indicateurs de dispersion est le plus fiable ?
1 ptVoir la correction
L’écart interquartile, parce qu’il ignore les valeurs extrêmes.
L’écart-type, lui, les amplifie par le carré.
Exercice 3 — Variance et écart-type
5 pts · 13 minCalculer variance et écart-type
On étudie la série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
1.Pourquoi élève-t-on les écarts au carré ?
1 ptVoir la correction
Pour empêcher les écarts positifs et négatifs de s’annuler, et pour donner plus de poids aux valeurs éloignées.
Les deux raisons se citent ensemble.
2.Calcule la moyenne de la série.
1 ptVoir la correction
La somme des huit valeurs vaut 40.
3.Calcule la somme des carrés des écarts à la moyenne.
1 ptVoir la correction
Les écarts sont , , , , 0, 0, 2 et 4.
4.Calcule la variance.
1 ptVoir la correction
La variance est la moyenne des carrés des écarts.
5.Calcule l’écart-type et interprète-le.
1 ptVoir la correction
: les valeurs s’écartent en moyenne de 2 unités autour de 5.
L’écart-type s’exprime dans la même unité que les données.
Exercice 4 — Comparer deux séries
4 pts · 11 minComparer deux séries statistiques
Réponds à chaque question.
1.Quels sont les deux temps d’une comparaison ?
1 ptVoir la correction
La position d’abord, la dispersion ensuite.
Une seule des deux ne répond jamais à la question posée.
2.Peut-on comparer une moyenne à une médiane ?
1 ptVoir la correction
Non : elles ne mesurent pas la même chose.
On compare deux moyennes, ou deux médianes.
3.Écris une conclusion type, en une phrase.
1 ptVoir la correction
« La série B est en moyenne plus élevée, mais nettement plus dispersée. »
La phrase dit les deux, et c’est ce qui en fait une conclusion.
4.Une faible dispersion est-elle toujours une bonne chose ?
1 ptVoir la correction
Non : c’est un avantage pour une machine de production, un défaut pour un groupe d’élèves qu’on voudrait voir progresser.
L’interprétation dépend du contexte.
Exercice 5 — Trouve l'erreur
3 pts · 10 minRepérer une erreur et la corriger
Chaque affirmation est fausse. Écris ce qu’il fallait dire.
1.« Les tailles sont en centimètres, donc la variance vaut 16 centimètres. »
1 ptVoir la correction
Elle vaut 16 centimètres carrés : c’est une moyenne de carrés.
C’est l’écart-type, sa racine, qui s’exprime en centimètres.
2.« La moyenne de A vaut 12 et la médiane de B vaut 11 : A est donc au-dessus de B. »
1 ptVoir la correction
Il faut comparer deux moyennes, ou deux médianes.
Les deux indicateurs ne mesurent pas la même chose.
3.« Voici la série : 7, 2, 9, 4. Sa médiane est donc 9. »
1 ptVoir la correction
Il faut d’abord ordonner la série.
Médiane et quartiles se lisent sur la série ordonnée, jamais sur l’ordre de saisie.
Barème — ce que le correcteur regarde
Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.
Ex.1Moyenne, médiane et leur différence de nature
4 points — 1 par question
Point perdu si : La médiane décrite comme une moyenne particulière.
Ex.2Quartiles et écart interquartile
4 points — 1 par question
Point perdu si : Des quartiles cherchés sur une série non ordonnée.
Ex.3Variance et écart-type calculés
5 points — 1 par question
Point perdu si : Les écarts additionnés avant d’être élevés au carré.
Ex.4La comparaison en deux temps
4 points — 1 par question
Point perdu si : Une moyenne comparée à une médiane.
Ex.5L’erreur repérée, et la réponse juste donnée
3 points — 1 par ligne
Point perdu si : Une variance annoncée dans l’unité des données.
Et maintenant ?
- 16 à 20
- Le chapitre est tenu. Entraîne-toi maintenant à interpréter dans le contexte : une dispersion faible est un avantage pour une machine de production, un défaut pour un groupe d'élèves qu'on voudrait voir progresser.
- 10 à 15
- Refais l'exercice 3 en écrivant les écarts à la moyenne sur une ligne, leurs carrés sur la suivante. Élever au carré avant d'additionner est le geste qui décide de tout.
- moins de 10
- Reprends la fiche de cours et retiens l'exemple d'ouverture : deux classes de même moyenne, l'une toute à 10, l'autre moitié à 4 et moitié à 16. Il explique à lui seul pourquoi la dispersion existe.
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